第一章 专题1 幂的运算及应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学习题课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“整式的乘除”中幂的运算及应用，通过直接计算、逆用性质、新定义问题、整除说明、探究性问题五大类型，构建从基础到综合的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握幂的运算性质及灵活应用。 其亮点在于融合新定义运算（如“雅对”）、规律探究（如幂的循环规律）等题型，培养学生抽象能力、运算能力与推理意识。例如通过“新数i的幂运算”训练符号意识，借助整除证明题提升逻辑推理，助力学生深化知识理解，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

2 第一章 整式的乘除 专题1　幂的运算及应用 3 目 录 类型1 利用幂的运算性质直接计算 类型2 逆用幂的运算性质计算 类型3 幂的运算中的新定义问题 类型4 利用幂的运算性质说明整除问题 类型5 利用幂的运算性质解决探究性问题 4 1. 下列计算正确的是 （ ） A.（-a）2·a3=a6 B.（-a2b3）2=-a6b2 C. a6÷a3=a2 D.（a2）3=a6 类型1 利用幂的运算性质直接计算 D 【解析】A. (-a)2·a3=a5；B. (-a2b3)2=a4b6； C. a6÷a3=a3；D. (a2)3=a6。故选D。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 5 2. 已 知 am=2，an=4，ak=32（a≠0），则 k-3m-n=________。 0 【解析】由题意，得ak-3m-n=ak÷a3m÷an=32÷23÷4=1=a0， 所以k-3m-n=0。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 3. 计算： （1）（-2a3）2+（a2）3-a·a5； （2）x5·x3-（2x4）2+x10÷x2； （3）（n-m）4÷（m-n）3+（m+n）3÷（-m-n）2。 解：原式=4a6+a6-a6=4a6。 解：原式=x8-4x8+x8=-2x8。 解：原式=(m-n)4÷(m-n)3+(m+ n)3÷(m+n)2 =(m-n)4-3+(m+n)3-2 =(m-n)+(m+n) =m-n+m+n =2m。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 4. 已知8×2m÷16m=26，求m的值。  解：8×2m÷16m =23×2m÷（24）m =23×2m÷24m =23+m-4m =23-3m， 所以23-3m=26，即3-3m=6，解得m=-1。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 5. （周口期中）已知a=1631，b=841，c=461，则a，b，c的大小关系是________。（用“<”连接） 类型2 逆用幂的运算性质计算 c<b<a 【解析】a=1631=(24)31=2124，b=841=(23)41=2123，c=461=(22)61=2122。 因为124＞123＞122， 所以2124＞2123＞2122， 即c＜b＜a。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 【变式】 若a=255，b=544，c=433，则a，b，c的大小关系是________。（用“<”连接） a<c<b 【解析】a=255=(25)11=3211；b=544=(54)11=62511；c=433=(43)11=6411。 因为32＜64＜625， 所以3211＜6411＜62511， 所以a<c<b。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 6. 用简便方法计算： （1）0.256×212-() 4×（-3）5； （2）( -) 1 000×（-10）1 001×( ) 357×( -3) 358。 解：原式=0.256×(22)6-×(-3)4×(-3)=(0.25×4)6-×(-3)=1-1×(-3)=4。 解：原式=×(-10)1 000×(-10)××× =×(-10)×× =1×(-10)×(-1)×=。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 7. 若n为正整数，且x2n=7，求（3x3n）2-13（-x2）2n的值。 解：(3x3n)2-13(-x2)2n =9x6n-13x4n =9(x2n)3-13(x2n)2 =9×73-13×72 =2 450。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 8. 若am=an（a>0，a≠1，m，n是正整数），则m=n。利用上面结论解决下面的问题： （1）若8x=26，求x的值； （2）若2x+2+2x+1=24，求x的值； （3）若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y。 解：（1）因为8x=(23)x=23x=26，所以3x=6，解得x=2。 （2）因为2x+2+2x+1=24， 所以2x×(22+2)=24，即2x×6=24， 所以2x=22，所以x=2。 （3）因为x=5m-3，所以5m=x+3。 又因为y=4-25m=4-(52)m=4-(5m)2，所以y=4-(x+3)2。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 类型3 幂的运算中的新定义问题 9. 【新定义|新运算问题】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果am=b，则（a，b）=m，我们称（a，b）为“雅对”，例如：因为23=8，所以（2，8）=3。依据“雅对”的定义，计算（5，125）+( , ) 的结果是________。 5 【解析】因为53=125，=， 所以（5，125）=3，=2， 所以（5，125）+=3+2=5。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 10. 我们规定一个新数 i，使其满足 i2=-1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数i进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2·i=（-1）·i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1……那么i+i2+i3+…+i2 025+i2 026=________。 i-1 【解析】由题意，得i1+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，且i4n=1，i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i， 故每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0， 因为2 026÷4=506……2， 所以i+i2+i3+i4+…+i2 026=i-1。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 11. 817-279-913能被45整除吗？请说明理由。 类型4 利用幂的运算性质说明整除问题 解：817-279-913能被45整除。理由如下： 817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13=328-327-326=326×(9-3-1)=326×5=324×45， 所以817-279-913能被45整除。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 16 12. （南阳宛城区月考）已知3x=2，32y=18，3z=6，试探究 x，y，z之间的数量关系，并说明理由。 类型5 利用幂的运算性质解决探究性问题 解：x+2y=2z。理由如下： 因为3x=2，32y=18，3z=6， 所以3x×32y=3z×3z， 所以3x+2y=32z， 所以x+2y=2z。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 13. 新趋势 规律探究题 观察下列等式： 13+23=（1+2）2=9， 13+23+33=（1+2+3）2=36， 13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100。 （1）13+23+33+43+53=________；（写出最后结果） （2）已知 1+2+3+…+n=n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想：13+23+33+…+n3=_______________；（结果用因式乘积表示） 225 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 （3）计算：33+63+93+123。 解：33+63+93+123 =13×33+23×33+33×33+43×33 =33×(13+23+33+43) =33×(1+2+3+4)2 =27×100 =2 700。 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 变式 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $