1.3 第3课时 完全平方公式的认识-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦完全平方公式的推导、结构特征及应用，通过复习多项式乘多项式，引导学生计算具体算式并观察规律，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理公式发现脉络。 特色在于融合几何直观与代数推理，用正方形面积模型解释公式培养数学眼光，引导学生自主举例验证、描述公式发展推理意识，设置基础运算、逆用及变形训练强化应用意识，助力学生深化理解提升运算能力，为教师提供结构化教学方案提高课堂效率。

3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 课题 第3课时 完全平方公式的认识 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P20-21 教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。 2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 教学重难点 重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述。 难点：会用完全平方公式进行运算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 计算下列各式： （1）（m+3）2； （2）（2+3x）2。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子吗？与同伴进行交流。 师生活动：对多项式乘多项式的运算法则进行回顾复习，请学生计算回答上述问题，观察两个算式的结果，为本节课对于完全平方公式的认识和应用奠定基础。（教师板书课题： 第3课时 完全平方公式的认识） 学生观察发现：(a+b)2=a2+2ab+b2 与引入平方差公式的想法一样，让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 1.再举两例验证你的发现。 2.你能用自己的语言叙述这一公式吗? 学生活动：举例验证(a+b)2=a2+2ab+b2，用自己的语言描述这一公式。 【归纳总结】 (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 【思考·交流】 （1）你能用下图解释这一公式吗? 师生活动：教师引导学生通过该两种不同的表示正方形面积的式子解释完全平方公式。 （2）如何计算(a-b)2?你是怎样做的?与同伴进行交流。 师生活动：教师引导学生通过不同的计算思路观察算式（a-b）2=a2-2ab+b2，总结归纳，并用自己的语言描述这一公式。 【归纳总结】 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数和的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 【探究2】 【尝试·思考】 请你设计一个图形解释这一公式。 师生活动：如图，用不同的方式表示阴影部分的面积。 方法1：阴影部分正方形的边长为a-b，所以面积可以表示为（a-b）2； 方法2：图中阴影部分面积等于图中大正方形面积减去空白部分面积，表示为a2-2ab+b2。 因为这两个代数式表示的是同一个正方形的面积，所以我们可以得到(a-b)2=a2-2ab+b2。 学生自主完成问题，然后组内交流，教师引导学生类比上面公式(a+b)2=a2+2ab+b2的几何证明过程对(a-b)2=a2-2ab+b2进行几何解释，最后利用多媒体出示结果。 【教材例题】 例5 利用完全平方公式计算： （1）(2x-3)2； （2）(4x+5y)2； （3）(mn-a)2。 师生活动：让学生先观察，自己完成题目，教师引导学生利用完全平方公式写出过程，完成后请一位同学口述，教师给出板书演示。 通过几何直观的方法对(a+b)2=a2+ 2ab+b2进行解释，不仅使学生更清晰地“看到”公式的结构，同时感受这样的抽象代数运算也有直观的背景。 让学生通过几何图形解释公式（a+b)²=a2+2ab+b2，使学生“看到”公式的代数式结构的几何意义，了解公式的几何背景。 让学生能够类比“两数和”的情况，利用几何直观对这一结果进行解释。 让学生进一步熟悉，巩固公式。建议先写出详细过程，再逐渐过渡到公式。 3.学以致用，应用新知 考点1 完全平方公式的认识 例 计算：（1）(x-2y)2； （2）(2xy+x)2； （3）(n+1)2-n2。 解：（1）原式=(x)2-2•x•2y + (2y)2=x2-2xy + 4y2。 （2）原式=(2xy)2+2•2xy•x+(x)2=4x2y2+x2y+x2=x2-4y2+x2-1=2x2-4y2-1。 （3）原式=n2+2n+1-n2=2n+1。 变式训练 计算： （1）（a﹣b）2； （2）（﹣x2+3y2）2； （3）（﹣a2﹣2b）2； （4）（0.2x+0.5y）2。 解：（1）原式＝a2﹣ab+b2； （2）原式＝x4﹣6x2y2+9y4； （3）原式＝a4+4a2b+4b2； （4）原式＝0.04x2+0.2xy+0.25y2。 考点2 完全平方公式的逆用 例1 若是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或-1 D.-1 答案：C 考点3 完全平方公式的变形 例3 已知a+b=6，ab=-27，求下列各式的值。 （1）a2+b2；（2）a2+b2-ab。 解：（1）原式=a2+2ab+b2-2ab=（a+b）2-2ab=36-2×（-27）=36+54=90。 （2）原式=a2+2ab+b2-3ab=36-3×（-27）=36+81=117。 通过例题讲解，进一步理解完全平方公式，提高学生应用完全平方公式的能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列计算正确的是(　　) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2 答案：D 2. 已知x–y=7，xy=2，则x2+y2的值为(　　) A.53 B．45 C．47 D．51 答案：A 3.若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k=______。 答案：10或-10 4.计算：(1)(4x+0.5)2； （2）(2x2-3y2)2。 解：（1）原式=(4x)2+2×4x×0.5+(0.5)2=16x2+4x+0.25。 （2）原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2=4x4-12x2y2+9y4。 5. 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题。 例：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值。 解：因为a+b=3，ab=1，所以（a+b）2=9，2ab=2， 所以（a+b）2=a2+2ab+b2=9，所以a2+b2=7。 根据左面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y=8，xy=12，求x2+y2的值； （2）若x+y=4，x2+y2=10，求（x-y）2的值。 解：（1）因为x+y=8，所以（x+y）2=x2+2xy+y2=64。 因为xy=12，所以2xy=24，所以x2+y2=64-24=40。 （2）因为x+y=4，所以（x+y）2=16， 所以（x+y）2=x2+2xy+y2=16。 因为x2+y2=10，所以2xy=16-10=6， 所以（x-y）2=x2-2xy+y2=10-6=4。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。 2.布置作业 课本P24习题1.3中的T3、T4、T5、T7、T8、T9、T11、T12。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时 完全平方公式的认识 (a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2。 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $