1.3 第2课时 平方差公式的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦平方差公式的应用，通过大正方形减小正方形的阴影面积计算及拼成长方形的等面积法导入，衔接公式几何背景与应用，搭建从直观理解到运算应用的学习支架。 此资料以几何直观为切入点，通过图形验证公式培养空间观念，结合简便计算（如103×97）和规律探究（如7×9与8×8对比）提升运算能力与推理意识，助力学生深化公式理解，也为教师提供层次分明的教学路径，高效落实核心素养。

3 乘法公式 第2课时 平方差公式的应用 课题 第2课时 平方差公式的应用 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P19-20 教学目标 1.了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。 2.用平方差公式进行计算、解决简单问题。 教学重难点 重点：平方差公式的应用。 难点：用平方差公式进行简便计算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 如图1-4，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 （1）请表示图1-7中阴影部分的面积。 （2）小颖将阴影部分沿虚线裁剪后拼成了如图1-8所示的长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？ （3）比较（1）和（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ （4）对于图1-7阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 教师活动：这节课我们就来学习平方差公式。（教师板书课题：第2课时 平方差公式的应用） 通过图形的拼摆过程给出平方差公式的一种几何解释，让学生了解公式的几何背景，发展几何直观。 2.实践探究，学习新知 师生活动： （1）图中阴影部分的面积为答正方形的面积减去小正方形的面积，所以得到阴影部分的面积为a2–b2。 （2）这个长方形的长是a+b，宽是a-b，所以面积可以表示为（a+b）（a-b）。 （3）由于阴影部分的面积不变，所以两个代数式相等，可以得到a2–b2=（a+b）（a-b）。 【教材例题】 例3 利用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122。 师生活动：让学生先观察，提出自己的想法，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 例4 计算： （1）a2(a+b)(a–b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 师生活动：让学生先观察，独立完成题目，然后交流讨论，教师请两位学生口述解题过程，在多媒体上展示正确结果及过程。 【探究】 【观察·思考】 （1）计算下列各组算式： 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？ （3）请用字母表示你发现的规律。 学生活动：学生分析思考，举例计算，计算后分小组交流讨论，讨论完成后，展示自己的想法。 教师活动：请几位同学交流演示，展示自己的想法。 利用平方差公式进行数的简便运算，进一步巩固对平方差公式的理解与认识，同时体会字母运算和推理得到的结论具有一般性。 运用平方差公式探索与表达规律，让学生经历特例归纳、建立猜想、符号表示、推理论证的完整过程。 3.学以致用，应用新知 考点1 利用平方差公式进行简便计算 例1 计算：（1）704×696； （2）(x + 2y)(x−2y) + (x + 1)(x−1)； （3）x(x−1)−(x−)(x+)。 解：（1）原式=（700+4）（700–4）=7002–42=489 984。 （2）原式=x2–(2y)2+x2–1=x2–4y2+x2–1=2x2–4y2–1。 （3）原式=x2–x–(x2–)=x2–x–x2+==–x+。 变式训练 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出。 （1）9.9×10.1； (2)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)； （3）(3x+4)(3x–4)–(2x + 3)(3x–2)。 解：（1）原式=（10-0.1）（10+0.1）=102-0.12=99.99。 （2）原式=（4a2-b2）(4a2+b2)=16a4-b4。 （3）原式=9x2–16–(6x2 + 5x–6)=9x2–16–6x2–5x + 6 =3x2–5x–10。 考点2 平方差公式的几何应用 例2 如图，大正方形ABCM的边长为a，小正方形EBDN的边长为b，点E在AB上，大正方形与小正方形的面积差为80，则阴影部分的面积为________。 答案：40 通过例题讲解，进一步理解平方差公式，体会平方差公式在简便运算中的作用。 通过变式训练巩固所学知识，掌握公式的结构特点，灵活运用公式解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1..下列选项中，不能利用图形的面积关系解释平方差公式的是（ ） 答案：B 2. 将一个长为x(x>1),宽为y(y>1且x>y)的长方形的长增加1,宽减少1,得到的新长方形的面积增加了(　　) A.不变 B.x-y+1 C.-x+y-1 D.x+y 答案：C 3. 用简便方法计算：5002-498×502。 解：原式=5002-（500-2）×（500+2）=5002-5002+4=4。 4. 观察：已知x≠1，计算： （1-x）（1+x）=1-x2， （1-x）（1+x+x2）=1-x3， （1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4， … （1）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ， （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：2+22+23+24+…+2n。 （3）拓广：计算（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）的值。 解：（1）1-xn+1 提示：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=1-xn+1。 （2）根据规律可知： （1-2）（1+2+22+23+24+…+2n）=1-2n+1， 所以2+22+23+24+…+2n=2n+1-2。 （3）（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=-（1-x）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=-（1-x100）=x100-1。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）平方差公式的验证：利用等面积法。用不同的方式表示同一图形的面积。 （2）平方差公式的应用：利用平方差公式简化一些数字计算。 2.布置作业 课本P24习题1.3 T1、T2、T6、T10 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 平方差公式的应用 例3 例4 1.平方差的几何意义 2.利用平方差公式进行简便计算 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $