微专题06：等差数列与等比数列及其前n项和【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题06：等差数列与等比数列及其前n项和】 【高考定位】 一、核心考点浓缩 理解等差、等比数列概念，掌握通项公式与前n项和公式. 能识别数列等差/等比关系并解决问题，了解与函数的关联. 二、命题核心要点 1.考查频率：高考必考，覆盖选择、填空、解答题. 2.题型难度：小题多为基础/中档题，侧重基本量计算与性质应用；解答题多为中档题，常与求和、不等式、递推数列综合，压轴题可融入放缩、导数. 3.核心重点：基本量法（求）是核心；热点为下标和性质、与关系、数列与函数交汇；难点是等比数列公比的分类讨论、综合证明. 三、核心素养聚焦 数学运算：基本量计算、求和公式应用的准确性. 逻辑推理：递推求通项、数列类型证明的逻辑能力. 数学建模：实际情境（增长率、分期付款）中建立数列模型. 直观想象：借助函数图象理解数列单调性与最值. 【真题体验】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 3．（2022·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的性质和特例，以及等比数列的单调性和前项和公式，可判定A、B、C都不正确；由数列是递增数列，得到和，可判定D正确. 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 6．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 7．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 8．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 11．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 二、填空题 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 14．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ． 【答案】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 15．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 16．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1:等差等比数列的基本量计算】 【核心归纳】 高考与模拟考中高频基础题型，小题、解答题第一问均常出现侧重考查通过已知条件列方程（组）求解首项、公差（等差）或公比（等比），进而求通项、前项和常结合与的关系（）命题，模拟考中偶尔融入简单函数背景 （2026·河北·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据等差数列求和公式结合和等差中项性质，求得，由成等比数列，结合等比中项性质和等差数列性质求得和公差的关系，再联立方程求解公差. 【详解】设等差数列的公差为，，解得. 因为成等比数列，所以，即， 代入，可得， 即，解得或，因为公差不为0，所以， 故选：A （2026·陕西咸阳·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件构造等比数列，进而可求的值. 【详解】因为数列的前项和为，，所以， 即，所以，. 所以数列是以公比为3，首项为4的等比数列，所以，即. 故选：B. （2026·陕西西安·三模）若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ）经典例题3例题 A．16 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列为，其公比为，且前项和为，分和两种情况， 结合前项和公式计算可得结论. 【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为， 若，则，所以，又，故不符合题意， 若，则根据题意可知，且， 解得，，故. 故选：D. 【规律方法总结】 1.基本量法核心步骤：设出和，根据题干条件（如已知、、中项等）建立2个独立方程，解方程组得基本量等差问题直接列线性方程，计算量较小 2.等比数列需优先考虑公比的分类讨论当时，；当时，用通项公式和前项和公式高考中常在此处设置易错点，模拟考高频考查分类讨论的严谨性 3.结合与关系时，先求，再由求时的通项，最后验证是否满足，统一通项公式高考解答题中规范书写此步骤可避免失分 （2026·广东茂名·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合数列的前项的定义即可直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 故． 故选：B． （2025·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C．7 D．-7 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可. 【详解】根据等差数列性质，可知，即， 化简得，可知. 故选：B. （2025·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ）小试牛刀3 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【详解】设公差为，则，解得. 故选：B 【热点题型2：等差等比数列的性质】 【核心归纳】 高考小题高频考点，模拟考常以中档题形式出现侧重下标和性质、中项性质的应用，可快速简化计算偶尔结合单调性、最值命题，与基本量法形成互补解题思路 （2026·湖北·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 即，解得， 所以； 又因为是等差数列，且， 即，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. （22-23高二上·山东济南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（   ）经典例题2例题 A．54 B．51 C．57 D．59 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案. 【详解】 即， 故选：C. （25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ）经典例题3例题 A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 【规律方法总结】 1.下标和性质：等差中若，则等比中若，则高考小题优先用此性质简化计算，避免繁琐基本量求解 2.中项性质：等差中，可用于判断数列是否为等差等比中，注意等比中项符号与数列单调性一致模拟考常以此为载体设计判断性题目 3.性质应用误区：等比数列下标和性质需注意各项不为0，等差性质可推广至多项和若题干未明确数列类型，可先通过性质初步判断，再用基本量法验证高考中常结合性质与基本量法综合命题 （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则（    ）小试牛刀1 A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：，所以， 又 故选：B. （2025·甘肃兰州·模拟预测）在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列性质，，解得和的取值，再求公比，利用前项和求得的取值. 【详解】因为是等比数列，所以，又， 所以和是方程，的两根，解得或， 若递增数列，则，，因为， 所以，解得， 所以，解得； 若是递减数列，则，， 因为，所以，解得， 所以，解得， 综上，数列的项数等于 故选：B （2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得，并根据等比数列的性质，代入条件等式，即可求解. 【详解】， 所以是方程的两个实数根，则，，， 根据等比数列的性质，，且 所以，即，得. 故选：C 【热点题型3：等差等比数列前n项和的性质】 【核心归纳】 高考小题、解答题均有涉及，模拟考侧重性质与求和公式的综合应用重点考查前n项和的片段和性质、最值问题，与函数交汇是高频热点 （2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ）经典例题1例题 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． （2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A．8 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由等比数列的性质及已知条件可得，则，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由正项等比数列可知，，成等比数列， 则，又，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：B. （2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且公比，若，则公比（    ）经典例题3例题 A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列片段和的性质，构造新的等比数列求解即可. 【详解】由题意可知，公比. 由是等比数列， 则成等比数列，且公比为， 已知， 则， 即， 当时，两边同除以得，， 解得，（舍），或，则， 当时，此时，由，解得， 由已知，舍去. 故选：B. 【规律方法总结】 1.片段和性质：等差中仍成等差，公差为等比中（）仍成等比，公比为高考小题常以此设计计算类题目，需注意等比中时的排除 2.前n项和最值：等差中由公差的符号判断单调性，时有最小值，时有最大值可通过（最大值）或（最小值）求解模拟考常结合二次函数性质（）求最值 3.与函数交汇：等差是关于的二次函数且无常数项，等比（）可化为指数型函数形式高考中常通过函数单调性、最值推导数列前n项和的性质 【多选题】（2023·山西临汾·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 【答案】BCD 【分析】利用与的关系判断A；利用等差数列与等比数列的片段和性质判断BC；利用等差数列的前项和公式判断D. 【详解】依题意，设的公差为，的公比为， 对于A，因为， 当时，， 当时，，则，满足， 所以，解得，故A错误； 对于B，因为， ， ， 所以，即，，成等差数列，故B正确； 对于C，当时，，，， 显然，，成等比数列； 当时，， ， ， 所以，即，，成等比数列，故C正确； 对于D，因为，， 所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数n的值为8，故D正确. 故选：BCD. 【多选题】（2023·辽宁·三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 【答案】ABC 【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确； 对于B，，，则，而，是等比数列，B正确； 对于C，设等差数列的公差为，首项是， ， ， 因此，则 ，成等差数列，C正确； 对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误. 故选：ABC （24-25高二下·四川绵阳·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 【热点题型4：等差数列等比数列的证明】 【核心归纳】 高考解答题核心考点，多为中档题或压轴题第一问模拟考常结合递推数列命题，难点在于递推式转化与综合证明重点考查定义法、中项法，需体现严谨的逻辑推理过程 （2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足．经典例题1例题 (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． （2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.经典例题2例题 (1)证明：是等差数列，是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证； （2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得. 【详解】（1）由，， 则， 故，又，故， 有， 故数列是等差数列； ， 则，又， 故数列是以为公比，为首项的等比数列； （2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则， 又，则， 则. （24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，.经典例题3例题 (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得. 【详解】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 【规律方法总结】 1.定义法：证明等差需证（常数，）证明等比需证（常数，，）高考中需严格书写递推变形过程，模拟考常需对递推式化简（如移项、通分、构造） 2.中项法：证明等差可证证明等比可证，适用于递推式中含相邻三项关系的题型，高考中常作为辅助证明手段 3.构造转化：针对递推式（如），通过构造新数列转化为等差或等比例：设，求解构造等比数列高考压轴题常结合此方法，模拟考中需熟练掌握常见构造类型 4.易错点：证明等比需同时满足“各项不为0”和“公比为常数”递推式中涉及时，先转化为的关系再证明，避免逻辑断层 （2025·河北·模拟预测）已知数列满足．小试牛刀1 (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，结合放缩法和裂项求和，求得，再由，证得，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足， 可得， 又由，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：， 所以，故， 因为，故，因此． （2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．小试牛刀2 (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . （2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．小试牛刀3 (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析可知，对任意的，且，可得出，变形得出，结合等比数列的定义即可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论求出数列的通项公式，分析可知数列是各项均为正数的单调递减数列，分、两种情况，由结合数列的单调性即可证得结论成立； （3）由不等式的性质得出，利用错位相减法求出数列的前项和，可得出，由结合不等式的传递性可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列满足，且，可得， 由，得，可得， 由，得，可得，， 以此类推可知，对任意的，且，所以， 所以，可得， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可得，所以，故， 易知数列是各项均为正数的单调递减数列， 因为，所以， 当时，， 当时，，所以， 所以，对任意的，， 综上所述，. （3）因为， 所以， 令①， 可得②， ①②得， 所以，故，故对任意的，. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A. 2．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 3．（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用等差、等比数列的通项公式及已知列方程求基本量，进而得到，，再由题设条件得求参数，即可得. 【详解】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C 4．（2025·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 所以. 故选：A 5．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【分析】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出. 【详解】设的公差为 ，的公差为 ， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 6．（2025·河南·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】首先根据等比数列性质求出，从而得到，再写出，最后对分奇偶数讨论即可. 【详解】设的公比为， 记， 由， 得， 所以．令， 则 ． 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：D． 7．（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则 即，解得：， 又， 解得， 则， 故选：B 8．（2025·安徽·二模）在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列基本量的运算可得，故，即数列也为等比数列，再根据等比数列求和公式求解即可． 【详解】因为，，所以，所以，， 故，则数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以． 故选：A． 9．（2025·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 【答案】C 【分析】先根据递推数列判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【详解】因为，所以当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以． 故选：C. 10．（2026·福建·一模）设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（　　） A．2025 B．1980 C．2115 D．2070 【答案】A 【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式计算即可. 【详解】设，则， 则， 于是，解得，经检验满足条件，所以， 故． 故选：A 11．（2026·陕西西安·一模）记为等差数列的前n项和.已知，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】运用等差中项的性质即可得解. 【详解】由，可得， 又因为，即，解得， 故选：C. 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质推得，结合等比数列通项的基本量运算即可逐一判断. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 因数列是等差数列，且，则， 对于AB，由 ，当时等号成立， 即，故A项仅在时可能成立，而B项始终正确； 对于CD，由 ，当时等号成立， 即，故C项仅在时可能成立，D项仅在时成立. 故选：B 二、填空题 13．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 14．（2025·河北沧州·一模）记为等比数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，又，所以（否则）， 所以， ，则，结合得到， 所以. 故答案为： 三、解答题 15．（2025·浙江丽水·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将变形化简后结合等差数列定义即可得； （2）利用裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）由，得， 即，得， 所以数列为等差数列． （2）设数列的公差为，则， 得，故， 故， 则 ， 故. 16．（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解. （2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解. 【详解】（1）因为，所以，         所以.         因为，所以，             则数列是首项为2，公差为1的等差数列，         从而，             故. （2）由（1）可知，             则，         故         . 17．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因， 则 即，从而是等比数列； （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 18．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列定义可得答案； （2）利用第（1）小问求出的通项，再利用错位相减求和即可. 【详解】（1）因为． 所以， 若数列是等比数列，又，则，解得． 此时． 由，得， 所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 即数列为等差数列，且公差为2，所以， 即．则， ， 所以 ， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题06：等差数列与等比数列及其前n项和】 【高考定位】 一、核心考点浓缩 理解等差、等比数列概念，掌握通项公式与前n项和公式. 能识别数列等差/等比关系并解决问题，了解与函数的关联. 二、命题核心要点 1.考查频率：高考必考，覆盖选择、填空、解答题. 2.题型难度：小题多为基础/中档题，侧重基本量计算与性质应用；解答题多为中档题，常与求和、不等式、递推数列综合，压轴题可融入放缩、导数. 3.核心重点：基本量法（求）是核心；热点为下标和性质、与关系、数列与函数交汇；难点是等比数列公比的分类讨论、综合证明. 三、核心素养聚焦 数学运算：基本量计算、求和公式应用的准确性. 逻辑推理：递推求通项、数列类型证明的逻辑能力. 数学建模：实际情境（增长率、分期付款）中建立数列模型. 直观想象：借助函数图象理解数列单调性与最值. 【真题体验】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 2．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 3．（2022·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 8．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 11．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 12．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 二、填空题 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 14．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ． 15．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 16．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1:等差等比数列的基本量计算】 【核心归纳】 高考与模拟考中高频基础题型，小题、解答题第一问均常出现侧重考查通过已知条件列方程（组）求解首项、公差（等差）或公比（等比），进而求通项、前项和常结合与的关系（）命题，模拟考中偶尔融入简单函数背景 （2026·河北·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（    ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．3 （2026·陕西咸阳·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·陕西西安·三模）若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ）经典例题3例题 A．16 B．8 C． D． 【规律方法总结】 1.基本量法核心步骤：设出和，根据题干条件（如已知、、中项等）建立2个独立方程，解方程组得基本量等差问题直接列线性方程，计算量较小 2.等比数列需优先考虑公比的分类讨论当时，；当时，用通项公式和前项和公式高考中常在此处设置易错点，模拟考高频考查分类讨论的严谨性 3.结合与关系时，先求，再由求时的通项，最后验证是否满足，统一通项公式高考解答题中规范书写此步骤可避免失分 （2026·广东茂名·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（   ）小试牛刀1 A．2 B．4 C．6 D．8 （2025·四川德阳·一模）记为等差数列的前项和，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C．7 D．-7 （2025·湖南永州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ）小试牛刀3 A．2 B．3 C．4 D．5 【热点题型2：等差等比数列的性质】 【核心归纳】 高考小题高频考点，模拟考常以中档题形式出现侧重下标和性质、中项性质的应用，可快速简化计算偶尔结合单调性、最值命题，与基本量法形成互补解题思路 （2026·湖北·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （22-23高二上·山东济南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（   ）经典例题2例题 A．54 B．51 C．57 D．59 （25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ）经典例题3例题 A．36 B． C． D．6 【规律方法总结】 1.下标和性质：等差中若，则等比中若，则高考小题优先用此性质简化计算，避免繁琐基本量求解 2.中项性质：等差中，可用于判断数列是否为等差等比中，注意等比中项符号与数列单调性一致模拟考常以此为载体设计判断性题目 3.性质应用误区：等比数列下标和性质需注意各项不为0，等差性质可推广至多项和若题干未明确数列类型，可先通过性质初步判断，再用基本量法验证高考中常结合性质与基本量法综合命题 （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则（    ）小试牛刀1 A．8 B．9 C．16 D．18 （2025·甘肃兰州·模拟预测）在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·福建泉州·二模）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．4 D．5 【热点题型3：等差等比数列前n项和的性质】 【核心归纳】 高考小题、解答题均有涉及，模拟考侧重性质与求和公式的综合应用重点考查前n项和的片段和性质、最值问题，与函数交汇是高频热点 （2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ）经典例题1例题 A．2 B．3 C．5 D．6 （2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A．8 B． C． D．10 （2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且公比，若，则公比（    ）经典例题3例题 A．3 B． C．2 D． 【规律方法总结】 1.片段和性质：等差中仍成等差，公差为等比中（）仍成等比，公比为高考小题常以此设计计算类题目，需注意等比中时的排除 2.前n项和最值：等差中由公差的符号判断单调性，时有最小值，时有最大值可通过（最大值）或（最小值）求解模拟考常结合二次函数性质（）求最值 3.与函数交汇：等差是关于的二次函数且无常数项，等比（）可化为指数型函数形式高考中常通过函数单调性、最值推导数列前n项和的性质 【多选题】（2023·山西临汾·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D．若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 【多选题】（2023·辽宁·三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列 （24-25高二下·四川绵阳·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型4：等差数列等比数列的证明】 【核心归纳】 高考解答题核心考点，多为中档题或压轴题第一问模拟考常结合递推数列命题，难点在于递推式转化与综合证明重点考查定义法、中项法，需体现严谨的逻辑推理过程 （2025·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足．经典例题1例题 (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． （2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.经典例题2例题 (1)证明：是等差数列，是等比数列； (2)求数列的前项和. （24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，.经典例题3例题 (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 【规律方法总结】 1.定义法：证明等差需证（常数，）证明等比需证（常数，，）高考中需严格书写递推变形过程，模拟考常需对递推式化简（如移项、通分、构造） 2.中项法：证明等差可证证明等比可证，适用于递推式中含相邻三项关系的题型，高考中常作为辅助证明手段 3.构造转化：针对递推式（如），通过构造新数列转化为等差或等比例：设，求解构造等比数列高考压轴题常结合此方法，模拟考中需熟练掌握常见构造类型 4.易错点：证明等比需同时满足“各项不为0”和“公比为常数”递推式中涉及时，先转化为的关系再证明，避免逻辑断层 （2025·河北·模拟预测）已知数列满足．小试牛刀1 (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求． （2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．小试牛刀2 (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) （2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．小试牛刀3 (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 2．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 3．（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 5．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 6．（2025·河南·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 7．（2025·湖北·模拟预测）正项等比数列的前n项和为，，则（   ） A．6 B．9 C．8 D．11 8．（2025·安徽·二模）在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 10．（2026·福建·一模）设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（　　） A．2025 B．1980 C．2115 D．2070 11．（2026·陕西西安·一模）记为等差数列的前n项和.已知，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 12．（2026·江苏徐州·模拟预测）数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则 . 14．（2025·河北沧州·一模）记为等比数列的前项和，若，则 . 三、解答题 15．（2025·浙江丽水·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 16．（2025·四川眉山·模拟预测）在数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 18．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $