2.1 第1课时 对顶角、余角和补角-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件围绕“两条直线的位置关系”第1课时，涵盖相交线、平行线、对顶角、余角、补角的概念及性质。课堂导入结合铁轨、枕木等生活实例，从现实情境抽象出位置关系，通过“观察-定义-性质-应用”的学习支架，构建知识脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过台球问题抽象几何模型，引导学生用数学思维推导对顶角相等、同角等角余（补）角相等的性质，以定义、性质的精准表述强化数学语言。随堂小测与课堂检测结合，帮助学生深化理解，教师可借助结构化设计提升教学效率。

1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角 学习目标 1.在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的平行和相交关系，理解对顶角、补角、余角等概念。（重点） 2.掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并解决一些实际问题。（难点）（重点） 课时导入 观察下面几幅生活中的图片： 两铁轨平行。 枕木之间也平行。 枕木与铁轨相交。 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。 知识讲解 知识点1 相交线与平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。 若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为相交线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 a b 相交 a b 平行 思考：不想交的两条直线一定平行吗？ a b 直线a与直线b，不相交，但也不平行。 直线平行的定义中的注意事项： （1）必须是在同一平面内； （2）没有相交点； （3）指的是两条直线（不是线段或射线）。 1. 判断下面说法是否正确: （1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ） （2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行 。 （ ） （3）两条直线，要么平行，要么相交。 （ ） （4）在同一平面内，不相交的两条直线必平行。 （ ） 随 堂 小 测 × × × √ 知识讲解 知识点2 对顶角及其性质 如图，直线AB与CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？ 观察·交流 A B C D O 2 1 3 4 1. ∠1与∠2公共顶点O。 2. ∠1与∠2两边互为反向延长线。 ∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。 思考：∠1与∠2是对顶角，那么它们的大小有什么关系呢？ A B C D O 2 1 3 4 你能验证你的猜想吗？ 猜想：∠1与∠2边互为反向延长线，角的开口大小一样，角度相等。 思考：∠1与∠2是对顶角，那么它们的大小有什么关系呢？ A B C D O 2 1 3 4 因为∠AOB和∠COD都是平角， 所以∠4+∠1=∠2+∠4， 根据等式的性质，等式两边都减去∠4， 得∠1=∠2。 对顶角的性质：对顶角相等。 1. 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是 （ ） 随 堂 小 测 D 知识讲解 知识点3 补角、余角及其性质 如图，∠1与∠3有什么数量关系？ 观察·思考 A B C D O 2 1 3 4 ∠1与∠3组成一个平角，所以∠1与∠3的和是180°。 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。 1 2 如上图，∠1+∠2=180°，∠1与∠2互为补角。 类似的，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 1 2 如上图，∠1+∠2=90°，∠1与∠2互为余角。 注意： 互余、互补是两个角的数量关系，与位置无关。 如图1，打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。 思考·交流 图1 2 D C O 1 3 4 A B N 图2 将图1抽象成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。 2 D C O 1 3 4 A B N 图2 在图2中： 互为补角的角：∠1与∠AOC，∠2与∠BOD等。 （1）找出互为补角和互为余角的角。 互为余角的角：∠1与∠3，∠2与∠4等。 2 D C O 1 3 4 A B N 图2 在图2中： 因为∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°， 并且∠1=∠2， 所以∠3=∠4。 （2）∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？ 同角或等角的余角相等。 2 D C O 1 3 4 A B N 图2 在图2中： 因为∠AOC+∠1=180°， ∠BOD+∠2=180°， 并且∠1=∠2， 所以∠AOC=∠BOD。 （3）∠AOC与∠BOD的大小有什么关系？为什么？ 同角或等角的补角相等。 总结归纳 如果两个角的和是180°，那么称这两个角 。 如果两个角的和是90°，那么称这两个角 。 同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 互为补角 互为余角 1. 如图，∠AOB＝90°，若∠1=40°，则∠2的度数是(　　) A．20° B．40° C．50° D．60° 随 堂 小 测 C 2. 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°。指出图中还有哪些角相等，请说明理由。 解：∠1 = ∠3。 理由：因为∠AOC = 90°， 所以∠1与∠2互余， 又因为∠BOD = 90°， 所以∠3与∠2互余， 所以∠1 = ∠3(同角的余角相等)。 1.下列说法正确的是 （　　） A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．相等的两角是对顶角 C．有公共顶点并且相等的角是对顶角 D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 D 课 堂 检 测 2.如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1=30°，则∠EOD的度数为 。 105° 3.请在括号中注明根据，在横线上补全步骤。 如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC=90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF=34°，求∠BOD的度数。 解：因为∠EOC=90°，∠COF=34°， 所以∠EOF= °。 因为OF是∠AOE的角平分线， 所以∠AOF= =56°（角平分线的性质）。 所以∠AOC= °。 所以∠BOD= °（ ）。 56 ∠EOF 22 22 对顶角相等 两条直线的位置关系 相交 小结 平行 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。 注意： （1）必须是在同一平面内； （2）没有相交点； （3）指的是两条直线（不是线段或射线）。 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 对顶角及其性质 定义 1. 两角有公共顶点； 2. 它们的两边互为反向延长线。 注意：两个角是否为对顶角，只与两角的位置有关。 性质 对顶角相等。 补角、余角及其性质 定义 互为补角：两个角的和是180°。 互为余角：两个角的和是90°。 注意：两个角是否互为补角（余角）只与角的大小有关，与位置无关。 性质 同角或等角的补角（余角）相等。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $