1.3 第2课时 完全平方公式-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“完全平方公式”，通过观察具体算式（如(m+3)²展开）引导学生猜想公式，结合多项式乘法推导验证，搭建从具体运算到抽象公式的学习支架，帮助学生理解公式的结构特征与推导过程。 其亮点在于融合几何直观与逻辑推理，通过大正方形面积分解（等面积法）验证公式，培养数学眼光，结合简便运算（如102²=(100+2)²）和公式变形（如a²+b²=(a+b)²-2ab），发展运算能力与推理意识。采用“猜想-验证-应用-小结”流程，学生能深化理解并灵活运用，教师可直接依托完整教学环节提升效率。

3 乘法公式 第2课时 完全平方公式 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用。（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活运用完全平方公式进行计算。（难点） 3.体会数学整体思想，发展运算能力。 课时导入 观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？ (m + 3)2 = (m + 3) (m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2+ 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9 (2 + 3x)2 = (2 + 3x) (2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2。 (m + 3)2 = m 2 + 2×3m + 32 (2 + 3x)2 = 22 + 2×2×3x + （3x）2 知识讲解 知识点1 完全平方公式的认识 猜想：(a + b)2= 。 a 2 + 2ab + b2 再举两例验证你的发现。 (3x + 5)2 (2m + 3n)2 猜想：(3x + 5)2= 。 9x2+30x+25 (3x + 5)2 = (3x + 5) (3x + 5) = (3x) 2 + 5×3x + 5×3x + 25 = 9x2 + 2×5×3x + 25 = 9x2 + 30x + 25 与猜想结果一致。 猜想：(2m + 3n)2= 。 4m2+12mn+9n2 (2m + 3n)2 = (2m + 3n) (2m + 3n) = (2m) 2 + 2m×3n + 3n×2m + (3n) 2 = 4m2 + 2×2m×3n + 9n2 = 4m2+12mn+9n2 与猜想结果一致。 (a + b)2=a 2 + 2ab + b2。 用自己的语言描述这一公式。 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。 思考·交流 1. 你能用下图解释这一公式吗？ b a b a （1）大正方形的边长为 ，面积为： 。 （a+b）2 （a+b） （2）大正方形的面积也可以表示为两个小正方形面积与两个长方形面积的和，分别表示出它们的面积。 a2 b2 ab ab 则大正方形的面积也可以表示为： 。 a2+2ab+b2 （3）比较（1）和（2）的结果，你能验证这个公式吗？ （a+b）2 a2+2ab+b2 = 思考·交流 2. 如何计算（a – b）2 ？你是怎样做的？ （a – b）2 =（a – b）（a – b） =a2 – 2ab+ b2 （a – b）2 =[a + （– b）]2 =a2 + 2a（– b）+ （– b）2 =a2 – 2ab+ b2 (a – b)2=a 2 – 2ab + b2。 用自己的语言描述这一公式。 两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。 尝试·思考 请你设计一个图形解释这一公式。 b a b a 如右图，用不同的方式表示阴影部分的面积。 （1）阴影部分正方形的边长为： ， 面积为： 。 （a – b） （a – b）2 （2）阴影部分正方形面积也可以表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积。 ab b（a–b） a2 – ab – b（a – b） =a2 – ab – ab +b2 =a2 – 2ab +b2 （3）比较（1）和（2）的结果验证这个公式。 （a – b）2 a2 – 2ab +b2 = (a + b)2=a 2 + 2ab + b2。 (a – b)2=a 2 – 2ab + b2。 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 例5 利用完全平方公式计算： （1） (2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2。 (2x)2 – 2 • 2x • 3 + 32 =4x2 – 12x + 9 解：（1） (2x – 3)2= （2） (4x + 5y)2= (4x)2 + 2 • 4x • 5y + (5y)2 =16x2 + 40xy + 25y2 （3） (mn – a)2= (mn)2 – 2 • mn • a + a2 =m2n2 – 2amn + a2 1.计算(a – 1)2的结果是 (　　) A.a2 – a + 1 B.a2 – 2a + 1 C.a2 – 2a – 1 D.a2 – 1 随 堂 小 测 B 2.下列计算结果为2ab – a2 – b2的是 ( ) A．(a – b)2 B．( – a – b)2 C． – (a + b)2 D． – (a – b)2 D 3.计算：（教材P21 随堂练习T1） （1）( x – 2y)2； （2）(2xy + x)2； （3）(n + 1)2 – n2。 2 1 5 1 解：（1） ( x – 2y)2= 2 1 ( x)2 – 2 • x • 2y + (2y)2 2 1 2 1 = x2 – 2xy + 4y2 4 1 （2） (2xy + x)2= 5 1 (2xy)2 + 2 •2xy • x + ( x)2 5 1 5 1 =4x2y2 + x2y + x2 5 4 25 1 （3）(n + 1)2 – n2= n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 知识讲解 知识点2 完全平方公式的运用 思考：怎样计算1022，1972更简便呢？ 102与197都接近整百数，写成整百数加（或减）一个数来计算能否简便呢？ 1022可以写成（100 + 2）2； 1972可以写成（200 – 3）2。 1022=（100 + 2）2 =1002 + 2×100×2 + 22 =10 000 + 400 + 4 =10 404 1972=（200 – 3）2 =2002 – 2×200×3 + 32 =40 000 – 1 200 + 9 =38 809 将原数转化成符合完全平方公式特点的形式，可以简化运算。 总结归纳 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a + b)2 或者(a − b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解。 例6 （1）(x + 3)2 – x2； （2）(a + b + 3)(a + b – 3)； （3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3) ； （4）[(a+b)(a-b)]2。 =x2 + 6x + 9 – x2 =6x + 9； 解：（1）(x + 3)2 – x2 计算： = [(a + b )+ 3][(a + b )– 3] =(a + b )2 – 32 （2） (a + b + 3)(a + b – 3) =a2 + 2ab + b2 – 9 ； 例6 计算： = x2 + 10x + 25 – (x2 – 5x + 6) =x2 + 10x + 25 – x2 + 5x – 6 （3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3) =15x + 19； （1）(x + 3)2 – x2； （2）(a + b + 3)(a + b – 3)； （3） (x + 5)2 – (x – 2) (x – 3) ； （4）[(a + b)(a - b)]2。 =(a2 - b2)2 =a4 - 2a2b2 + b4。 （4）[(a + b)(a - b)]2 总结归纳 对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算。 观察·思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。。 解：(m+n)×(m+n)=m2+2mn+n2 m×m+n×n=m2+n2 观察·思考 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。。 (m+n)×(m+n)≠m×m+n×n。 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和不一样多。 知识拓展 完全平方公式 变形 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ①a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab　 ②2ab = (a + b)2 – (a2 + b2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ①a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab　 ②2ab = (a2 + b2) – (a – b)2 ③(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab ④(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 常见的完全平方公式的变形。 总结归纳 知道(a + b)2 ，(a – b)2 ，a2 + b2 ，ab中任意两个的值，可以求其余两个。 1. 若(a + b)2＝(a – b)2 + A，则A为 (　　) A．2ab B． – 2ab C．4ab D． – 4ab 随 堂 小 测 C 2. 已知a + b=3，a2 + b2=5，则ab= 。 2 3. 利用整式乘法公式计算：（教材P24 随堂练习） (1)962； (2)(a – b – 3) (a – b + 3)。 =（100 – 4）2 =1002 – 2×100×4 + 42 解：（1）962 =10 000 – 800 + 16 =9 216 = [(a – b ) – 3][(a – b ) + 3] =(a – b )2 – 32 （2） (a – b – 3)(a – b + 3) =a2 – 2ab + b2 – 9 1.下列计算正确的是 (　　) A. (x + y)2=x2 + y2 B. (x – y)2=x2 – 2xy – y2 C. (x + 2y)(x – 2y)=x2 – 2y2 D. ( – x + y)2=x2 – 2xy + y2 课 堂 检 测 D 2．将( – a + b – 1)(a + b + 1)化为(m + n)(m – n)的形式为(　　) A．[b + (a + 1)] [b – (a – 1)] B．[b + (a + 1)] [b – (a + 1)] C．[b + (a + 1)] [b – ( – a + 1)] D．[b + (a + 1)] [b – ( – a – 1)] B 3.若x2 + 6x + k是完全平方式，则k等于(　　) A．9 B．– 9 C．±9 D．±3 A 4. 已知x – y = 7，xy = 2，则x2 + y2的值为 (　　) A．53 B．45 C．47 D．51 A 5. 若a + b = 3，a2 + b2 = 7，则ab等于 (　　) A．2 B．1 C． – 2 D． – 1 B 6.若代数式x2 + kx + 25是一个完全平方式，则k= 。 10或–10 7.下面各式的计算是否正确？若不正确，请改正。 (x + y)2= x2 + y2 (2)(x – y)2 =x2 – y2 (3) (x – y)2 =x2 – 2xy – y2 (4) (2x + y)2 =4x2 + 2xy + y2 不正确，原式=x2 + 2xy + y2 不正确，原式=x2 – 2xy + y2 不正确，原式=x2 – 2xy + y2 不正确，原式=4x2 + 4xy + y2 8.运用乘法公式计算: (1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3) ; (2) (a + b + c)2。 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3) ] =x2 – (2y – 3)2 解：（1） (x + 2y – 3)(x – 2y + 3) =x2 – (4y2 – 12y + 9) =x2 – 4y2 + 12y – 9 =[a + (b + c)]2 =a2 + 2a(b + c) +(b + c)2 （2）(a + b + c)2 =a2 + 2ab + 2ac +b2 + 2bc + c2 完全平方公式 内容 验证方法 结果是三项，不要忘记中间项 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 符号表示 (a + b)2=a 2 + 2ab + b2 (a – b)2=a 2 – 2ab + b2 小结 等面积法 注意事项 中间项的符号要正确 完全平方公式的应用 计算数的平方 找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a + b)2 或者(a − b)2 的形式。 小结 公式的变形 计算多项式之积 可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，再运用公式计算。 知二求二，熟练掌握公式的各种变形。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $