1.3 第1课时 平方差公式-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过计算四个多项式乘法实例引导学生观察结果，发现“两数和与差的积等于平方差”的规律，再举例验证，搭建从具体运算到抽象公式的学习支架，衔接多项式乘法与平方差公式的知识脉络。 其亮点在于结合几何直观与推理意识，通过大正方形减小正方形的等面积法验证公式，培养数学眼光。设计“尝试·思考”环节引导式子变形（如(a–b)(–a–b)转化为平方差形式），发展推理能力。小结系统梳理公式内容、验证与应用，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

3 乘法公式 第1课时 平方差公式 学习目标 1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。（重点） 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。（难点） 3.灵活地运用平方差公式进行简便计算。（重点） 4.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。（难点） 课时导入 计算下列各式： （1）（x + 2）（x–2） （2）（1+3a ）（1–3a） （3）（x+5y ）（x–5y） （4）（2y+z ）（2y–z ） =x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 =1 – 9a2 =x2 – 5xy + 5xy – 25y2 =x2 – 25y2 =4y2 – 2yz + 2yz – z2 =4y2 – z2 =x2 – 2x + 2x – 4 解： 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现？ 再举两例验证你的发现。 发现：两数和与两数差的积，等于它们的平方差。 （2a+b）（2a–b）=4a2 – b2。 （x+8y）（x–8y）=x2 – 64y2。 知识讲解 知识点1 平方差公式的认识 平方差公式 （a+b）（a–b）=a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式 （a+b）（a–b）=a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 相同项 符号相反项 知识点1 平方差公式的认识 知识讲解 例1 利用平方差公式计算： （1） ( 5 + 6x ) ( 5 – 6x )； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y)； （3） ( –m + n ) ( –m – n) =52 –（6x）2 =25 – 36x2 =x2 –（2y）2 =x2 – 4y2 =（–m）2 – n2 =m2 – n2 解： 例2 利用平方差公式计算： （1） （ – x–y ）（ – x + y ）； （2） （ ab + 8）（ ab – 8 ）。 4 1 4 1 =（ – x）2 – y2 4 1 = x2 – y2 16 1 =（ab）2 – 82 =a2b2 – 64 平方差公式中的a，b可以是数也可以是整式。 解： 尝试·思考 如何计算（a – b）（–a – b）？你是怎样做的？ 把（– b）看作平方差公式中的“a”； 把 a 看作平方差公式中的“b”； （a – b）（–a – b）=（– b）2 – a2 =b2 – a2 。 知识拓展 写出下面式子中的“a”和“b”。 （a + b）（– b+a ） a b a b （–a – b）（a – b） – b a （2a + 3b）（2a – 3b） 2a 3b （a3 + b2）（a3 – b2） a3 b2 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： （1）紧扣公式特征，找出相同的项和相反的项，再应用公式 （相同为a，相反为b）； （2）公式中的a和b可以是单项式也可以是多项式； （3）不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算； （4）找出的“a”或“b”中带系数或指数，应连同系数和指数一起平方。 1. 计算：（教材P19 随堂练习） （1） (a+2) (a–2) ； （2） (3a+2b) (3a–2b)； （3）(–x–1) (1–x)； （4） (– 4k+3) (– 4k–3) 。 随 堂 小 测 =a2 –22 =a2 – 4 解： =（3a）2 –（2b）2 =9a2 – 4b2 =（–x）2 –12 =x2 – 1 =（–4k）2 –32 =16k2 – 9 2. 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出。 （1）(– 3x + 2)(3x – 2)； （2）(– x + 2y)(– x – 2y)； （3）(– 3a + 4b)(– 4b – 3a)； （4）(– a + b)(a – b)。 不能 能，原式=（–x）2 –（2y）2=x2 –4y2 能，原式=（–3a）2 –（4b）2=9a2 –16b2 不能 知识讲解 知识点2 平方差公式的几何证明 如图。边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 a b （1）请表示图中阴影部分的面积____________。 a2 – b2 a2 b2 （2）小颖将阴影部分沿虚线裁剪后拼成了一个长方形，如何表示这个长方形的面积？ 知识讲解 知识点2 平方差公式的几何证明 a b （1）请表示图中阴影部分的面积____________。 a2 – b2 （2）小颖将阴影部分沿虚线裁剪后拼成了一个长方形，如何表示这个长方形的面积？ a2 b2 长： ；宽： ； 面积： 。 a + b a + b a – b a – b （a + b）（a – b） （3）比较（1）和（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ a2 – b2 （a + b）（a – b） = 如图。边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 知识讲解 知识点2 平方差公式的应用 观察·思考 （1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点： 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6 399 6 400 （a – 1）（a + 1）=a2 – 1 （2）从以上的过程中，你发现了什么规律？ （3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗? 例3 用平方差公式进行计算： （1） 103×97； （2）118×122。 原式=（100 + 3）（100 – 3） =1002 – 32 解： =9 991。 原式=（120 – 2）（120 + 2） =1202 – 22 =14 396 。 可以通过变形，变成平方差公式，进行简便计算。 例4 计算： （1） a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 原式=a2(a2 – b2) + a2b2 =a4 – a2b2 + a2b2 解： =a4 。 原式=(2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) =4x2 – 25 – 4x2 + 6x =6x – 25。 1. 已知a=7202，b=721×719，则 （ ） A. a=b B. a>b C. a<b D. a≤b 随 堂 小 测 2. 计算20202 – 2019×2021= 。 3. 95×105=( )×( )=( )=( )。 B 1 100 – 5 100 + 5 1002 – 52 9 975 4.计算。（教材P20 随堂练习） （1）704×696； （2）(x + 2y)(x − 2y) + (x + 1)(x − 1)； （3）x(x − 1) − (x − )(x + )。 3 1 3 1 原式=（700 + 4）（700 – 4） =7002 – 42 解： =489 984 原式=x2 – (2y)2 + x2 – 1 =x2 – 4y2 + x2 – 1 =2x2 – 4y2 – 1 原式=x2 – x – (x2 – ) 9 1 =x2 – x – x2 + 9 1 = – x + 9 1 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　) A．(2a + b)(–2a + b) B．(a + 2)(2 + a) C．(–a + b)(a – b) D．(a + b2)(a2 – b) 课 堂 检 测 A 2. 下列选项中，不能利用图形的面积关系解释平方差公式的是 （ ） B A. B. C. D. 4. 已知a + b＝8，a – b＝2，则a2 – b2的值为________。 16 3.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是 （ ） A．a2 + b2=(a + b)(a – b) B．a2 – b2=(a + b)(a – b) C．(a + b)2=a2 + 2ab + b2 D．(a – b)2=a2 – 2ab + b2 B ① ② 5.计算: （1）(x + 1)(x – 1)(x2 + 1)； （2） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)。 （1）(x + 1)(x – 1)(x2 + 1) =(x2 – 1) (x2 + 1) =x4 – 1 解： （2） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2) =(m + 2)(m – 2)(m2 + 4) =(m2 – 4) (m2 + 4) =m4 – 16 6.先化简,再求值：(3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1)，其中x=2。 (3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1) =9 – x2 + 2(x2 – 1) =9 – x2 + 2x2 – 2 =x2 + 7。 解： 当x=2时，x2 + 7=22 + 7=11。 7.用简便方法计算： 2 0152 – 2 014×2 016 =2 0152 – (2 015 – 1)(2 015 + 1) =2 0152 – (2 0152 – 1) 解：原式 =1。 8. 计算： （1）(y + 2) (y – 2) – (y – 1) (y + 5) ; （2）(3x + 4)(3x – 4) – (2x + 3)(3x – 2)。 =y2 – 4 – (y2 + 4y – 5) =y2 – 4 – y2 – 4y + 5 解：（1）原式 = – 4y + 1。 =9x2 – 16 – (6x2 + 5x – 6) =9x2 – 16 – 6x2 – 5x + 6 （2）原式 = 3x2 – 5x – 10。 小结 平方差公式 内容 注意事项 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算 找出相同的项和相反的项，再应用公式相同为a，相反为b 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 a、b可以是单项式或多项式 符号表示 （a+b）（a–b）=a2 – b2 小结 平方差公式 验证 应用 利用平方差公式简化一些数字计算。 利用等面积法.用不同的方式表示同一图形的面积 1.必须符合平方差公式的结构特征。 2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算。 3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化。 4.在运算过程中，有时可以反复应用公式。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $