湖北省沙市中学2025-2026学年高三上学期12月第四次周练数学试题

2025—2026学年度上学期2023级 第四次周练数学试卷 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 考试时间：2025年12月5日 注意：请将答案填涂在答题卡的相应位置，答在本试卷上无效！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则 A． B． C． D． 2．设集合，则 A．{1} B．{1, 2} C．{2, 3} D．{1, 2, 3} 3．设向量a = (2, x), b = (2 + x, 2x), 若a(2a—b) = 0，则 A．2 B．3 C．4 D．5 4．《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛､羊､猪各 数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多 于猪､羊数量之和，则牛､羊､猪的总头数至少为 A．12 B．15 C．18 D．21 5．已知函数.若对于任意的等差数列{an}，总有{f (an)}是等差数列，则称函数 f (x)具有“保等差性”.函数f (x)可能是 A． B．f (x) = x2 C．f (x) = sinx D．f (x) = 2x + 1 6．设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当 取得最小值时，k = A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值为 A．2 B． C． D．3 8．在中，斜边BC = 1，AD为BC边上的高，的平分线交于点， 当最大时，的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则 A．事件“X为奇数”发生的概率 B．事件“”发生的概率为 C．事件“”和事件“”相等 D．事件“”和事件“Y＝6”独立 10．在直角坐标系xOy中，,圆F1与y轴相切．P为圆 F1上的动点，且不在x轴上，PF2的垂直平分线与直线PF1交于点，则 A． B． C．直线与的斜率之积为3 D．若，则 11．已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如f (1) = 1, f (4) = 3.则下列 选项正确的是 A．f (6) = 4 B．f (2025) = 20 C． D．设，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知二项式，其展开式中项的系数为 . 13．甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不 同的排法种数共有 .（用数字作答） 14．正方体的棱长为，为侧面ABB1A1内的动点（含边界），若MC、 MD分别与直线B1C1所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时， 其外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15．（13分） 已知的三个内角，B，C的对边分别为a, b, c, 且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 16．（15分） 某工厂流水线上生产的零件分为特等品和一等品，随机抽取一个零件，抽到特等品的概率为． （1）若从流水线上随机抽取个零件，记抽取的零件中特等品的数量为，求使的值最大的正整数； （2）记事件为“从流水线上随机抽取个零件，其中恰有个特等品”，证明：． 17．（15分） 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. （1）证明：； （2）设点是棱BB1上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 18．（17分） 在直角坐标系中，F (1, 0)，为曲线上异于的一点，C在A处的切线交轴于点B，直线BF与C相交于M, N两点． （1）证明：； （2）求面积的最小值： （3）若AF平分，求直线的方程． 19．（17分） 已知函数. （1）若函数f (x)在点(1, f (1))处的切线过点(—1, 3)，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使f (x)存在唯一的极值点，并说明理由； （2）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 数学试卷第4页（共4页） 数学试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 第四次周练数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A B D A D C ABC BCD 11 ACD 12． 10 13． 192 14. 7．【详解】由题知,,因为,则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 8．【详解】设，因为，所以，， 所以， 所以， 令，记， 则，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，即取到最大值，此时 . 10．【详解】对于A,由题意可知圆，而不为定值，故A错误， 对于B,设，则， 故， 故，B正确， 对于C,根据垂直平分线的性质可得,当在同侧时,， 当在两侧时，， 因此,故在双曲线上， 设,则,所以与的斜率之积为，故C正确， 对于D,根据对称性，不妨设位于第一象限，设直线与的倾斜角分别为， 由C可知，又故， 因此故 解得因此，故，D正确， 11．【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确； 对于B，，它的因数形如，其中， 所以不同的因数有个，即，故B不正确. 对于C，因为，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，，则 ， 故D正确. 14.【详解】在正方体中，， 所以与直线所成角为，与直线所成角为， 因为平面，平面，所以， 所以，同理， 由题意可知，可得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，由余弦定理可得 ， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时为等腰直角三角形， 因为，此时点， 易知点、、， 设三棱锥的外接球球心为， 由可得，解得， 即点，此时三棱锥的外接球半径为， 故其外接球的表面积为. 15.（1）在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. （2）因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 16．（1）记，因为， 所以， 从而， 当时，，当时，， 所以，即使得最大的正整数， （2）由（1）知， 所以， 而对都有， 因此即 17．（1）证明：如图，设点是的中点，连接. 由于，故. 又平面平面平面，平面平面， 故平面. 而平面，故，即， 在中，， 所以. 又，故，所以，即， 结合平面， 可得平面，又平面，因此. 又，故. （2）由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.于是， 点是棱上一点，设， 所以， 设向量是平面的一个法向量，则 ，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大，故. 18.（1）设， 因为，所以直线的方程为，即， 令，得，所以直线与直线的斜率之积为， 因此， （2）由（1）知直线的方程为， 由得， 则，其中为的横坐标， 所以由（1）知的面积为， 设，则， 当在单调递增， 当在单调递减， 所以在取最小值， 故当时，的面积取最小值， （3）设，因为是的根，所以 故，， 由（1）知 由于平分，故，即， 从而，所以，故， 故，因此， 故直线的方程为. 19-1.（1）由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. （2）取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. （3） 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $