湖北省沙市中学2025-2026学年高三上学期12月第四次周练数学试题

2025一2026学年度上学期2023级 第四次周练数学试卷 命题人：高三数学组审题人：高三数学组 考试时间：2025年12月5日 注意：请将答案填涂在答题卡的相应位置，答在本试卷上无效！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.己知i为虚数单位，则2+i A.1+2i B.1-2i C.2-i D.-1+2i 2.设集合=九头N=eNeN, 则M∩N= x A.{1} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 3.设向量a=(2,x),b=(2+x,2x),若(2-)=0，则x= A.2 B.3 C.4 D.5 4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛、羊、猪各 数头（各有至少1头），已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多 于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为 A.12 B.15 C.18 D.21 5.已知函数f(c)x∈R).若对于任意的等差数列{a},总有{f(a)}是等差数列，则称函数 f(x)具有“保等差性.函数f(x)可能是 A.f(x)=2 B.f(x)=x2 C.f(x)=sinx D.f(x)=2x+1 2025 6.设样本数据5，，5的平均数，中位数，众数和标准差分别为abc,d.当∑，-) 取得最小值时，k= A.a B.b C.c D.d 7.已知a,b∈(-1，+o),且a+ .1 ,=2,则b+ 的最小值为 b+1 a+2 9 A.2 B. 4 C.2 D.3 数学试卷第1页（共4页） 8.在Rt△ABC中，斜边BC=1,AD为BC边上的高，∠ABC的平分线交AD于点E, 当ED最大时，cos∠ABC的值为 A. 5-1 B.5-1 c.7-1 D.√2-1 4 2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X,掷出点数之和为Y,则 A.事件X为奇数发生的概率 B。事件Y<17发生的概率为3 4 C.事件“X=2”和事件“Y=4”相等 D.事件“X=4”和事件“Y=6独立 10.在直角坐标系xOy中，A1(-1,0),A2(1,0),F1(-2,0),F2(2,0),圆F1与y轴相切.P为圆 F1上的动点，且不在x轴上，PF2的垂直平分线与直线PF交于点Q,则 A.PF =2 PA B.PE=2P4 C.直线QA与QA,的斜率之积为3 D.若∠A2A,=45°，则Og=2 11.己知函数y=∫(x)x∈N)的函数值等于n的正因数的个数.例如f(1)=1,f(4)=3.则下列 选项正确的是 A.f(6)=4 B.f(2025)=20 C.f6) D.设b(V,则觉-ys55 台b2-b2t16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知二项式G+,共展开式中x项的系数为 13.甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不 同的排法种数共有 ·(用数字作答) 14.正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为4，M为侧面ABBA1内的动点（含边界），若MC、 MD分别与直线B1C1所成角的正切值之和为√，则当三棱锥M-ABC的体积最大时， 其外接球的表面积为 数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.(13分) 己知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan B tan C=tanB+tanC+1, eV6,c=3. (1)求角C: (2)若△ABC为锐角三角形，且WA+B+NC=0,求△BC的面积. 16.(15分) 某工厂流水线上生产的零件分为特等品和一等品，随机抽取一个零件，抽到特等品的 联为 (1)若从流水线上随机抽取5个零件，记抽取的零件中特等品的数量为X,求使 P(X=k)的值最大的正整数k; (2)记事件A为“从流水线上随机抽取5n个零件，其中恰有n个特等品”，证明： P(A)P(A)<P(A<P(A). 17.(15分) 如图所示，在三棱柱ABC-ABC中，BB=BC=AB=4C=2cos∠CB,=子，且满 足平面ABC⊥平面ABB,A· B (1)证明：AB1⊥BC; A (2)设点M是棱BB1上一点，当直线CM与平面ACC,A BM 所成的角最大时，求8B的值 数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 在直角坐标系x0中，P1,0,4为曲线C:y=兰上异于o的一点，C在A处的切 线交x轴于点B,直线BF与C相交于M,N两点. (1)证明：AB⊥N; (2)求△AMN面积的最小值： (3)若AF平分∠MAB,求直线AM的方程. 19.(17分) 己知函数f)=sin(巴x)+V-am (1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线过点(-1,3)，求a的值： (2)试给出α的一个整数值，使f(x)存在唯一的极值点，并说明理由： 1 (2)若存在a 25,使不等式f(c)+a-b≤0对任意的x∈(0，+o)成立，求b的最小值， 数学试卷第4页（共4页） 第四次周练数学答案 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 B B A B D A D C ABC BCD 11 ACD 12.10 13.192 14.80m 7.【详解】由题知，a+2+=4,因为a+2>0,b+1>0,则b+1+9= b+1 a+24a+2 1 b+1 6+1+9 a+2 -4a+26+0+a 9 +101≥26+10)=4， (a+2)b+1) 4 当且仅当(a+2)b+1)=3时，即当a=1,b=0时，等号成立 内tb1+品的碳小值为4 载6”2的最小值为2 8.【详解】设∠ABC=2a,因为BC=1,所以AB=cos2a,BD=AB×cos2=cos22a, 所以ED=BDxtana=cos22 atan a, 所以BD°=cos2atam2&=cos2asng=cos2a}-cos2g cos2 a 1+cos2a 1omac0.0-0-1 则rg--x)x+0--_-2x(2r+1-2 t∈(0,1)， （1+t) (1+t)i 令f0)=0得1=，令f6>0得0<1⊥，令f0<0得而-1<t1, 所以f)在 所以t=】 7-1时， ED即ED取到最大值，此时cos∠ABC B coS2a =1= 7-1 10.【详解】对于A,由题意可知圆E:(x+2)2+y2=4,P=2,而PA不为定值，故A错 误， 对于B,设P(s,t),则(s+2)+t2=4, 故PP4P4=(-2+-4+1+f]=-3(+2+-4=0, 故PE=2PA,B正确， 对于C,根据垂直平分线的性质可得引OP曰QF引，当P,Q在F同侧时， IOr|-|QE=P℉=2， 当P,2在F两侧时，1Qr|-|QE月HP耳=2， 因此egHe=2<=4,故0在双曲线x2_ -=1上， 设Q(2,g),则p2_4=1,所以Q4与Q4,的斜率之积为 3 9.9q2 -=3 p-1p+1p2-1 1+94-1 ,故C正确， 对于D,根据对称性，不妨设Q位于第一象限，设直线QA与QA,的倾斜角分别为α，B, 由C可知ke4,te4=tan atan B=3,又B-a=45°，故 tan B-tanc=1, tam(B-a个=1+tan Atand 因此tanB-tana=4,故 4品。品n-- 解得g=因比0Qp+g-1+=4,故0=2，D正商， 11.【详解】对于A,6的正因数为1,2,3,6共4个，所以f(6)=4,故A正确； 对于B,20253452,它的因数形如3×5，其中i∈{0,1,2,3,4}，j∈{0,1,2}， 所以不同的因数有5×3=15个，即f(2025)=15,故B不正确 对于C,因为6=(2×3)=2×3，所以f(6)=(k+1), -营w0 --}g》+0506卢1061，放c正确： 对于D,f(2)=2,f(3)=2,f4)=3,f(5)=2,则 二扇喷感店 ++y b4049b4050 1 1 1 （-1）/2267 2N22W2×4b,b6b,bs b4049b4o50 s1 1 +t,1 52(√2,2)52 16bb6 b,bgb4049b4050 1643 人0 1696 3×42025 16 4 故D正确. 14.【详解】在正方体ABCD-AB,CD中，B,C1/BCIAD, 所以MC与直线B,C所成角为∠MCB,MD与直线B,C,所成角为∠MDA, 因为BC⊥平面ABBA,BMC平面ABBA,所以BC⊥BM, 所以mMCB-B别-B业，同理am∠nA-AMAM BC 4 AD 4 由慰意可知tan MCB+tan MD4=BM+AM-V反，可得BM+AM=4N2, 4 以点A为坐标原点，AB、AD、AA所在直线分别为x、y、z轴 D B 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设8=∠AMB,由余弦定理可得cos0=AM+BM2-AB M 2AM.BM D (AM+BM)'-AB:-2AM.BM 32-16 8 AM.BM-1. -1= B 2AM·BM 2AM.BM 所以Sw4M-ausm04M2M-cs04M2u 8 AM.BM ww VAM-BM AM BM:-2AM.BM-42 16 64 AM+BM =2V22-4=4, [AM=BM 当且仅当 AM+BM=4W5时，即当AM=BM=2D时，等号成立， 因为AM+BMP=AB2,此时△ABM为等腰直角三角形， 因为=光a-CA8e分445#时点M202功. 易知点A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(0,4,4), 设三棱锥C-ABM的外接球球心为O(x,y,), x2+y2+z2=(x-4)2+y2+z2 x=2 由OA=OB=0C=OM可得x2+y2+z2=x2+(y-4)+(z-4)',解得y=4, x2+y2+z2=(x-2)2+y2+(z-2)月 z=0 即点O(2,4,0),此时三棱锥M-ABC的外接球半径为R=O4=√22+4+02=2√5， 故其外接球的表面积为4πR2=4π×20=80π. 3 tan B+tan C 15.(1)在△ABC中，由tan B tan C=tanB+tanC+1得 =-1, 1-tan B tan C ..tan(B+C)=-1, ,A+B+C=π， ∴.tanA=tanπ-(B+C)]=-tan(B+C),tanA=l, 又0<A<元，A=T 4 :a=V6,c=3,C∈(0，π)， 由正弦定理得sinc=csinA3xV2 a 3 V62 3 :c>a,C>A,两个解均符合题意。 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以C= 3 :snB=si血[π-(+C]-sin(4+c=5+V2 4 NA+NB+NC=0, .N是VABC的重心， 1 Sae7Ae3 cma-x6x3x6+E3+5 6 4 4 所以aBC的面积为3+B 1 16.(1)记a()=P(X=),因为X~B5n, 所uae=c周C, 5n-k (5m) 4 从而 a(k) 4C= k(5n-k)T4(k+1) (k+1) eg (5n) 5n-k (k+1)(5n-k-1)τ a(k) 当k<n时， <1,当k≥n时， a(k >1, a(k+1) a(k+1) 所以a(k)≤am,即使得P(X=k)最大的正整数k=n, 4 2由知4)-周(a)-c周周 所以). 周 (5n+4)(5n+3)(5n+2)5n+1) P(4.) cg 周学-周 (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)） 而对k=1,2,3,4,都有1< 5n+k5 4n+k4 因此 P(A P(A)P(A)P(A)<P(A) P(A) 17.(1)证明：如图，设点D是AB的中点，连接CD,B,D. 由于BC=AB=AC=2,故AB⊥CD 又平面ABC⊥平面ABB,A,CDC平面ABC,平面ABC∩ 平面ABBA=AB, D 故CD⊥平面ABBA. 而BDC平面ABBA,故CD⊥BD,即∠B,DC=90°， 在△BCB,中，B,C2=BC2+BB-2 BC.BB.cos∠CBB,=4+4-2.2.2. =6, 4 所以B,D=√B,C2-CD2=3 又BB,=2,BD=1,故BB2=BD2+BD2,所以∠BDB,=90°，即AB⊥B,D, 结合AB⊥CD,BD∩CD=D,BD,CDC平面B,CD, 可得AB⊥平面B,CD,又B,Cc平面B,CD,因此AB⊥B,C. 又ABIAB,故AB1⊥B,C. (2)由(I)知BD.CD AB两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图 B 空间直角坐标系.于是A(0,1,0),B(0,-1,0),C(3,0,0,B(0,0,V5), A 点M是棱BB,上一点，设BM=BB=(0,L,V3), 所以cM=CB+BM=（5,-1,0)+0,13)=(-5,-1+元，5） 5 AC=(N5,-1,0,A4=B8=(0,15), 设向量元=(x,y,)是平面ACCA的一个法向量，则 iAC=(x,yz(N5,-10=5x-y=0 lm-动@1)-y+52=0令=-l,则=-1. 所以=(1V5,-1: 设直线CM与平面ACCA所成的角为B, (,3,-1(-5,-1+25) -2W5 L3.-16,-1+元3V5V3+(-1++3z 25 √5V422-22+4 所以当2=}时，s血6达到最大，直线CM与平面4CCA所成的角最大，故BB年 BM 1 4 18.(1)设A24,a2),a≠0， 因为ylk2a=a,所以直线AB的方程为y-a=a(x-2a),即y=ax-a2, 令y=0,得B(a,0),所以直线AB与直线MN的斜率之积为a.」=-1， -a 因此AB⊥N, (2)由(1)知直线MN的方程为y=-二x+1, [y=x+ 由{ a 得1 二x-1=0, x2 y= 4 4 则xM+xw=-二，ww=4,其中xM,xw为M,N的横坐标， a 所以 w0】 自如调-1爱-3 设-0+x>0,则r国)-2-+。 6