重庆市四川外国语大学附属外国语学校(石桥铺校区)2026届高三上学期一模数学试题

数学试卷 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若复数,则( ) A.1 B.5 C. D. 3.已知平面向量是两个单位向量,在上的投影向量为,则( ) A.1 B. C. D. 4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )() A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 5.已知某圆台轴截面的周长为10、面积为,圆台的高为,则该圆台的表面积为( ) A. B. C. D. 6.将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排,2本语文书不相邻的概率为( ) A. B. C. D. 7.已知,,则( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线E:的左、右焦点分别为,,过点的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若,且双曲线E的离心率为,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.阅读不仅能帮助孩子积累知识,还能提升他们的语言表达能力和思维能力,从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况,随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况,并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图,则( ) A. B.估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C.估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D.估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟(每组数据以该组区间的中间值作代表) 10.已知等差数列的公差为d,前n项和为,若,则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 11.已知,函数,若恒成立,则( ) A.的最小值为9 B.的最小值为2 C.的最小值为 D.的最小值为 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数,则 . 13.在三棱锥中,O为的外心,底面ABC,,,且,则三棱锥外接球的表面积为 . 14.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在上单调,则的最大值为 . 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.设函数,曲线在点处的切线方程为. (1)求的值: (2)求函数的极值. 16.如图,在四边形中,. (1)求的值; (2)若,且的面积是面积的4倍,求的长. 17.如图,在四棱锥中,底面为梯形,,,,,平面平面,E为棱上一点. (1)过点E在平面内能否作一条直线与平面垂直?若不能,请说明理由; (2)若时,求直线与平面所成角的正弦值. 18.已知椭圆:的左,右焦点为,,点是椭圆上任意一点,的最小值是. (1)求椭圆的方程; (2)设为椭圆的上,下顶点,为椭圆上异于的两点,记直线,的斜率分别为,,且. (i)证明:直线过定点; (ii)设直线与直线交于点,直线的斜率为,试探究,,满足的关系式,并给出证明. 19.某公司为了开拓新产品市场,组织人类挑战机器人对抗赛活动.每局比赛只有胜和负两种情况,无平局,每局比赛挑战者战胜机器人的概率为,胜者记2分,其余记1分.每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响. (1)求三局比赛中,人类队累计得分的分布列和数学期望; (2)若局比赛中,人类队累计得分为分的概率为,求; (3)若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为;若采用“比赛赛满局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为,比较与的大小,并说明其统计意义. 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A A B C C A B D ABD BCD AC 3 9 15.(1)因为, 所以, , 切线过点, , 由导数的几何意义可知,斜率, . (2)由(1)知,,可得, , 令,则,解得或, 当或时,, 当时,, 所以在和上单调递增,在上单调递减, 从而可知是函数的极大值点,极大值为, 是函数的极小值点,极小值为. 所以函数的极大值为,极小值为. 16.(1)设,则, 由正弦定理可知,,即, 整理得,又因为,, 可解得,即. (2)由(1)可知,,. 由正弦定理可知,,解得, 又,. ,. , ,, , 解得. 17.(1)过E作交棱于F,为所求作的直线. 因为平面平面,且, 平面平面,平面, 所以平面,又因为, 所以平面; (2)取的中点O,的中点M,连接, 因,则,又平面平面,平面, 则平面,又易得,则平面. 从而两两垂直.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则,,,,, 所以,, 设平面的法向量为, 则,令,则,,所以, 因为,所以, 则,所以, 因为,,, 设与平面所成的角为,则, 故直线与平面所成角的正弦值为. 18.(1)由椭圆:可知,因此, , 易知当时,取得最小值,即, 解得,所以, 即椭圆的方程为; (2)(i)证明:若直线的斜率不存在,则,这与矛盾,不合题意; 当直线的斜率存在时,设的方程为,, 联立,消去整理可得, 又,可得; 易知,所以; 又, 即 ; 又,且恒成立, 所以,解得, 即的方程为,因此直线恒过点. (ii)由(i)可知,直线的方程为,直线的方程为,如下图所示: 联立可得, 解得,即点在上; 记与轴交点为, 则,所以, ,所以 ,所以 又因为,,同号,所以. 19.(1)的所有可能取值为3,4,5,6, 的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. (2)依题意,局比赛中,人类队累计得分为分,即局中有2局人类队取胜, 当时,, 当时,也符合上式. , 设 得: , , (3)设“赛满局人类队获胜”为事件,要使事件发生,有两种情况:第一阶段赛满局人类队胜,记为事件,和第一阶段赛满局人类队负,记为事件 ①若第一阶段人类队胜,则人类队在前局至少胜局,分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局, (1)若人类队至少胜局,无论后面两局结果如何,最终人类队获胜; (ii)若人类队恰好胜局,且后面两局中人类队均负的概率为, . ②若第一阶段人类负,则人类队恰好胜了局,而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜, , , . 在人类队每局获胜概率为的条件下,局数越多,人类队获胜的概率越小. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $