精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高三上学期期末模拟测试（二）数学试题

北京市第八十中学2025-2026学年第一学期期末模拟测试（二） 高 三 数 学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ） A. 直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B. 当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C. 当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D. 当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 8. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. [1，16] B. [1，17] C. [9，16] D. [9，25] 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在答题卡上写上每小题的正确答案） 11. 已知，则__________． 12. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 13. 若，则展开式中的系数为__________；__________. 14. 在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为____ ②若，则的内切圆半径r = ____ 15. 如图，在棱长为1的正方体中，若P为线段上的动点（不含端点）． 给出下列四个结论： ①直线与AC所成的角可能是 ②平面平面 ③三棱锥的体积为定值 ④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 17. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 18. 如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且． （1）求证：平面； （2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值； （3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求该椭圆的方程； （2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值． 20. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，中有个，1个1； ②存在.使得都是正整数. （1）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）； （2）若，是否存在规范表满足?若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）若，是否存在规范表满足?若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第一学期期末模拟测试（二） 高 三 数 学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性解集合，解一元二次不等式得集合，最后根据集合的交集的概念可得. 【详解】可化为，解得，故， 又，故. 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果. 【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 设，，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取特殊值即可验证A、B、C三个选项，令，由则 ，构造函数，利用导数证明函数在时单调递增，则，故. 【详解】当时， ，此时，选项A不成立； 当时， ，此时，选项B不成立； 当时， ，此时，选项C不成立； 令，由则 ， 构造函数 ，则，当且仅当时，等号成立， 所以函数在时单调递增，因为 ，因此当时， ，即， 即 ，故，选项D正确. 故选D 4. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出． 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 5. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得. 6. 已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A. 7. 已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ） A. 直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B. 当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C. 当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D. 当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 8. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 9. 某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由，利用求出，再分别求出时的和时的，从而求出的值． 【详解】当时，若，则，所以，所以， 若，则，所以，， 所以，，， 故选：B 10. 已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. [1，16] B. [1，17] C. [9，16] D. [9，25] 【答案】B 【解析】 【分析】设EF的中点为D，易得，，，，再由，根据同向和反向共线时求解. 【详解】如图所示： 设EF的中点为D，则,且， 因， 则， 于是，， 所以， ， ， 当同向共线时，，； 当反向共线时，，， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在答题卡上写上每小题的正确答案） 11. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由题知，， 又，所以， 所以. 故答案为： 12. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 13. 若，则展开式中的系数为__________；__________. 【答案】 ①. 60 ②. 1 【解析】 【分析】利用二项式定理求出通项，进而得到系数求解第一空，利用赋值法求解第二空即可. 【详解】因为的展开式的通项，令，则的系数为60； 令可得：. 故答案为： 14. 在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为____ ②若，则的内切圆半径r = ____ 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，余弦定理求出，进而求出，再利用三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 令，由余弦定理得， ①，由面积为，得， 解得，所以的周长； ②由①知，而，则， 由正弦定理，得，解得， 所以. 故答案为：18； 15. 如图，在棱长为1的正方体中，若P为线段上的动点（不含端点）． 给出下列四个结论： ①直线与AC所成的角可能是 ②平面平面 ③三棱锥的体积为定值 ④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可知②正确，由等体积法可知③正确，由空间向量法计算直线 与所成的角是不能成立知①错误，应用截面数形结合可知④不正确. 【详解】正方体中，，， ，平面，则平面， 平面，则平面平面，故②正确; 到平面的距离， 所以三棱锥体积为，为定值，故③正确; 以点D为原点建立空间直角坐标系如上图所示： 由题得，设， 所以，若直线与AC所成的角是， 所以，所以， 所以，不合题意；①错误； 结合上述坐标系，若延长线交线段于，，示意图如下， 因为，所以，则不垂直， 因为，所以，则不垂直， 因为，所以，则不垂直， 综上，平面截正方体所得的截面不可能是直角三角形， 当延长线与线段（不含端点）有交点，平面截正方体所得的截面不是三角形， 所以平面截正方体所得的截面可能是直角三角形，故④错误. 故答案为：②③. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）若选择条件②④，则由可得，再借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合周期与的关系即可得解；若选择条件③④，则可直接借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合正弦函数最大值可得，再利用周期与的关系即可得解； （2）由的范围可得的范围，结合正弦型函数的性质即可得其最大、最小值. 【小问1详解】 若选择条件②④： 由，可得，即， ， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 若选择条件③④： 由题意可得， 的最大值为，则， 所以， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 其余选法都不成立，理由如下： 若条件①成立，即有， 由， 则，即恒成立， 不符合题意，故①不能选择； 由上知选择条件②与选择条件③都仅可得到，故不能选择②③当已知条件； 【小问2详解】 当时，，， 则当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值. 17. 不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 P ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【小问1详解】 由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 18. 如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且． （1）求证：平面； （2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值； （3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】 (1) 由和，利用线面垂直的判定定理即证结论； (2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d，再利用正弦等于即得结果； (3) 先取DC，AB上点N，G使得CN=BG=1，证明平面MNG平面ADE，即得平面ADE，. 【详解】解：（1） 证明：正方形中，， 又，，平面，所以平面； （2）设直线BD与平面ADE所成角为，点B到平面ADE的距离d，则. 依题意，，由（1）知平面，得平面平面，故点E到平面的距离， 中，，又，故根据等体积法，得，即，故，故直线BD与平面ADE所成角的正弦值是； （3），平面，平面，平面， 又平面平面，平面，. 分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，，又NG在平面ADE外，BC在平面ADE内，平面ADE， 取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，， 又，M是CF的中点，故MN是中位线，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE， 因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG， 故此时平面ADE，. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角； （2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值； （3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求该椭圆的方程； （2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，点在椭圆上，由此可求出，即可求出椭圆方程； （2）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到，由题中条件，求出点坐标，表示出直线的斜率，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，即，因此椭圆方程可化为； 又由题意可知：点在椭圆， 所以，解得，所以； 因此椭圆方程为； （2）设，，直线的方程为， 由消去，整理得：， 所以， 又，所以直线的方程为：， 其与直线的交点为； 同理， 所以的中点为， 因此的斜率为 ， 因此， 即为定值． 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大. 20. 已知函数 （1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； （2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】（1） （2） （3）， 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【小问1详解】 因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. 【小问2详解】 f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 【小问3详解】 定义域为 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 略 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，中有个，1个1； ②存在.使得都是正整数. （1）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）； （2）若，是否存在规范表满足?若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）若，是否存在规范表满足?若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）B是规范表，C不是规范表 （2）不存在，理由见解析 （3）存在，2027 【解析】 【分析】（1）直接根据规范表的定义判断即可； （2）利用反证法假设存在规范表 满足 ，分析得到矛盾的结论即可； （3）先构造再估计，再证明出，则得到最小值. 【小问1详解】 （1）数表，， 当时，，，中有个，1个1； 当时，，，中有个，1个1； 满足条件①； ，当时，，，均为正整数，满足条件②， 综上B是规范表； 数表，， 当时，，，中有个，2个1；不满足条件①， 则C不是规范表． 【小问2详解】 不存在.用反证法假设存在规范表满足， 令，则； 另一方面，根据性质①：， 所以对任意，； 又由条件②，存在，使，矛盾，所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表 【小问3详解】 存在符合题意的规范表. ①构造： 考虑满足如下条件的数表， 其中， 并且当时，相邻两行与 满足对成立， 则数表为符合题意的规范表； ②估值： 以下证明，当为偶数且时， 规范表满足. 事实上，用表示规范表第行中的个数， 其中为偶数， 令，则， 从而，，据此可知为偶数，为奇数. 设为规范表，则m为奇数. 另一方面，由条件①知相邻两行有个分量符号相反， 据此可知第行与第行至多有2个分量符号相反， 即， 所以，， 这表明.综合①②所述，m的最小值是. 因为， 所以m的最小值是2027. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $