精品解析：陕西省榆林市榆阳区古塔镇初级中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末阶段作业九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球体 C. 长方体 D. 三棱柱 3. 如图，直线，直线和 被直线、、所截，若，， ，则的长为（ ） A. 14 B. 3 C. 9 D. 6 4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 为了测量操场中旗杆的高度 ，小明设计了如图所示的测量方案，旗杆 与标杆的水平距离为，标杆的高为，旗杆 和标杆在太阳光下的影子分别为、 ，且，已知， ，点B、C、E在一条直线上，则旗杆的高度 为（ ） A. B. C. D. 6. 从实数1、、2中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是菱形的对角线，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E， 交于点G，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上， ．若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是__________（填“太阳光下”或“灯光下”）的投影． 10. 一个五边形的边长分别为1，2，3，4，5，另一个和它相似的五边形的最大边为7，则另一个五边形的周长为________． 11. 秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，点E是正方形内部一点，连接， ，若，，则的度数为_____． 13. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 14. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接 并延长至点，使得，连接，以和为边作，连接 ，则 的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在0.25，请你估计箱子中白色小球的个数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， ，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为 ． 18. 如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接．求证：． 20. 为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图1所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将一个均匀转盘平均分成4等份，并分别标上字母A、B、C、D，如图2，每位同学转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母对应的作品即为这位同学要赏析的作品（若指针指在分割线上，则重转，直到指针指向某一扇形为止）． （1）任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为________； （2）甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． 21. 当三角形的面积一定时，它的底边长 与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 22. 综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离 为，点B、D、F在同一直线上， ，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 23. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为___________盒，每天盈利___________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接 ，且 ， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若， ，求矩形的面积 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数(k为常数，且 ， )的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作 轴，交一次函数 的图象于点，求线段的长． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，， ，点D是 的中点，过点D作，连接，且，则的长为_____； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，与交于点F，点D在边上，连接 ，已知，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，在某大型中药种植基地的种植区内，点D在内部，连接、、，为灌溉管道，，且，过点A作 的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，在点M处建立药材存储点，并将、规划为新的药材运输通道，已知千米，千米，，求灌溉管道的长．（存储点的大小及运输通道、灌溉管道的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末阶段作业九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征(即反比例函数的图象上，任意一点的横、纵坐标之积等于常数)． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于， 对选项A：点，，∴该点不在图象上， 对选项B：点，，∴该点在图象上， 对选项C：点，，∴该点不在图象上， 对选项D：点，，∴该点不在图象上， 故选：B． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球体 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见几何体的三视图． 根据三视图均为长方形作答即可． 【详解】解：几何体的三视图均为长方形，则该几何体是长方体． 故选：C． 3. 如图，直线，直线 和 被直线、、所截，若，， ，则 的长为（ ） A. 14 B. 3 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：直线， ， ∵，， ， ， . 故选：D． 4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当 时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 5. 为了测量操场中旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案，旗杆与标杆的水平距离为，标杆的高为，旗杆和标杆在太阳光下的影子分别为、 ，且，已知， ，点B、C、E在一条直线上，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ，点B、C、E在一条直线上， ∴， ∴， ∴，即， 由题意得为，标杆的高为，， ∴， 解得， 故选：B． 6. 从实数1、、2中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等可能事件的概率计算(等可能事件的概率)，根据题意用列举法求所有等可能结果，再用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从实数中先随机选一个数，再从剩下的两个数中选一个， ∴所有等可能的结果有：、、、、、，共6种． ∵第一次选择的数大于第二次选择的数的情况为：、、，共3种， ∴可得． 故选：D． 7. 如图，是菱形的对角线，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E， 交于点G，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为坐标原点，顶点 在轴的正半轴上， ．若反比例函数的图象经过点 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键；连接，交y轴于点D，由正方形的性质可知，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴； 故选A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是__________（填“太阳光下”或“灯光下”）的投影． 【答案】灯光下 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光下． 10. 一个五边形的边长分别为1，2，3，4，5，另一个和它相似的五边形的最大边为7，则另一个五边形的周长为________． 【答案】21 【解析】 【详解】设另一个五边形的周长为x， 则， 解得x＝21． 11. 秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“ ”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 12. 如图，点E是正方形内部一点，连接， ，若，，则的度数为_____． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 故答案为：64 13. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接 并延长至点，使得，连接，以和为边作，连接 ，则 的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题是利用垂线段最短求最值问题，考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．通过“平行得角相等+直角”判定，再利用相似比求出点 的轨迹相关线段长度，最后结合“垂线段最短”，到直线的垂线段长度即为 的最小值． 【详解】解：如图，过点 作交的延长线于点． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵，∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，∴， 即点 在平行于、且与距离为的直线上运动， ∴ 的最小值为到直线的距离， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（配方法或公式法），解题关键是先将方程整理为一般形式，再通过合适的方法求解一元二次方程． 先将方程整理为一般形式 ，再通过因式分解求解方程的根． 【详解】， ， ， 则或， ， ． 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在0.25，请你估计箱子中白色小球的个数． 【答案】估计箱子中白色小球的个数为 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率．设白色小球个数为，表示出箱子中球的总数，然后利用古典概型的概率公式，列出关于的方程，解出后检验结果的合理性． 【详解】解：设箱子中白色小球的个数为个． ∵箱子里有3个红色小球，个白色小球， ∴箱子中球的总数为个． ∵大量重复试验后，摸到红色小球的频率稳定在0.25， ∴摸到红色小球的概率为0.25， 可列方程：， 解得． 经检验，符合题意， ∴估计箱子中白色小球的个数为9个． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， ，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为 ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，连接、、，分别取它们的中点即为、、． 【详解】解：如图所示： 18. 如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】解：如图，点P即为所求作 在正方形中， 又∵， ∴． 19. 如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图1所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将一个均匀转盘平均分成4等份，并分别标上字母A、B、C、D，如图2，每位同学转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母对应的作品即为这位同学要赏析的作品（若指针指在分割线上，则重转，直到指针指向某一扇形为止）． （1）任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为________； （2）甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率；熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四个区域，每个区域被转到的概率相同， ∴任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的结果有9种， P（甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺）． 21. 当三角形的面积一定时，它的底边长 与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 22. 综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度 ．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离 为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离 为，点B、D、F在同一直线上， ，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点 作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点 作， 于点 ， 于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 23. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为___________盒，每天盈利___________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 【答案】（1） ， （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、进价的关系，是解题关键． （1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解； （2）设每盒茶叶降价x元，依题意得，结合尽可能让利于顾客，即可求解． 【小问1详解】 解：当销售单价为110元时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为： ；； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价x元， 依题意得：， 整理得， 或 解得： ，． ∵尽可能让利于顾客， ∴取． ∴在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价8元时，商家平均每天能盈利432元． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接 ，且 ， ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若， ，求矩形的面积 【答案】（1） 证明：∵是、的中点， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中 ，结合 ，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出 ，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数(k为常数，且 ， )的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点 作 轴，交一次函数 的图象于点 ，求线段 的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点 的坐标，再利用一次函数求点 的坐标，最后计算 的长． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵ 轴， ∴点 的纵坐标与点 的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，， ，点D是的中点，过点D作，连接，且，则的长为_____； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，与 交于点F，点D在边上，连接 ，已知，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，在某大型中药种植基地的种植区内，点D在内部，连接、、，为灌溉管道，，且，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，在点M处建立药材存储点，并将、规划为新的药材运输通道，已知千米，千米，，求灌溉管道的长．（存储点的大小及运输通道、灌溉管道的宽度均忽略不计） 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余和余角性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先利用勾股定理和中点定义求得，，再证明 ，利用相似三角形的性质求解即可； （2）通过 得到， ，进而得到 ，，从而可证，推导出，即，进而可证得结论； （3）连接 ，先证明，得出，再证明，得出，从而求出 的长度，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，，， ， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，又， ∴ ， ∴，即， ∴； （2）证明：∵ ， ∴， ， ， ∴ ，， ∴． ∴ ， ∴，即，又， ∴； （3）如图3，连接 ， 由题意，，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $