精品解析：江西省南昌市豫章中学2022-2023学年高二下学期第三次月考数学试题

南昌市豫章中学高二下学期第三次月考 数学试卷 命题人 胡丽斌 （高考复习第一次月考卷:数列、导数、集合（逻辑、不等式）、函数 2023年5月） 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集为，集合，，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上为增函数”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前k项和是3，则k等于（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 7. 已知函数，则的大致图象为（ ） A B. C. D. 8. 用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若集合，集合，则正确的结论是（ ） A. ； B. ； C. D. 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 12. 已知，且成等差数列（ ） A. 也成等差数列 B. 也成等差数列 C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知是奇函数，当时，.若，则______. 14. 公差不为零的等差数列的前项和为是的等比中项，且，则_______，公差________． 15. 已知集合，则集合中全部元素之和为______． 16. 已知集合，则______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； （2）求数列的通项公式． 18 已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知的定义域为，且. （1）若，求，的值； （2）求的值. 20. 已知. （1）求的图象的以为切点的切线方程； （2）过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 21. 小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. （1）李爷爷总共存入多少元？ （2）李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 22. 已知函数，. （1）设且，求的单调区间； （2）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌市豫章中学高二下学期第三次月考 数学试卷 命题人 胡丽斌 （高考复习第一次月考卷:数列、导数、集合（逻辑、不等式）、函数 2023年5月） 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集为，集合，，集合和集合的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 图中阴影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素. 【详解】图中阴影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素，根据题意，， 故选：A 2. “”是“函数在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解. 【详解】若在上增函数，则，即， 因为是的充分不必要条件， 所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则 解得， ∴， 又，， ∴即. 故选：B. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】， 故选：． 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 6. 已知数列的前k项和是3，则k等于（ ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设数列的前项和为，因为， 所以， 解得. 故选：C 7. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用排除法分析，先计算的值，排除，再比较与的值，结合函数单调性的定义排除，即可得答案． 【详解】解：根据题意，， 所以，在区间上，在轴下方有图象，排除， 又，而，有，不会是增函数，排除， 故选：． 8. 用某品牌计算器计算对数时，需按log ( a ， b ) ，某学生误按为log ( b ， a ) ，所得结果为正确值的倍.已知，则的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知列式即，再应用对数性质及运算律化简，最后得出的关系式. 【详解】由已知得，， . 故选：A. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 若集合，集合，则正确的结论是（ ） A. ； B. ； C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】AB选项，根据元素和集合的关系，判断AB；CD选项，根据交集和并集概念进行求解. 【详解】对于A，，但是，A错误， 对于B，，， B正确， 对于CD，， ，C正确，D错误． 故选：BC． 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 11. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确 故选：BD 12. 已知，且成等差数列（ ） A. 也成等差数列 B. 也成等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列计算再结合基本不等式即可判断A,D，应用指数函数单调性判断B,C. 【详解】因为，所以，D选项正确； 因为，所以，C选项正确； 因为，所以,A选项正确； 设成等差数列，得出, 若成等差数列， 则 已知矛盾，所以B错误. 故选： ACD . 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知是奇函数，当时，.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质可知当时，有，代入中可求出的值 【详解】解：因为是奇函数，， 所以， 因为当时， 所以，所以，得， 故答案为： 14. 公差不为零的等差数列的前项和为是的等比中项，且，则_______，公差________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列定义，利用等差数列前项和公式和等比中项性质构造方程组可得结果. 【详解】设数列是公差为的等差数列，且， 由，可得，即 又是、的等比中项，可得，即， 化为 由可得， 故答案为：； 15. 已知集合，则集合中全部元素之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 16. 已知集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一利用复合函数的求导法则即可代入求解；解法二利用整体换元法得函数表达式，再利用求法法则求解. 【详解】解法一：将两边同时对求导，得， 即，所以. 解法二：由得，故， 即，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析，首项为2，公比为2. （2） 【解析】 【分析】（1）根据所证数列的结构，对条件进行变形，然后根据等比数列的定义证明即可. （2）由（1）可得到数列的通项，再用累加法求数列的通项公式即可. 【小问1详解】 ， ， ，， 数列是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，也满足上式， 故 18. 已知函数. （1）若，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解不等式即可； （2）恒成立问题常用的方法是分离参数，由题可得在上恒成立 【小问1详解】 依题意可得：， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因恒成立，且， 所以在上恒成立； 由于，当时等号成立. 所以， 即实数的取值范围为. 19. 已知的定义域为，且. （1）若，求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）赋值法得到，由得到； （2）赋值法得到，进而得到，从而赋值求出. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 又因为，所以，得. 【小问2详解】 因为，所以，即； 又由，得， 由得，即； 又由，得， 由得，即. 20. 已知. （1）求的图象的以为切点的切线方程； （2）过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程即可，最后得解； （2）将切线条数问题，转化为与的图象有三个公共点问题，再借助导数，从而得解. 【小问1详解】 ，所以， 由导数的几何意义可得，以为切点的切线的斜率为， 又，所以切点坐标为， 所求切线为，即. 小问2详解】 设切点为， 由，所以切线斜率为 得切线方程为：， 所以，化简得：. 设， 由题意可知与的图象有三个公共点， ， 当或时，；当时，； 所以当时取极小值；时取极大值； 且， 所以时，中切点横坐标有三个不同的解. 故过点可对的图象作出三条切线时，实数的取值范围为 21. 小李同学最近进步很大，有希望考入一本院校.李爷爷决定从2023年6月2日开始，每月的2号为小李存一笔钱，到2024年8月2日，共存入15笔.2024年9月2日，李爷爷一次性取出全部本息，作为小李同学大学入学后购买手机、电脑、平板等设备的专项资金.李爷爷第一次存入1000元，以后每月增加100元. 银行与李爷爷约定这笔存款按复利每月计息一次，月利率为0.2%. （1）李爷爷总共存入多少元？ （2）李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共多少元？ （提示：，计算过程中，请不要再次取近似值，否则会产生较大误差.） 【答案】（1）25500 （2）26350 【解析】 【分析】（1）依题意根据等差数列模型，由前项和公式计算可得结果； （2）利用等比数列模型，再由等比数列错位相减法求和，计算即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意，存入的钱数成等差数列，首项为1000，公差为100， 利用等差数列前15项和可知， 总共存入了元. 【小问2详解】 第一笔1000元，取出时计息15次，本息共； 第二笔1100元，取出时计息14次，本息共； …… 第十五笔2400元，取出时计息1次，本息共. 设在2024年9月2日可一次性取出本息共元 得 所以李爷爷在2024年9月2日可一次性取出本息共26350元. 22. 已知函数，. （1）设且，求的单调区间； （2）设，求证：. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的表达式，再利用导数研究单调区间即可； （2）构造函数，利用导数研究单调性，进而可证明，再结合基本不等式得，进而可证. 【小问1详解】 由知.故，定义域为， 所以， 令得；令得， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 设 ， 则 ， 当 时， 在 上单调递增， 即 又 ，原不不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$