精品解析：吉林省吉林市丰满区2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测试题

丰满区2025-2026学年上学期期末教学质量检测 九年级数学 本试卷共6页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列成语描述的事件为不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 3. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 如图，是的外接圆，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写一个一元二次方程_______． 8. 将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为________． 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为________． 10. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为________． 11. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸），直径于点．则这根圆柱形木材的直径的长为________寸． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程 13. 现有三张正面分别写有汉字“新”“年”“好”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将三张卡片的背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“好”的概率为________． （2）若从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽得的两张卡片是“新”和“年”的概率． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，用无刻度直尺，在给定网格中作出一个符合要求的图形即可． （1）在图1中，画出经过平移后得到的，且的顶点都在格点上． （2）在图2中，画出经过轴对称后得到的，且的顶点都在格点上． （3）在图3中，画出经过旋转后得到的，且的顶点都在格点上． 15. 在矩形中，． （1）若矩形的面积为，求的长． （2）矩形面积的最大值为________． 16. 如图，是的直径，，． （1）求证：是的切线． （2）若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 17. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若点在线段上，，则的最小值为________． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）________，________． （2）求一次函数的解析式． （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 19. 如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动．当点不与点重合时，过点作于点，作点关于的对称点为点，连接，．设点的运动时间为秒，与重叠部分图形的面积为． （1）________，________．（用含的式子表示） （2）当点和点重合时，________． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 20. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 21. 如图1，在中，，．点在边上，且．点在边上，连接． （1）________． （2）当是等腰三角形时，直接写出的长． （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交线段或线段的延长线于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：． ②连接，当面积是面积的2倍时，直接写出的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，先作出点关于轴的对称点，再作出点关于坐标原点的对称点，顺次连接，，三点得到． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当点在此抛物线上时，求的值． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，直接写出的值． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰满区2025-2026学年上学期期末教学质量检测 九年级数学 本试卷共6页，三道大题，22道小题，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 2. 下列成语描述的事件为不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握相关知识是解题关键． 不可能事件指一定不会发生的事件，通过分析各成语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】解：对于A．水中捞月：月亮在水中仅为倒影，实际无法捞取，一定不会发生，为不可能事件； 对于 B．一箭双雕：虽困难，但可能发生，不是不可能事件； 对于C．守株待兔：兔子撞树桩为偶然事件，可能发生，不是不可能事件； 对于 D．熟能生巧：指练习多了，就能掌握技巧，是可能实现的，不是不可能事件． 故选：A． 3. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 根据中心对称图形的定义对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值． 【详解】解：∵△OPQ的面积是2， ∴k的绝对值为4， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k的值为﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键． 5. 如图，是的外接圆，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵点在上，， ∴． 故选：C 6. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的图象与系数的关系是解题关键． 由二次函数的图象判断出系数a、b、c的符号，并判断每个选项． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， 又∵， ∴，故B正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故C错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写一个一元二次方程_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义写出一个一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式是（，，为常数，）， 是一个一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据平移规律直接解答即可． 【详解】解：原抛物线解析式为 ，向上平移个单位，即在原函数值上加，得新解析式 故答案为：． 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，理解几何概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可． 【详解】解：正方形被分成个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是个小正方形， 任意投掷飞镖次，击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率是． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先计算出的长度，结合旋转性质，得，且为直角三角形，再计算出的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，即为直角三角形， ， ∴， 故答案为：． 11. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸），直径于点．则这根圆柱形木材的直径的长为________寸． 【答案】26 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到尺寸，，利用勾股定理列方程求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆柱形木材的直径长为26寸． 故答案为：26 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 13. 现有三张正面分别写有汉字“新”“年”“好”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将三张卡片的背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“好”的概率为________． （2）若从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽得的两张卡片是“新”和“年”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等可能随机事件的概率，学会画树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：∵3张卡片中，只有1张卡片是“好”， ∴从中随机抽取1张卡片,卡片是“好”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：法一，根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）． 法二，根据题意，列表如下： 第一张 第二张 新 年 好 新 （年，新） （好，新） 年 （新，年） （好，年） 好 （新，好） （年，好） 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，用无刻度直尺，在给定网格中作出一个符合要求的图形即可． （1）在图1中，画出经过平移后得到的，且的顶点都在格点上． （2）在图2中，画出经过轴对称后得到的，且的顶点都在格点上． （3）在图3中，画出经过旋转后得到的，且的顶点都在格点上． 【答案】（1） 解：如图1所示， （2） 解：如图2所示， （3） 解：如图3所示， 【解析】 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图和旋转作图，掌握好每种作图的规范与技巧是关键． （1）将点A、B、C向右平移得到，，，连接成三角形即可； （2）将点C关于作对称，得到，连接成三角形即可； （3）将点A、C绕点B顺时针旋转得到、，连接成三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 15. 在矩形中，． （1）若矩形的面积为，求的长． （2）矩形面积的最大值为________． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积以及二次函数的性质是本题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出方程，然后解方程即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式写出关于的函数解析式，利用配方法求二次函数的最值． 【小问1详解】 解：设的长为． 根据题意，得， 解得，． ∴的长为或． 【小问2详解】 解：设的长为． 则矩形的面积为：． 当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，． （1）求证：是的切线． （2）若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 是的直径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积、切线的判定等知识． （1）证明，又由是的直径即可证明是的切线； （2）根据求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与相交于点C，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 17. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若点在线段上，，则的最小值为________． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由： 由旋转得，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识． （1）根据旋转的性质得到，．证明四边形是平行四边形．由即可证明四边形是正方形； （2）作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，根据勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：. 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）________，________． （2）求一次函数的解析式． （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，数形结合求不等式的解集． （1）将点代入反比例函数解析式可求出的值，进而可得反比例函数解析式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出的值； （2）将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的解析式； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得： ， 解得， 反比例函数的解析式为， 将代入得：． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：将，代入，得 ： ， 解得， 一次函数的解析式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 19. 如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动．当点不与点重合时，过点作于点，作点关于的对称点为点，连接，．设点的运动时间为秒，与重叠部分图形的面积为． （1）________，________．（用含的式子表示） （2）当点和点重合时，________． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2）1 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形性质、勾股定理及列二次函数表达式， （1）先求出，再根据含30度角的直角三角形性质、勾股定理求出结论； （2）先求出，由对称得出，解出即可； （3）分两种情况：当点和点重合之前时，即时；或当点和点重合之后时，即时，分别列出关系式即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由题意得：， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ； ∵点关于的对称点为点，点和点重合， ， ； 【小问3详解】 解：当点和点重合之前时，即时， ，点关于的对称点为点， ， ， ，， 与重叠部分图形的面积为； ∵， ∴点到达点时时间为秒， 当点和点重合之后时，即时，如下图， 由题意得：，，， ， 在中， ， ， 与重叠部分图形的面积为 ， 综上所述，当时，；当时，． 20. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 【答案】（1） 图象如图所示， ①一次；②二次 （2），当时，；，当时， （3）65 【解析】 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【小问1详解】 解：①由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． 故答案为：一次；二次． 【小问2详解】 解：设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得，， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 21. 如图1，在中，，．点在边上，且．点在边上，连接． （1）________． （2）当是等腰三角形时，直接写出的长． （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交线段或线段的延长线于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：． ②连接，当面积是面积的2倍时，直接写出的长． 【答案】（1）2 （2）或或． （3）①证明：在中，，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ； ②1，3． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得到的长； （2）根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，得到，由旋转的性质可知，，，进而推出，即可利用“”证明全等； ②分两种情况讨论：当点在线段上时，如图，过点作于点，过点作于点；当点在线段的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，利用全等三角形的性质和等高三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 由（1）可知，， ①当时，是等腰三角形，此时， ， ， ； ②当时，是等腰三角形，此时， ， ； ③当时，是等腰三角形， 综上可知，的长为或或． 【小问3详解】 ①略 ②解：当点在线段上时，如图，过点作于点，过点作于点， 由①可知，， ，， ， 面积是面积的2倍， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点， 同理可证，， ，， 面积是面积的2倍， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握全等三角形的性质是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，先作出点关于轴的对称点，再作出点关于坐标原点的对称点，顺次连接，，三点得到． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当点在此抛物线上时，求的值． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，直接写出的值． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3），，， （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像及性质、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想以及确定临界点是解题的关键． （1）把代入即可解答； （2）由题意可知：，将C点代入抛物线解析式即可求m的值； （3）分别求出，顶点为，再分以下三种情况当顶点在边上时；当顶点在边上时；直线的解析式为，当顶点在上时；分别求出m的值即可； （4）临界点分别为：顶点在上时，当C点在抛物线上时，A点在x轴上时，根据临界点确定m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入， 可得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵点在此抛物线上，其横坐标为， ∴ ∵点A和点C关于坐标原点O对称， ∴， ∴当点C在此抛物线上时，， 解得：，． 【小问3详解】 解：∵点关于轴的对称点，， ∴， ∵， ∴顶点为， 当顶点在边上时，； 当顶点在边上时，， 解得：或； 当顶点在上时， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 将顶点代入， 解得或； 综上所述：m的值为1，，，． 【小问4详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，顶点为，对称轴为， ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴内部的点在对称轴的左侧， 当顶点在上时，即， 解得：或（与顶点重合，不符合题意，不合题意舍去） ∴点A的横坐标为， 当点A向左运动时，满足题意，即时， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 如图：当C点在抛物线上时， 点A在x轴下方时，有， 解得：（舍去正值）． 此时点A向上运动，运动到x轴时，都符合题意， ∵， ∴或（舍去正值） ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当C点在抛物线上， 点A在x轴上方时，有， 解得：（舍去负值），此时内部不存在抛物线上的点， 当点A向下运动时，点C在抛物线上方，直到点A运动到x轴时，都符合题意，即抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，如下图： ∵， ∴或（舍去负值）， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综上所述：或或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $