精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛一枚硬币，正面朝上 B. 任意画一个圆内接四边形，其对角互补 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数 3. 若是关于的方程的一个根，则的值是（） A. B. C. 3 D. 1 4. 如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则 （　　） A. B. C. D. 5. 如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 7. 如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” 此问题中，该内切圆的直径是（ ） A. 3步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 9. 如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿 和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数（ ）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，，且．以下结论：①；②；③当时，；④；⑤若方程（ ）的两根为、（），则，．其中正确结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若一元二次方程有一个根为，则______． 12. 一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________． 13. 如图，内接于，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于、两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接、，则的度数是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为______． 15. 一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中， ，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为_____． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 三．解答题（满分72分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为 、、． （1）画出绕着点顺时针旋转 得到的； （2）求点A运动到点所经过的路径长． 19. 如图，在和中， ， ． （1）求证： （2）若，，求 的长． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模型设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 22. 如图，点在 的平分线上，与相切于点． （1）求证：直线与相切； （2）的延长线与交于点，若的半径为6，，求弦 的长． 23. 【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形 中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值， _____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形 绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 24. 综合与探究 抛物线（ ）与轴交于点、点，与轴交于点，且顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线在第三象限内任意一点，连接、得到，当取最大值时，请直接写出此时中边上的高的值为______； （3）如图2，点是抛物线在第三象限内任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，若，求此时点的坐标； （4）在（2）的条件下，当取最大值时，若点是轴上一动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，连接、 ，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故该选项符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意抛一枚硬币，正面朝上 B. 任意画一个圆内接四边形，其对角互补 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，即一定发生的事件． 根据各选项的事件性质判断即可． 【详解】解：A．任意抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意； B．圆内接四边形的对角互补是圆的基本性质，则任意画一个圆内接四边形，其对角互补是必然事件，故符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故不符合题意； D．随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数是随机事件，故不符合题意． 故选：B． 3. 若是关于的方程的一个根，则 的值是（） A. B. C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，将代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴代入得：， 即 ∴． 故选：C． 4. 如图，C，D是 上直径两侧的两点，设，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，由是直径求出是解题的关键．由是直径可得，由可知，再根据同弧所对的圆周角相等可得 的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得 ，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 6. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质． 先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的范围，再确定反比例函数系数的符号，从而判断图象所在的象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第二、四象限， 故选：C． 7. 如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变换得到的对应点的坐标是或是解题的关键． 以O为位似中心，将放大2倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以 即可解答． 【详解】解：∵放大为原来的2倍，点的对应点， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：D． 8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” 此问题中，该内切圆的直径是（ ） A. 3步 B. 6步 C. 8步 D. 10步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆等知识，根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据等面积法即可确定出内切圆半径． 【详解】解：∵直角三角形，勾步，股 步， ∴斜边 步， 设该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径为r， 则， 解得 即直径为步， 故选：B． 9. 如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿 和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， 过点B作 于H， ∴， ∴， 当 时，由题意得， ， ∴是等边三角形， 同理可得， ∴ 当时， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：． 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数（ ）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，，且．以下结论：①；②；③当时，；④；⑤若方程（ ）的两根为、（），则，．其中正确结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数和轴交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是利用二次函数的图象和性质，再根据各项系数之间的关系逐项进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 又抛物线的对称轴是， ， 由图象可知抛物线与轴交点在轴的负半轴， ， ， ， 故①正确； 抛物线的对称轴为，其中， 点的坐标是， 设抛物线的解析式是， 整理得：， ∴， ， ， 解得：， 故②正确； 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 二次函数的解析式是， ，， ，， ， ， 故④错误； ，， ， 当时，，， 方程为， 解得：，； 当 时，，， 方程为， 解得：，； ，． 故⑤正确； 综上所述，正确的有个． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，将根代入方程，利用方程根的定义建立等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴代入得， 即， ∴， 故答案为：2026． 12. 一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________． 【答案】4cm 【解析】 【分析】设扇形的半径长为xcm，根据圆锥的底面周长等于弧长求出侧面扇形的半径，再利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设扇形的半径长为xcm，由题意得 解得x=5， ∴此圆锥的高为 故答案为：4cm． 【点睛】此题考查扇形的弧长公式，勾股定理，正确理解圆锥侧面的扇形与底面圆之间的关系是解题的关键． 13. 如图，内接于 ，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于、两点，作直线交于点，连接并延长交 于点，连接、，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 【详解】解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边 在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．设与交于点M，先证，推出，则阴影部分的面积等于，再根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设，与交于点M，     四边形是矩形， ，， ， 正方形的边 在上，， ， ， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积， ， 又在的图象上， ， 故答案为：16． 15. 一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中， ，．三角板固定不动，将小三角板绕点顺时针在平面内旋转，当点在同一条直线上时，点到直线的距离为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、勾股定理．分点E在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当点E在上方时， 如图2，过点D作 ，垂足为H， 在中，，， ， ， ， 在中， ，， ，， ， 点在同一条直线上，且 ， ， 在中， ，， ， ， ， 在中，， ； ②当点E在下方时， 如图3， 在中， ， ，， ， ， 过点作，垂足为， 在中，， ； 综上所述，点到直线的距离为或， 故答案为：或． 16. 在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作 轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，， ，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作 轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转 ，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 三．解答题（满分72分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 可得 或， 解得 ，； 【小问2详解】 解： 可得， 解得，． 18. 如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为 、、． （1）画出绕着点顺时针旋转 得到的； （2）求点A运动到点所经过的路径长． 【答案】（1）图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质及弧长计算公式是解题的关键； （1）根据旋转分别得出点A、B、C的对应点，然后连线即可； （2）连接，由题意易得，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【小问1详解】 解：所得如图所示： 【小问2详解】 解：由作图可知：从点A运动到点所经过的路径为一段圆弧长，连接， ∴，， ∴点A运动到点所经过的路径长为． 19. 如图，在和中， ， ． （1）求证： （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 的长为16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据 得到 ，再根据 即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【小问1详解】 解： ， ， 即 ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模型设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）； ； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中组的人数除以扇形统计图中组的百分比可得本次共抽取的学生人数；计算中位数时，根据定义可得答案；计算组对应的圆心角度数时，用乘组人数所占的分率，即可得出答案； （2）用样本容量减去组、组、组的人数，即可求出组人数，再补全频数分布直方图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）本次共抽取了 （名）学生的模型设计成绩； 由题意得，组的人数为（名）， 将这名学生的模型设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和名的成绩为分、分， 成绩的中位数是 （分）； 在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为． 故答案为：； ；． （2）补全频数分布直方图如图所示． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种， （所选的两位同学恰为甲和丙）． 【点睛】本题考查了样本容量、中位数、圆心角度数的计算，频数分布直方图、扇形统计图的分析，列表法与树状图法求概率等知识点，掌握读图、计算方法是解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积． （1）把点代入一次函数 ，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，再利用待定系数法求得反比例函数的表达式； （2）由中心对称的性质得到，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数 的图象与x轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点与点关于原点成中心对称，点， ∴， 过点作轴于点E，过点作 轴于点D， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ． 22. 如图，点在 的平分线上， 与相切于点． （1）求证：直线与 相切； （2）的延长线与 交于点，若 的半径为6，，求弦 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作于点，如图所示，结合切线性质得到，再由题中条件，结合角平分线的性质得到 ，从而由切线的判定即可得到答案； （2）设交 于，连接，如图所示，先求出相关线段及角度，然后由相似三角形的判定得到，再由相似比得到，设，则，在 中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，作于点，如图所示： 与相切于点， ， 点在 的平分线上，，， ， 直线与 相切； 【小问2详解】 解：设交 于，连接，如图所示： 与相切于点， ∴ ， ∵在中，，， ∴由勾股定理可得， ， ， ， 是 的直径， ， ， ， 则， 又， ， 则， 设，则， 在 中， ，则由勾股定理可得， 即 解得， 则． 【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线性质、切线的判定、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记圆的相关性质，切线的判定、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 23. 【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形 中，，点、分别是 、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值， _____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形 绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）的值没有发生变化，理由如下： 如图2，连接、． ，四边形是矩形， ，． 点、分别是 、上的中点， ，， ， ， ，． 矩形 绕点顺时针旋转， ， ， ； （3）的最大值为5，最小值为3 【解析】 【分析】（1）延长交于点，由矩形的性质以及勾股定理求出 的值即可； （2）连接、，由矩形的性质以及勾股定理先求出 的值，然后证明 ，由相似三角形的性质即可求解； （3）连接，取的中点为，连接 ，证明 是 的中位线，得出在以为圆心，1为半径的圆上，即可求出线段长度的最大值和最小值． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示， ，四边形是矩形， ，． 点、分别是 、上的中点， ，． 由题意得， ，， ， ，故答案为：； （2）略 （3）如图3，连接，取的中点为，连接 ， 是的中点， 是 的中位线， ， 在以为圆心，1为半径的圆上． ， 的最大值为 ，最小值为 ． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键． 24. 综合与探究 抛物线（ ）与轴交于点、点，与轴交于点，且顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是抛物线在第三象限内任意一点，连接、得到，当取最大值时，请直接写出此时中边上的高的值为______； （3）如图2，点是抛物线在第三象限内任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，若，求此时点的坐标； （4）在（2）的条件下，当取最大值时，若点是轴上一动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，连接、 ，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形相似的性质与判定，二次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握数形结合和分类讨论的思想，正确画出图形． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴的平行线，交于点，利用铅锤法表示的面积，根据二次函数求得的最大面积，再利用三角形面积公式求得边上的高即可； （3）分两种情况，即点在点上方或点在点下方，利用相似三角形的性质即可解答； （4）画出图形，根据轴对称的性质即可求得求最小值时，点的位置，再利用勾股定理，求得相关线段长度即可解答． 【小问1详解】 解：根据顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令， 解得， ， 令，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为 ， 设，则， ， 当时，可得有最大值为， ， 的最大值为， ， 此时中边上的高的值为， 【小问3详解】 解：， ， 设，则， 当在点上方时，如图， 此时，， ， ， ， 解得， ， ； 当在点下方时，如图， 此时，， ， ， ， 解得， ， ； 综上，点的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图，连接 ， 对称轴为直线，垂直对称轴， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值， 根据（2）可得当取最大值时，, ， ，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $