专题十八 圆锥曲线的方程与性质 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十八　圆锥曲线的方程与性质 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分. 考查方向： 一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题. 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 　(1)(2025·永州模拟)已知椭圆E：+=1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为 A.2 B.4 C.4 D.8 例1 √ 椭圆E：+=1的长半轴长a=2，半焦距c==1， 则点F(-1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)， 而直线AB：x+λy-1=0恒过定点(1，0)， 所以△ABF的周长为4a=8. 解析 (2)(2025·西南名校联盟联考)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cos∠BAF=，=10，则p等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由题意可知，抛物线C的焦点为F，  准线为x=-，且==10， 因为cos∠BAF=， 所以由余弦定理得2-2cos∠BAF=200×=80=， 即=4， 设A(xA，yA)，由=xA+=10， 解析 所以xA=10-，=2pxA=20p-p2. 设E为准线与x轴的交点，=p， 则+=p2+20p-p2==80，则p=4. 解析 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错； (2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2； (3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置. 规律方法 跟踪演练1　(1)(2025·赤峰模拟)经过点P(-4，0)，Q(0，-2)的椭圆的标准方程为　　　　.  +=1 已知椭圆经过P(-4，0)，Q(0，-2)两点. 点P(-4，0)在x轴上，点Q(0，-2)在y轴上， 且|-4|>|-2|，所以椭圆的焦点在x轴上. 对于焦点在x轴上的椭圆，设其标准方程为+=1(a>b>0)， 因为椭圆过点P(-4，0)，所以a=4，又椭圆过点Q(0，-2)，所以b=2. 将a=4，b=2代入椭圆标准方程+=1中， 可得+=1，即+=1. 解析 (2)(2025·绍兴适应性考试)已知双曲线Γ：x2-=1的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且=6，则+的最小值为 A.4 B.6 C.10 D.14 √ 双曲线x2-=1， 则a=1. 设双曲线的右焦点为F2，由双曲线的定义可知， 点A在双曲线的右支上，则|FA|-|F2A|=2a=2，即|FA|=|F2A|+2； 同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|-|F2B|=2a=2， 即|FB|=|F2B|+2. 所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)=|F2A|+|F2B|+4. 解析 则|F2A|+|F2B|≥|AB|， 当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立. 又|AB|=6，则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4=10， 即|FA|+|FB|≥10. 所以|FA|+|FB|的最小值为10. 解析 考点二　椭圆、双曲线的几何性质 　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知点P在椭圆C上，C的左、右焦点F1，F2在x轴上，PF1和PF2分别交C于另一点A，B，△PAF2的周长为20，C的左顶点和上顶点之间的距离为，设离心率为e，那么 A.椭圆C的焦距为3 B.e= C.△PF1F2面积的最大值为12 D.PF1和PF2斜率的乘积为定值 例2 √ √ 因为点P，A在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a，|AF1|+|AF2|=2a，  故△PAF2的周长为|PA|+|AF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|+|AF1|+|AF2|=4a=20，解得a=5， 因为左顶点和上顶点之间的距离为==，解得b=4， 则c==3，焦距为2c=6，故A错误； e==，故B正确； =×|F1F2|×|yP|=c|yP|≤bc=12， 当点P位于y轴上时，△PF1F2的面积取得最大值12，故C正确； 解析 设P(x，y)，则+=1，即y2=16-x2， 因为F1(-3，0)，F2(3，0)， 所以=，=， 故·=·==·，不是定值，故D错误. 解析 (2)(多选)(2025·安阳模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点，斜率为且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且=，则 A.点F1到C的渐近线的距离为 B.=10 C.C的离心率为2 D.分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为 √ √ √ 因为双曲线C：x2-=1(b>0)，所以a=1，  又因为tan∠BF2F1=， 可得sin∠BF2F1= ，cos∠BF2F1=， 又因为|AF1|=|AB|， 所以|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a=2， |BF1|=2a+|BF2|=4， 则在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2=+-2|F1F2||BF2|cos∠BF2F1， 即16=+4-2×2|F1F2|×， 解析 解得|F1F2|=4或|F1F2|=-3(舍去)， 则2c=|F1F2|=4，即c=2， 所以b==， 即点F1到C的渐近线的距离等于，A正确； C的离心率为e==2，C正确； 在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2=+-2|F1F2||AF2|cos∠AF2F1， 则=42+-2×4×|AF2|×， 解得|AF2|=6，所以|AB|=|AF1|=|AF2|+2a=8≠10，B错误； 解析 过点F1作F1E⊥AB于点E， 因为∠BEF1=∠F1EF2=， 则点E在以BF1，F1F2为直径的圆上， 所以以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E， 且|BF1|=2a+|BF2|=4=|F1F2|， 所以|F1E|==，D正确. 解析 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. (3)求离心率的范围时常利用最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解. 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·合肥质检)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交y轴于点B，且|AB|=，则C的离心率为 A.3 B.2 C. D. √ 不妨令渐近线方程为y=x，顶点A为(a，0)， 则过顶点A与渐近线垂直的直线的方程为y-0=-(x-a)， 令x=0，得y=，则B， 所以|AB|==， 又因为|AB|=，所以a=b， 又因为c2=a2+b2， 所以c=a，所以e=. 解析 (2)(多选)(2025·临汾模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆C上关于原点对称的两点，且=，则 A.AF1⊥AF2 B.四边形AF1BF2的周长为4a C.四边形AF1BF2的面积为b2 D.椭圆C的离心率的取值范围为 √ √ √ 依题意，AB，F1F2互相平分，且=， 则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c， 对于A，AF1⊥AF2，A正确； 对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，B正确； 对于C，四边形AF1BF2的面积为2=|AF1||AF2|==2a2-2c2=2b2，C错误； 对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c≥b， 即c2≥b2=a2-c2， 解得≥，即离心率e的取值范围为，D正确. 解析 考点三　抛物线的几何性质 　(1)(多选)已知O为坐标原点，点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P(4，4)，直线l：x=my+1交抛物线C于A，B两点(不与P点重合)，则以下说法正确的是 A.|FA|>1 B.存在实数m，使得∠AOB< C.若=2，则m=± D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则m=-2 例3 √ √ √ 由题意可知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1， 直线x=my+1恒过点F(1，0)，如图所示. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AA1垂直于准线x=-1， 垂足为A1， 根据抛物线定义可知，|FA|=|AA1|=x1+1，易知x1≥0， 所以|FA|=x1+1≥1， 但当|FA|=1时，点A与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此|FA|≠1，所以|FA|>1，故A正确； 解析 联立直线x=my+1和抛物线C：y2=4x，得y2-4my-4=0，所以y1y2=-4，x1x2=×=1， 此时·=||||cos∠AOB=x1x2+y1y2=-3<0， 所以cos∠AOB<0，因为∠AOB∈(0，π)， 故∠AOB>，所以不存在实数m，使得∠AOB<，故B错误； 若=2，由几何关系可得y1=-2y2，结合y1y2=-4，可得y2=或y2=-， 即B或B，将B点的坐标代入直线方程可得m=±，故C正确； 解析 若直线PA与PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，即+=0， 整理得2my1y2-(4m+3)(y1+y2)+24=0， 代入y1y2=-4，y1+y2=4m， 化简可得4m2+5m-6=0，解得m=-2或m=， 当m=时，直线l过点P(4，4)，不符合题意，所以m=-2，故D正确. 解析 (2)(多选)(2025·云南大联考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线C上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q，下列结论正确的是 A.线段FQ的垂直平分线经过点P B.过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQ C.直线QF与直线PF可能垂直 D.若△PQF是直角三角形，则直线OP的斜率为±2 √ √ √ 因为线段FQ的垂直平分线上的点到点F，Q的距离相等，且点P在抛物线C上，根据定义可知，=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P，A正确；  不妨设点P在第一象限，设P(x0，)，Q，F， 线段FQ的中点坐标为. 结合A选项的结论可得， 线段FQ的垂直平分线的斜率为=. 解析 由y2=2px，可得当y>0时，y=，y' =， 所以过点P的切线的斜率为， 所以过点P的切线与线段FQ的垂直平分线重合， 即过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段FQ，B正确； =，=(-p，)， 若直线QF与直线PF垂直，则·=-p·+2px0=0， 解析 解得p=0或x0=-，都不符合题意， 所以直线QF与直线PF不可能垂直，C错误； 若△PQF是直角三角形，结合C选项的结论， 只能是∠QPF=90°， 所以P，直线OP的斜率为±2，D正确. 解析 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 规律方法 跟踪演练3　(多选)(2025·黄山模拟)已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，点A(8，8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则 A.的最小值为4 B.以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切 C.当=2时，则=9 D.·=-12 √ √ √ 由题设82=2p×8⇒p=4， 则C：y2=8x，F(2，0)， 可设MN：x=ty+2， 联立抛物线得y2-8ty-16=0，显然Δ>0， 所以y1+y2=8t，y1y2=-16， 则=·=8(1+t2)≥8， 当且仅当t=0时等号成立，A错误； 解析 由抛物线的定义知=x1+x2+4， 而MN的中点横坐标为， 所以MN的中点与直线x=-2的距离为+2， 即为的一半， 所以以线段MN为直径的圆与直线x=-2相切，B正确； 若=2，不妨设y1>0>y2， 则y1=2|y2|，而y1y2=-16， 所以y1=4，y2=-2， 解析 则y1+y2=8t=2⇒t=， 所以x1+x2=t(y1+y2)+4=×2+4=5， 则=x1+x2+4=9，C正确； 由·=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-12，D正确. 解析 $