专题18 圆锥曲线求曲线方程七大考法归类（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

圆锥曲线求曲线方程七大考法归类 模块一 专题18 1 考点一 求曲线方程方法 真题动向 必备知识 知识1 椭圆的图形及其简单几何性质 知识2 双曲线的图形及其简单几何性质 知识3 抛物线的图形及其简单几何性质 知识4 直接法求曲线方程 知识5 定义法求曲线方程 知识6 参数法求曲线方程 知识7 交轨法求曲线方程 知识8 相关点法求曲线方程 知识9 点差法求曲线方程 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考向2 直接法求曲线方程 考向3 定义法求曲线方程 考向4 参数法求曲线方程 考向5 交轨法求曲线方程 考向6 相关点法求曲线方程 考向7 点差法求曲线方程 2 3 命题透视 近三年全国卷中，求圆锥曲线方程多以解答题第一问、选择题或填空题形式考查，常结合定义、几何性质设方程求解，或依托动点轨迹、弦长/面积条件、点线位置关系建等式，命题多聚焦椭圆、抛物线，双曲线侧重基础定义应用，常与圆、直线融合命制。 核心考查圆锥曲线的定义、标准方程及几何基本性质，要求考生熟练掌握待定系数法、定义法、直接法求轨迹方程，具备数形结合转化几何条件、列代数方程求解参数的能力，同时侧重检验运算求解的准确性与逻辑推理的严谨性，是对解析几何基础思维的核心考查。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 求曲线方程 一卷T18（1），4分 二卷T16（1），5分 I卷T16（1）， 5分 II卷T5， 5分 甲卷T5， 5分 甲卷T20（1），4分 I卷T22（1），4分 II卷T21（1），4分 甲卷T20（1），4分 乙卷T20（1），4分 乙卷T13， 5分 2026命题预测 2026年全国卷求圆锥曲线方程仍会以解答题第一问、选填题为主，聚焦椭圆、抛物线核心考查，双曲线侧重定义与渐近线结合。大概率结合定义、焦点位置、离心率等几何性质，搭配点线位置关系设条件，需用待定系数法、定义法求解，还可能与圆、直线简单融合，侧重基础量运算与几何条件的代数转化。 01 析·考情精解 4 5 02 构·知能框架 6 7 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 8 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 9 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 10 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 11 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 12 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 13 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 14 03 破·题型攻坚 真题动向 考点一 求曲线方程方法 15 标准方程 图形 焦点位置 在轴上 在轴上 几何性质 范围 顶点 ， ， 焦点 轴 线段是椭圆的长轴，线段是椭圆的短轴； 长轴长，短轴长 对称性 对称轴：轴，轴，对称中心：原点 离心率 ， 知识1 椭圆的图形及其简单几何性质 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 16 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 知识2 双曲线的图形及其简单几何性质 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 17 知识3 抛物线的图形及其简单几何性质 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 18 知识4 直接法求曲线方程 知识5 定义法求曲线方程 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 动点满足的几何条件符合基本(如圆、椭圆、抛物线和双曲线)的定义条件时，我们可以根据基本的方程写出方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解. 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 19 知识6 参数法求曲线方程 知识7 交轨法求曲线方程 如果动点坐标之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把之间的那种隐蔽关系间接地连起来,进而通过消参化为。 若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数，化简整理即得动点的方程。 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 20 知识8 相关点法求曲线方程 知识9 点差法求曲线方程 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的方程。 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法：其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得, 等关系式,由于弦的中点的坐标满足, 且直线的斜率为,由此可求得弦中点的方程。 考点一 03 破·题型攻坚 必备知识 求曲线方程方法 21 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 22 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 23 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 24 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 25 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 26 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 27 03 破·题型攻坚 命题预测 考向1 利用圆锥曲线的图象性质求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 28 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 直接法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 29 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 直接法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 30 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 直接法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 31 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 直接法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 32 03 破·题型攻坚 命题预测 考向2 直接法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 33 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 34 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 35 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 36 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 37 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 38 03 破·题型攻坚 命题预测 考向3 定义法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 39 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 40 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 41 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 42 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 43 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 44 03 破·题型攻坚 命题预测 考向4 参数法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 45 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 46 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 47 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 48 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 49 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 50 03 破·题型攻坚 命题预测 考向5 交轨法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 51 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 52 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 53 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 54 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 55 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 56 03 破·题型攻坚 命题预测 考向6 相关点法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 57 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 58 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 59 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 60 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 61 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 62 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 63 03 破·题型攻坚 命题预测 考向7 点差法求曲线方程 考点一 求曲线方程方法 64 65 【详解】由题意,设、、, 则,,, 则,则. 1．(2024.全国甲卷.高考真题,5,5分)已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(    ) A．4 B．3 C．2 D． 【详解】A选项：直线过点,所以抛物线的焦点,所以,则A选项正确,且抛物线的方程为. B选项：设,由消去并化简得,解得,所以,B选项错误. C选项：设的中点为,到直线的距离分别为, 因为, 即到直线的距离等于的一半,所以以为直径的圆与直线相切,C选项正确. D选项：直线,即,到直线的距离为,所以三角形的面积为, 由上述分析可知, 所以, 所以三角形不是等腰三角形,D选项错误. 2．(2023.新课标Ⅱ卷.高考真题,10,5分)(多选)设O为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(     )． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【详解】由题意可得：,则,抛物线的方程为, 准线方程为,点到的准线的距离为. 4．(2023.新课标Ⅱ卷.高考真题,21,4分)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为,离心率为． (1)求C的方程； 【详解】(1)设双曲线方程为,由焦点坐标可知, 则由可得,,双曲线方程为. 3．(2023.全国乙卷.高考真题,13,5分)已知点在抛物线C：上,则A到C的准线的距离为 . 【详解】(1)由题可知,,所以,解得, 故椭圆C的标准方程为； 5．(2025.全国一卷.高考真题,18,4分)已知椭圆的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,． (1)求C的方程； 【详解】(1)设, 由可得,,所以, 所以, 即,因为,解得：． 6．(2023.全国甲卷.高考真题,20,4分)已知直线与抛物线交于两点,且． (1)求； (1)求的方程； 【详解】(1)由题意可得,解得, 所以椭圆方程为. 8．(2023.新课标Ⅰ卷.高考真题,22,4分)在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为． (1)求的方程； 【详解】(1)设,则,两边同平方化简得. 7．(2023.全国乙卷.高考真题,20,4分)已知椭圆的离心率是,点在上． (1)求的方程； 【详解】(1)设,由题设有且,故,故,故, 故椭圆方程为. 10．(2024.新课标Ⅰ卷.高考真题,16,5分)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; 【详解】(1)由题意得,解得,所以. 9．(2024.全国甲卷.高考真题,20,5分)已知椭圆的右焦点为,点在上,且轴． 【详解】(1)因为长轴长为4,故,而离心率为,故, 故,故椭圆方程为：. 11．(2025.全国二卷.高考真题,16,5分)已知椭圆的离心率为,长轴长为4． (1)求C的方程； 标准方程 图 形 几 何 性 质 范 围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 此时双曲线方程可表示为,据此排除A,D.由抛物线可得, 其准线方程为, 因为双曲线的焦点在抛物线的准线上,可知, 又,即,解得,则双曲线的标准方程为, 1．(2024.广东河源.一模)已知双曲线的两条渐近线互相垂直,且一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【详解】双曲线的渐近线方程为, 因为两条渐近线互相垂直,则,化简得,故, 所以,即,解得或(舍), 所以双曲线的标准方程为. 2．(2024.广东江门.三模)与双曲线：有相同焦点,且过点的双曲线的标准方程为 . 【详解】由题意可设双曲线方程为,又经过点, 【详解】(1)依题意,椭圆的半焦距,由,得, 解得,,所以椭圆的方程为. 3．(2025.云南玉溪.二模)已知是椭圆的左焦点,,分别是椭圆的左、右顶点,. (1)求椭圆的方程； 【详解】(1)将点代入椭圆方程, 得,化简为, 设,则, 解方程组得,即, 所以椭圆的方程为. 4．(2025.浙江嘉兴.二模)已知椭圆过点,过点的直线与交于两点,其中. (1)求椭圆的方程； 【详解】(1)双曲线的右顶点为,渐近线为,即. 由题意：,. 所以双曲线的方程为：. 5．(2024.山东淄博.一模)已知双曲线的实轴长为2,顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； 【详解】(1)由,可得, 又,, 所以, 则E的方程为． 6．(2025.江苏苏州.一模)已知椭圆的左、右顶点分别为,,是E的右焦点,且． (1)求E的方程． 【详解】(1)因为,所以. 将点代入抛物线方程得,化简得,解得或(舍), 所以抛物线的方程为. 7．(2025.河北石家庄.二模)如图,M是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角,且 (1)求抛物线的标准方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1,则, 当时,,化简得； 当时,,化简得； 8．(2026.山东潍坊.模拟预测)(多选)若动点到轴的距离比到点的距离小1,则点的轨迹方程为(     ) A． B． C． D． C．且 D．且 【详解】设点,由题意,, 由,整理得, 因当时,,此时两点恰分别与点重合,故不合题意,应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 9．(2025.四川绵阳.模拟预测)已知的斜边为,且,则直角顶点的轨迹方程为( ) A． B．且 【详解】(1)因为动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. 所以,, ,, ,得：；故动点的轨迹方程为. 10．(2025.云南临沧.模拟预测)动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程； 因为, 所以,即, 则,即,且, 整理得,即. 11．(2025.四川自贡.二模)已知两定点,动点满足,则动点的轨迹方程为 . 【详解】设,则, 【详解】设,则,整理,得,． 动点的轨迹方程是,． 13．(2025.吉林松原.二模)已知,,动点关于轴的对称点为,直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 【详解】,,动点关于轴的对称点为,所以得,且, ,,直线与的斜率之积为.所以, 整理得曲线. 12．(2025.河南驻马店.二模)已知A,B两点的坐标分别是,,直线,相交于点M,且,则点M的轨迹方程为 ． 因为圆与圆、圆都外切,则,, 所以,,所以,点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支, 设双曲线的标准方程为,则, 可得,,则,所以,, 所以,圆心的轨迹方程为. 14．(2025.河北廊坊.一模)已知圆,圆,动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 【详解】设圆的半径为,圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为, 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和,符合椭圆的定义. 则,,又,所以,所以点的轨迹方程为. 15．(2025.广西来宾.三模)如果点在运动过程中,总满足关系式,则的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【详解】依题意,,圆心为,半径为,,圆心为,半径为； 设,动圆的半径为,因为动圆与圆外切,与圆内切,所以,所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点,长轴长,焦距的椭圆； 所以,所以椭圆的短半轴长,所以动圆圆心的轨迹方程为. 16．(2025.吉林四平.二模)一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为,所以点到点的距离等于点到直线的距离, 所以的轨迹为抛物线. 18．(2024.河北张家口.二模)设为定点,动点满足,则动点的轨迹方程为 . 【详解】,动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支, 且,.,双曲线的方程为. 17．(2025.江西上饶.三模)已知点满足,则点的轨迹为(     ) 【详解】因为点在直线的右侧,且点P到点的距离比它到直线的距离小1, 所以点P到的距离与它到直线的距离相等,故P点的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右, 所以,故点P的轨迹方程为． 19．(2025.辽宁本溪.模拟预测)若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1,则点P的轨迹方程是(    ) A． B． C． D．或 【详解】 设双曲线的方程为,由题意得,则, ,则,, 所以双曲线的方程为. 21．(2025.广东东莞.模拟预测)已知椭圆,点在椭圆上,且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； 【详解】(1)由已知可得,化简可得,,则椭圆方程为； 20．(2025.黑龙江鸡西.模拟预测)如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6,8,以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立平面直角坐标系,则以,为焦点,且过点的双曲线方程为 ． C． (原点除外) D．(原点除外) 【详解】当斜率存在时,设,直线的方程为,由得, 联立和消去得,所以, 所以, 由得,所以,所以, 所以,把代入得, 当斜率不存在时,设直线的方程为,,, 由得点在轴上,即,,, 又点在抛物线上,故,整理得,故点,满足方程, 综上所述：动点的轨迹方程为(除原点外) 22．(2025.江苏淮安.模拟预测)如图,设点和为抛物线上除原点以外的两个动点,已知,则点的轨迹方程为(    ) A． (原点除外) B．(原点除外) ,当,得, 则,设, 由已知, , 得,消去得, 23．(2024.贵州铜仁.三模)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线,若交x轴于A点,交y轴于B点,若点M是线段AB上的点,且满足,则点M的轨迹方程是 ． 【详解】解：设,当,得, (2)设点Q在线段MN上(异于端点),且,求点Q的轨迹方程． 【详解】(1)当直线恰好过抛物线C的焦点时,设直线的方程为：,其中, 设, 联立直线与抛物线方程：,可得： ,此时, 化简可得：,解得：,所以抛物线C的方程为：. 24．(2025.江苏无锡.三模)过点的直线与抛物线交于点M,N,且当直线恰好过抛物线C的焦点F时,． (1)求抛物线C的方程； 且,解得：且,, 因为,即,则有, 整理可得：,即,,所以, 即的轨迹方程为：且). (2)设直线的方程为： ,设,, 联立直线与抛物线方程：,可得：, 显然,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为,由,得：, ,解得：或,则,, 而,因此点M的坐标为, ,消去参数k,得：． 由或,得：或． 综上,点M的轨迹方程(或)． 25．(2024.广东阳江.二模)已知定点和抛物线,若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B,求线段AB的中点M的轨迹方程． 【详解】设点M的坐标为,点A的坐标为,点B的坐标为． (2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,点P在该直线上,且,当t变化时,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形． 【详解】(1)设所求椭圆方程为由题意得解得      ∴椭圆方程为． (2)设点解方程组得     由和得或 其中t＞1．消去t,得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线左侧的部分． 26．(2025.江苏连云港.三模)设椭圆中心为原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴的长度之比为t． (1)求椭圆的方程； 【详解】因为与在第一象限内存在交点,所以, 又,所以.联立得0, 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等, 故仅有一解,所以,得, 所以.将代入得, 所以点的横坐标为,纵坐标为,则,轨迹是圆的一部分. 27．(2025.安徽淮北.三模)已知双曲线,抛物线.若与在第一象限内有唯一交点,则点的轨迹是(    ) A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 因为点、是双曲线上不同的两个动点,则且, 设直线与交点为,,且,, 所以,①, ,且,,所以,②, 因为点在双曲线上,则,且,将代入①式化简可得③, 将代入②式化简可得④, ③式与④式相乘可得,可得,因此,轨迹的方程为. 28．(2024.山西太原.三模)已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线.设、为双曲线的两个顶点,点、是双曲线上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为 ； 【详解】由题意可得双曲线的两个顶点,, 【详解】(1)设直线与的交点为,∵A,B是双曲线的左､右顶点,∴, ,,两式相乘得,而在双曲线上, 所以,即,所以,化简得：,即. 又当时,不合题意,去掉左右顶点.∴直线与的交点的轨迹C的方程是； 29．(2025.黑龙江七台河.模拟预测)已知双曲线的左､右顶点分别为A和B,和是双曲线上两个不同的动点. (1)求直线与交点的轨迹C的方程； 因为三点共线,所以,, 因为三点共线,所以,, 所以,两式相乘得,() 因为,所以,即,所以,,整理得(), 所以,直线和的交点的轨迹方程() 30．(2025.广东湛江.一模)已知是椭圆中垂直于长轴的动弦,是椭圆长轴的两个端点,求直线和的交点的轨迹方程． 【详解】由题设,因为椭圆的长轴端点为,设直线和的交点为, (2)设直线AE与BF的交点为P,求P点的轨迹方程. 【详解】(1)根据题意可得,解得,∴求椭圆C的方程为 31．(2025.山东东营.一模)已知椭圆C：的离心率为,且经过,经过定点斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左,右两顶点. (1)求椭圆C的方程； 同理,,故,因为三点共线,故共线, 而, 故,整理得到：或, 若,则由可得,这与题设矛盾,故. 联立方程,解得, ∴P点的轨迹方程为 (2)根据题意可得直线AE：,BF：,由可得, 所以,故,故, 【详解】设点,因为是的中点,且轴,则有,如图： 又在圆上,将代入其中可得 ,即,即点的轨迹方程为. 32．(2026.山东聊城.一模)已知曲线,从上任意一点向轴作垂线段,为垂足,则线段的中点的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 又因为点在圆：上,所以,即. 33．(2025.江苏常州.模拟预测)已知圆：,是圆上的动点,点,若动点满足,则点的轨迹方程为 . 【详解】设,,由,得,所以, 【详解】(1)设点的坐标为,则点是线段与轴的交点, 由题意可得,设的坐标为,则直线的方程为,令,得, 故,是线段的中点,,,即,求解可得, ,,,,, 解得,动点的轨迹的方程为. 34．(2024.福建龙岩.二模)在平面直角坐标系中,已知点,点为直线上的动点,点是线段与轴的交点,点满足,． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【详解】(1)当直线的斜率不存在时,的方程为,代入, 此时,符合题意； 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即 设原点O到直线的距离为d,则,解得 的方程为,即 综上,直线的方程为或 (2)是的中点,由垂径定理得的轨迹是以为直径的圆．的中点为, 即圆心为,半径的轨迹方程为 35．(2025.四川德阳.一模)已知圆内有一点,为过点P的弦． (1)当时,求直线的方程； 【详解】(1)设,,因为,所以, 设动点,则,,因为,所以, 所以,,所以动点M的轨迹E的方程为. 36．(2026.黑龙江双鸭山.模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,已知P,Q两点分别在x轴,y轴上运动,,点M满足,记M的轨迹为 (1)求E的方程； 若,则,解得,即, 点在抛物线上,则,即,曲线的方程为. 37．(2025.四川内江.二模)已知为抛物线上一动点,若点满足(为坐标原点),记点的轨迹为曲线,求的方程． 【详解】设,则, (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【详解】(1)因为,,故,所以, 故,又圆的标准方程为,从而,所以． 由题设得,,, 设点,则有,化简可得, 又由题意可得点不能在x轴上,所以,则点的轨迹方程为. 38．(2025.湖南邵阳.一模)设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于、两点,过作的平行线交于点． (1)证明：为定值,并求出点的轨迹方程； 设弦的两端点分别为,则①,②, 由①②,可得, 依题意,,代入上式,,故有, 故以为中点的弦所在的直线方程为,即. (2)由(1)知,点的轨迹方程为, 由椭圆的对称性知,以为中点的弦所在直线的斜率存在, (2)若恰为弦的中点,求直线的方程. 【详解】(1)设,由题意知,,,化简整理得, 所以点的轨迹方程为,()． (2)设,,,,,且,所以, 所以,故所以, 所以直线的方程为,即． 39．(2025.湖北宜昌.模拟预测)已知两点坐标分别为,直线与斜率之积为24,过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； 代入椭圆的方程,整理得． 因为是中点,所以,所以点的轨迹方程为(在椭圆内)． 【详解】如下图： 40．(2026.湖南张家界.模拟预测)已知椭圆,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 设平行弦的中点为,则弦所在的直线参数方程为：(为参数)． (2)若直线的斜率为1,求线段中点的轨迹方程； 【详解】(1)由题可得：,解得：, 所以椭圆的标准方程为：； 41．(2025.黑龙江佳木斯.三模)已知椭圆经过点且离心率为,设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； 则,解得：, 所以,设弦中点, 则, 消去,得,而,所以点的轨迹方程为. (2)因为直线的斜率为1,所以可设直线的方程为,, 联立 ,化简得, 【详解】(1)设,,,联立直线l与双曲线E的方程,得, 消去y,得．由且,得且． 由韦达定理,得．所以,． 由消去k,得．由且,得或． 所以,点M的轨迹方程为,其中或． 42．(2025.云南昭通.一模)已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点,M为线段AB的中点． (1)当k变化时,求点M的轨迹方程； $