圆锥曲线的方程与性质课件-2026届高三数学二轮复习

专题五　解析几何 第2讲　圆锥曲线的方程与性质 1.(2025·全国Ⅰ卷，T3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为 A. B.2 C. D.2 √ 探究真题 明确方向 设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c， 由题意知b=a， 于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2a， 即e==2. 解析 2.(2025·全国Ⅱ卷，T6)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 对lBF：y=-2x+2，令y=0，则x=1， 所以F(1，0)，p=2，所以抛物线C：y2=4x， 故抛物线的准线方程为x=-1， 当x=-1时，y=4， 故B(-1，4)，则yA=4，代入抛物线C：y2=4x得xA=4. 所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5. 解析 3.(2024·新课标Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) √ 设点M(x，y)， 则P(x，y0)，P'(x，0)， 因为M为PP'的中点， 所以y0=2y，即P(x，2y)， 又P在曲线x2+y2=16(y>0)上， 所以x2+4y2=16(y>0)， 即+=1(y>0)， 即点M的轨迹方程为+=1(y>0). 解析 4.(2024·新课标Ⅰ卷，T12)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点 分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13， |AB|=10，则C的离心率为　　　　.  |F1A|=13，|AF2|=|AB|=5， 且AF2⊥F1F2， |F1F2|==12. 由双曲线定义可得2a=|F1A|-|AF2|=8， 2c=|F1F2|=12， 化简得a=4，c=6， 则C的离心率e==. 解析 5.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T10)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则 A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，|PQ|= C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 √ √ √ A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1， ☉A的圆心(0，4)到直线x=-1的距离显然是1， 等于圆的半径， 故准线l和☉A相切，A选项正确； B选项，当P，A，B三点共线时， 即PA⊥l，则P的纵坐标yP=4， 由=4xP， 得到xP=4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|===B选项正确； 解析 C选项，当|PB|=2时，xP=1， 此时=4xP=4， 故P(1，2)或P(1，-2)， 当P(1，2)时，A(0，4)，B(-1，2)， kPA==-2，kAB==2，不满足kPAkAB=-1； 当P(1，-2)时，A(0，4)，B(-1，-2)， kPA==-6，kAB==6，不满足kPAkAB=-1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； 解析 D选项，方法一　(利用抛物线定义转化) 设抛物线C的焦点为F，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|，这里F(1，0)， 于是=时P点的存在性问题转化成=时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为AF中垂线的斜率为-= 于是AF的中垂线方程为y= 与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0， Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得=D选项正确. 解析 方法二　(设点直接求解) 设P 由PB⊥l可得B(-1，t)， 又A(0，4)= 根据两点间的距离公式，=+1， 整理得t2-16t+30=0， Δ=(-16)2-4×1×30=136>0， 则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确. 解析 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分. 考查方向： 一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是椭圆、双曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是抛物线的几何性质，主要考查与焦点弦相关的知识. 考点二　椭圆、双曲线的几何性质 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 内容索引 专题突破练 考点三　抛物线的几何性质及应用 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|PF|=|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” “定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置； “计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 　 (1)抛物线y=mx2(m<0)上一点A(x0，-4)到其焦点的距离为6，则m的值为 A.- B.- C.-8 D.-4 √ 例1 因为y=mx2(m<0)，所以x2=y，其准线方程为y=- 根据抛物线定义，得--(-4)=6， 解得m=-. 解析 (2)(2025·永州模拟)已知椭圆E：+=1，点F(-1，0)，若直线x+λy-1=0 (λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为 A.2 B.4 C.4 D.8 √ 椭圆E：+=1的长半轴长a=2，半焦距c==1， 则点F(-1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)， 而直线AB：x+λy-1=0恒过定点(1，0)， 所以△ABF的周长为4a=8. 解析 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错； (2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2=b2+c2，双曲线中的关系式为c2=a2+b2； (3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置. 易错提醒 跟踪演练1　(1)抛物线y2=4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.8 √ 抛物线y2=4x的焦点为F准线为x=-1， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也是P到准线的距离的最小值， 当P与原点重合时，P到准线的距离最小为1， 也是的最小值为1. 解析 (2)设P是双曲线C：-y2=1右支上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右 焦点，O为坐标原点，Q为线段PF1的中点，若|OQ|=1，则|PF1|的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 由双曲线C：-y2=1，则a=2， 由于O为F1F2的中点，Q为线段PF1的中点， 且|OQ|=1， 所以|PF2|=2， 则=+2a=2+4=6. 解析 返回 考点二　椭圆、双曲线的几何性质 1.求离心率通常有两种方法 (1)求出a，c，代入公式e=. (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 2.与双曲线-=1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为-=λ(λ≠0). 　(1)(多选)已知双曲线Γ：- =1，则下列说法正确的是 A.Γ的虚轴长为6 B.Γ的离心率为 C.Γ的渐近线方程为y=±x D.Γ的焦点坐标为(±5，0) √ 例2 √ √ 由双曲线Γ：- =1可知 解得 由双曲线的方程可知其虚轴长为2b=6，故A对； 离心率e==故B对； 令-=0⇒3x±4y=0，即双曲线的渐近线方程为y=±x，故C错； 因为c=5，所以双曲线的焦点坐标为(±5，0)，故D对. 解析 (2)(多选)(2025·常州模拟)P在椭圆C上，C的左、右焦点F1，F2在x轴上，PF1和PF2分别交C于点A，B，△PAF2的周长为20，C的左顶点和上顶点的距离为设离心率为e，则 A.椭圆的焦距为3 B.e= C.△PF1F2面积的最大值为12 D.PF1和PF2斜率的乘积为定值 √ √ 因为点P，A在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a，|AF1|+|AF2|=2a， 故△PAF2的周长为|PA|+|AF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|+|AF1|+|AF2|=4a=20， 解得a=5， 因为左顶点和上顶点的距离为== 解得b=4， 则c==3，焦距为2c=6，故A错误； e==故B正确； 解析 =×|F1F2|×|yP|=c|yP|≤bc=12， 当点P位于y轴上时，△PF1F2的面积取得最大值12，故C正确； 设P(x，y)，则+=1，即y2=16-x2， 因为F1(-3，0)，F2(3，0)，所以= = 故·=·==·不是定值，故D错误. 解析 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方 程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到. 规律方法 跟踪演练2　(1)(多选)下列关于双曲线-=1说法正确的是 A.实轴长为6 B.与双曲线4y2-9x2=1有相同的渐近线 C.焦点到渐近线的距离为4 D.与椭圆+=1有同样的焦点 √ √ √ 由题意，双曲线-=1满足a2=9，b2=4，即a=3，b=2，于是2a=6，故A选项正确； 双曲线的焦点在y轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，而双曲线4y2-9x2=1焦点也在y轴，故渐近线为y=±x=±x，即它们渐近线方程相同，B选项正确； 双曲线-=1的焦点为不妨取其中一个焦点和一条渐近线y=x， 根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线的距离为=2，C选项错误； 椭圆+=1的焦点为根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样， D选项正确. 解析 (2)(多选)已知椭圆C：3x2+4y2=48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则 A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.的最小值为3 D.的最大值为16 √ √ 椭圆C：3x2+4y2=48，即+=1， 故a=4，b=2c==2， 对于A，e==故A错误； 对于B，△PF1F2的周长为++=2a+2c=12，故B正确； 对于C的最小值为a-c=2，故C错误； 对于D≤==16， 当且仅当==4时等号成立，故D正确. 解析 返回 考点三　抛物线的几何性质及应用 抛物线的焦点弦的几个常见结论： 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2=y1y2=-p2. (2)|AB|=x1+x2+p. (3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p. 　(多选)已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有 A.抛物线的焦点坐标为F(0，-1) B.若|AF|+|BF|=8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 √ 例3 √ √ 对于A，抛物线x2=4y的准线方程为y=-1，焦点为F(0，1)，故A错误； 对于B，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+2=8， 可得y1+y2=6，所以线段AB的中点到x轴的距离为=3，故B正确； 对于C，因为|AF|=y1+1， AF的中点为该点到x轴的距离为=|AF|， 故以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确； 对于D，因为|AF|=y1+1，故以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，即D正确. 解析 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 规律方法 跟踪演练3　(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则 A.焦点F的坐标为(4，0) B.|AB|=x1+x2+4 C.y1y2=-8 D.+= √ √ 由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误； 由焦半径公式可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4，故B正确； 设直线l的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0， 则y1+y2=8m，y1y2=-16，故C错误； +=+=+ =+= == =故D正确. 解析 返回 专题突破练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D B A D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABC BCD AC 13 14 一、单项选择题 1.抛物线x=-y2的准线方程为 A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 依题意得y2=-4x，所以2p=4，所以=1，又抛物线开口向左， 所以抛物线y2=-4x的准线方程为x==1. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(2025·温州模拟)双曲线-x2=1(a>0)的一个焦点为(0，2)，则a等于 A. B. C.3 D. √ 9 10 11 12 答案 由题意得c2=a2+1=4，所以a=. 解析 13 14 3.已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，点M(3，m)在C上，则|MF|等于 A. B.5 C.4 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 因为点M(3，m)在C上，所以9=2m，解得m=. 由抛物线的方程可知，准线方程为y=-焦点F 则点M到准线的距离为d=m+=+=5， 由抛物线的定义得=d=5. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 4.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知椭圆C：+=1的 右焦点为F(2，0)，则C的长轴长为 A. B.2 C. D.2 √ 9 10 11 12 答案 13 14 因为椭圆C的右焦点为F(2，0)，所以c=2，且焦点在x轴上，所以m2-6=4，解得m=±所以椭圆C的长轴长为2. 解析 5.(2025·江苏七市调研)已知椭圆C：+y2=1(a>0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，则C的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 由题意得y2=8x的焦点为(2，0)， 则a=2，而b=1，得到c= 离心率为. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 6.已知双曲线C：-x2=1的上、下焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与双 曲线C的上支交于A，B两点，若|AB|=2，则△ABF2的周长为 A.14 B.12 C.10 D.8 √ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 如图，由题意可得a2=4⇒2a=4，△ABF2的周长为++|AB|， 由双曲线的定义可得-= -=4， 又+= |AB|=2， 所以++|AB|= -+-+2|AB| =4+4+4=12， 所以△ABF2的周长为12. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 7.在抛物线x2=4y上有三点A，B，C.F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|等于 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 ∵F为△ABC的重心，故=×+)=+)， 设抛物线上的点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)， ∵抛物线x2=4y，F为其焦点，∴F(0，1)， ∴=(-x1，1-y1)=(x2-x1，y2-y1)=(x3-x1，y3-y1). ∵=+)，∴1-y1=(y2-y1+y3-y1)，即y1+y2+y3=3， ∵点A，B，C在抛物线x2=4y上， ∴|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，|CF|=y3+1， ∴|AF|+|BF|+|CF|=y1+y2+y3+3=6. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.(2025·广州测试)已知点P在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于则C的离心率为 A.3 B.2 C. D. √ 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 设P(x0，y0). ∵点P在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上， ∴-=1， 即b2-a2=a2b2. 又双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为bx+ay=0和bx-ay=0， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 ·= 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 == ∴=即c2=2b2. 又c2=a2+b2， ∴a2=b2，c2=2a2， ∴e===. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、多项选择题 9.已知双曲线-=1(a>0，b>0)过点()和(2，3)，则下列说法正确 的是 A.实轴长为2 B.焦距为4 C.渐近线方程为y=±x D.离心率为 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 因为双曲线-=1(a>0，b>0)过点()和(2，3)， 则⇒ 则c==2， 对于A，实轴长为2a=2，故A正确； 对于B，焦距为2c=4，故B正确； 对于C，渐近线方程为y=±x=±x，故C正确； 对于D，离心率为=2，故D错误. 解析 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 10.已知椭圆C：+=1 的右焦点与抛物线D：y2=2px(p>0)的焦点重合，则 A.椭圆C的长轴长为 2 B.椭圆C的离心率为 C.p=6 D.抛物线D：y2=2px(p>0)上与焦点距离等于9的点的坐标为(6，±6) 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 椭圆C：+=1，则a2=12，b2=3， 所以长轴长为2a=4c==3，则e===故A错误，B正确； 因为C：+=1的左、右焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)， 由题知，抛物线D：y2=2px(p>0)的焦点为F(3，0)， 所以=3，得到p=6，故C正确， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 所以抛物线D的标准方程为y2=12x， 设抛物线D上与焦点距离等于9的点的坐标为A(x0，y0)， 由抛物线的定义可得x0+=9，则x0=9-3=6，代入抛物线方程可得 y0=±6 则A(6，±6)， 故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 11.(2025·乐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物 线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y=x2的焦点为 F，一束平行于y轴的光线l1从点M(-4，6)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 A.y1y2=1 B.若直线PQ的倾斜角为θ，则sin θ= C.=4 D.l1与l2之间的距离为3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 抛物线y=x2的焦点为F(0，1)，由MP∥y轴，M(-4，6)，得P(-4，4)， 直线PQ的斜率k==- 直线PQ的方程为y=-x+1， 由得Q 对于A，y1=4，y2=y1y2=1，A正确； 对于B，tan θ=- 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 由sin θ≥0，得sin θ=B错误； 对于C===4，C正确； 对于D，l1与l2之间的距离为x2-x1=5，D错误. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 12.双曲线C的离心率为2，且双曲线C与圆O：x2+y2=1有且仅有两个交点， 则双曲线C的标准方程为　　　　　　　　　　　　.(写出一个即可)  13 14 x2-=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 当双曲线C的焦点在x轴上时，a=1，因为离心率e==2，所以c=2， 则b2=3， 所以双曲线C的标准方程为x2-=1. 同理，当双曲线的焦点在y轴上时，a=1，b2=3， 所以双曲线C的标准方程为y2-=1. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13.已知F1，F2分别为椭圆C：+y2=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，则-的最大值为　　　　　.  13 14 F1，F2分别为椭圆C：+y2=1的左、右焦点，则F1(-0)，F2(0)， 所以-≤=2当且仅当P位于椭圆的右顶点时取等号， 故-的最大值为2. 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13 14 14.已知A(3，2)，若点P是抛物线y2=8x上任意一点，点Q是圆(x-2)2+y2=1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为　　　　 .  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 返回 13 14 如图所示， 抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，准线l：x=-2， 圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2，0)，半径r=1， 过点P作PB垂直于准线l，垂足为B， 由抛物线的定义可知|PB|=|PF|， 则|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|-r=|PA|+|PF|-1=|PA|+|PB|-1≥|AB|-1=3+2-1=4， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，|PA|+|PQ|的最小值为4. 解析 $