专题十七 直线与圆 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十七　直线与圆 命题热度： 本专题是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分. 考查方向： 一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，由弦长、半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和公共弦等相关问题. 考点一　直线、圆的方程 　(1)(多选)下列说法正确的是 A.已知直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则它们之间的距离是 B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 C.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 D.已知直线l过定点P(1，0)，且与以A(2，-3)，B(-3，-2)为端点的线段有 交点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-3]∪ 例1 √ √ √ 对于A，直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则1×(-a)-3=0，解得a=-3， 直线3x+3y+3=0，即x+y+1=0， 则直线x+y+3=0与直线x+y+1=0的距离为=，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，a2×1+(-1)×(-a)=0，解得a=-1或a=0，可知“a=-1”是两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为m(x-2)+1-y=0， 由得 解析 则直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2，1)，斜率为m， 当直线mx-y+1-2m=0与PQ垂直时，点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大， 因为kPQ==1，所以m=-1，选项C正确； 对于D，如图，kPA==-3， kPB==， 由图可知，当k≥或k≤-3时，直线l与线段AB有交点，故选项D正确. 解析 (2)(多选)(2025·咸阳模拟)已知圆C的方程为x2+y2-8x+12=0，点M(x0，y0)是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是 A.圆C的半径为2 B.满足|OM|=5.5的点M有两个 C.x0+2y0的最大值为4+2 D.若点P在x轴上，则使|OM|=2|PM|恒成立的点P有两个 √ √ √ 对于A，圆的方程可化为(x-4)2+y2=4，所以圆心C(4，0)，半径为2，故A正确； 对于B，由于|OC|=4，所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6， 最小距离是4-2=2，因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B正确； 对于C，令x0+2y0=t，则x0=t-2y0，所以M(t-2y0，y0)， 将点M(t-2y0，y0)代入圆C的方程并整理， 得5+(16-4t)y0+(t2-8t+12)=0， 依题意有Δ=(16-4t)2-20(t2-8t+12)≥0，即t2-8t-4≤0， 解得4-2≤t≤4+2， 解析 因此x0+2y0的最大值为4+2，故C正确； 对于D，不妨设P(a，0)，由于|OM|=2， 所以=2， 整理得+-x0+=0. 因为点M(x0，y0)在圆C上， 所以+-8x0+12=0， 则x0+=0， 解析 因为x0为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点， 所以 解得a=3，所以符合要求的点P是唯一的，故D错误. 解析 (1)解决直线方程问题的三个注意点 ①利用A1B2-A2B1=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. ②要注意直线方程每种形式的局限性. ③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在. (2)解决圆的方程问题一般有两种方法 ①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. ②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数. 规律方法 跟踪演练1　(1)(多选)已知直线l：y=kx+2k-3，则下列说法正确的是 A.直线l恒过定点(-2，-3) B.若直线l在x轴上的截距为1，则k=1 C.若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k=- D.若k≥，则直线l的倾斜角的取值范围为 √ √ 直线l：y=kx+2k-3=k(x+2)-3，令x+2=0，即x=-2，得y=-3， 所以直线l恒过定点(-2，-3)，故A正确； 若直线l在x轴上的截距为1，则直线l过点(1，0)，代入直线l的方程得0=k+2k-3， 解得k=1，故B正确； 若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k×(-2)=-1，解得k=，故C错误； 设直线l的倾斜角为θ，则k=tan θ≥， 又θ∈[0，π)，所以由正切函数的单调性可知θ∈，故D错误. 解析 (2)(2025·江西四月适应性联考)与直线y=x和直线y=x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为　 　　　　　.  (x-1)2+(y-1)2= 设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)， 由于所求圆与直线y=x和直线y=x都相切，故=， 化简得a2=b2，而a>0，b>0，则a=b， 又圆心到原点的距离为，即a2+b2=2， 解得a=b=1，即圆心坐标为(1，1)， 则半径为=， 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=. 解析 考点二　直线、圆的位置关系 　(多选)(2025·石家庄模拟)已知直线l：x+ay-3=0与圆C：x2+y2-8x+6y +16=0，则下列说法正确的是 A.当a=2时，直线l与圆C相交 B.若直线l与圆C相切，则a= C.圆C上一点P到直线l的最大距离为+3 D.若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a= 例2 考向1　直线与圆的位置关系 √ √ 当a=2时，直线l：x+2y-3=0，圆C的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=9， 所以圆心C(4，-3)，半径r=3， 则圆心C到直线l的距离d==<3， 所以直线l与圆C相交，故A正确； 因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d==3，解得a=-，故B错误； 因为直线l恒过定点(3，0)， 所以圆心C到直线l的最大距离为=， 解析 则圆C上一点P到直线l的最大距离为+r=+3， 故C正确； 因为圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2， 所以圆心C到直线l的距离d==1， 解得a=0或a=，故D错误. 解析 (多选)(2025·铜仁模拟)已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆C2：x2+y2-4y+a =0，则下列说法正确的是 A.a<4 B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点 C.若圆C1与圆C2的公共弦长为4，则a=-16 D.当a=-32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方 程为+=1 考向2　圆与圆的位置关系 例3 √ √ √ 对于圆C2：x2+y2-4y+a=0， 转化为标准方程x2+(y-2)2=4-a， 因为半径为>0，所以a<4，A正确； 若a=0，圆C1：x2+(y+2)2=4， 圆心C1(0，-2)，半径r1=2， 圆C2：x2+(y-2)2=4， 圆心C2(0，2)，半径r2=2， 两圆心间的距离==4=r1+r2，则两圆外切， 所以两圆有且仅有1个公共点，B正确； 解析 若圆C1与圆C2的公共弦长为4，因为圆C1的直径为4， 所以公共弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆C1的圆心(0，-2)， 由两式相减可得8y-a=0， 将(0，-2)代入8y-a=0得a=-16，C正确； 当a=-32时，圆C2：x2+(y-2)2=36， 圆心C2(0，2)，半径r2=6， 圆C1：x2+(y+2)2=4，圆心C1(0，-2)，半径r1=2. 解析 设动圆M的半径为R，因为动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切， 则=R+2，=6-R， 所以+=8>=4， 根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以C1(0，-2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，且2a=8，2c=4， 可得a=4，c=2，b2=a2-c2=16-4=12， 故其轨迹方程为+=1(y≠-4)，D错误. 解析 (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理. (2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长. 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·湖南名校联合体模拟)已知直线l：y=kx(k<0)与圆C：x2+y2-2x+4y+1=0相交于M，N两点，其中点C为圆心，若0<∠MCN≤，则k的取值范围为 A. B. C. D. √ x2+y2-2x+4y+1=0化为(x-1)2+(y+2)2=4， 所以圆心C(1，-2)，半径为2. 0<∠MCN≤⇔1≤d<2， 其中d为圆心C到直线l的距离. 因为d=， 所以1≤<2， 因为k<0，所以-≤k<0. 解析 (2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为　　　　.  6 以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2，圆心为原点，半径为r1=m， 圆C：(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4，3)，半径为r2=1. 要使圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则圆O与圆C有公共点， 所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|， 即|m-1|≤≤|m+1|， 所以解得4≤m≤6， 所以m的最大值为6. 解析 考点三　隐圆 　(1)已知点A(-3，0)，B(3，0)，若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足·=-5，则实数a的值不可能为 A.2 B.1 C.0 D.-2 例4 √ 设M(x，y)，因为·=-5，=(-3-x，-y)，=(3-x，-y)， 所以·=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2-9+y2=-5，即x2+y2=4， 所以点M的轨迹是圆，方程为x2+y2=4. 由题意知，圆x2+y2=4与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1有公共点， 所以2-1≤≤2+1，解得-2≤a≤1，故A不满足题意. 解析 (2)(多选)已知动点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C，则 A.动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4 B.直线x-y+2=0与曲线C交于A，B两点，则的长为 C.曲线C与曲线D：(x-1)2+y2=4的公切线有2条 D.已知点E(-1，1)，点N为曲线C上任意一点，则2-的最大值为 √ √ √ 设M(x，y)，由=可得=， 化简得x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4. 故动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，A正确； (x+1)2+y2=4的圆心为(-1，0)，半径为r=2， 所以圆心到直线x-y+2=0的距离d==， 所以=2=2=，B错误； 解析 曲线D的圆心为(1，0)，半径为2， 因为两圆心间的距离为=2，大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线有2条，C正确； 由题意得动点N与点O(0，0)，点P(3，0)的距离的比为，所以2-=-≤=，D正确. 解析 发现隐圆的主要方法 (1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值). (2)由两定点A，B，动点P满足·=λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程确定圆. (3)由两定点A，B，动点P满足|PA|2+|PB|2是定值确定圆. (4)由两定点A，B，动点P满足=λ(λ>0 且λ≠1)确定圆(阿波罗尼斯圆). 规律方法 跟踪演练3　(多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=|PB|，则 A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8 B.当△PAB面积最大时，|PA|=2 C.当∠PAB最大时，|PA|=2 D.点P到直线AC距离的最小值为 √ √ √ 设P(x，y)， 由|PA|=|PB|得|PA|2=2|PB|2， 即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]， 化简得(x-3)2+y2=8， 即点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8，A正确； ∵直线AB过圆(x-3)2+y2=8的圆心， ∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x-3)2+y2=8的半径r，即为2， ∵|AB|=2， 解析 ∴△PAB的面积最大为×2×2=2， 此时P(3，±2)， ∴|PA|==2，B正确； 当∠PAB最大时， 则PA为圆(x-3)2+y2=8的切线， ∴|PA|==2，C错误； 直线AC的方程为7x-y+7=0， 解析 则圆心(3，0)到直线AC的距离为=， ∴点P到直线AC距离的最小值为-2=，D正确. 解析 $