板块六 习题讲评（三）直线与圆锥曲线的位置关系-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”核心考点，依据高考评价体系梳理了中点弦、弦长、面积三大必考问题，通过真题示例分析考点权重，归纳出点差法、韦达定理应用等常考题型，构建系统备考框架，凸显高考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+思维建模+即时训练”模式，如以2025年全国Ⅱ卷椭圆题为例，用点差法推导中点弦方程，结合弦长公式与面积公式培养数学思维，通过变式训练强化模型观念。助力学生掌握解题技巧，教师可依此精准突破高频考点，提升复习效率。

直线与圆锥曲线的位置关系 习题讲评（三） 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等. 2 1 2 教学点(一)　中点弦问题 教学点(二)　弦长问题 CONTENTS 目录 3 教学点(三)　面积问题 中点弦问题 教学点（一） 4 [例1]　已知椭圆C：+=1（a>）的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|=|PB|，则直线AB的方程为（　　） A.3x+y-5=0 B.3x-y-4=0 C.x+y-2=0 D.x-y-1=0 C 解析：由题设，=，即=1-=1-=，可得a2=6， 过P的直线与椭圆C交于A，B且满足|PA|=|PB|， 5 则P为线段AB的中点，所以xA+xB=3，yA+yB=1， 又+=1，+=1，则+=0， 即=-，所以=-=-1， 故直线AB的方程为y-=-，即x+y-2=0. 6 [例2]　已知直线l交双曲线Γ：-=1于点A，B，点C（0，4），若△ABC的重心恰好落在双曲线Γ的左焦点F上，则直线l的斜率为______.  解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为C（0，4），F（-6，0），由重心坐标公式得=-6，=0，所以弦AB的中点坐标为=-9，=-2，即（-9，-2）.又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，由题意知直线l的斜率存在，则x1≠x2，故作差得4（x1+x2）（x1-x2）=5（y1+y2）（y1-y2），将中点坐标代入得k==. 7 |思|维|建|模|　求解与中点弦有关问题的两种方法 （1）方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元（x或y）成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系. （2）点差法：若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，可设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零. 8 [练1]　已知双曲线E：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F（5，0），过点F的直线交双曲线E于A，B两点.若AB的中点坐标为（6，-2），则E的方程为（　　） A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 即时训练 D 9 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），若AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意.因为线段AB的中点坐标为（6，-2）， 则则两式相减得-=0， 则·==，因为==-2， 10 所以=·=-2×=，所以 解得 因此，双曲线E的标准方程为-=1. 11 [练2]　（2025·襄阳模拟）如图，斜率为的 直线与椭圆C：+=1（0<b<2）交于A，B 两点，与x轴、y轴分别交于点M，N， 若|AN|=|NM|=|MB|，则椭圆C的焦距为_______.  解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），又因为|AN|=|NM|=|MB|， 所以M（-x1，0），N，则B， 则由 2 12 两式相减得+=0， 即·=-，因为=，所以=， 所以=1，==-=-， 所以×=-，解得b=1，所以c==， 所以椭圆C的焦距为2. 13 弦长问题 教学点（二） 14 [典例]　已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，且经过点，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程； 解：由题意知⇒ ∴椭圆C的方程为+=1. 15 （2）若点E坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线分别交直线x=-和l于点P，M，|PM|=2|AB|，求直线l的斜率. 解：当l的斜率不存在时，验证是否满足题意，当l斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+2，与椭圆方程联立消元，由根与系数的关系得y1+y2，y1y2，利用弦长公式求弦长|AB|和|PM|， 利用|PM|=2|AB|即可求解. ∵E（2，0）为椭圆的焦点，当l的斜率不存在时， 显然|PM|=2+=，|AB|==，显然|PM|≠2|AB|， 16 ∴l斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由⇒（m2+3）y2+4my-2=0， Δ=16m2+8（m2+3）=24（m2+1）>0，∴y1+y2=-，y1y2=-， ∴|AB|=·|y1-y2|=· =，此时y0==-， ∴x0=-+2=， 17 ∴M，又kPM=-m， ∴|PM|=·|x0+|=·， 则 ·=2×， 解得m=±1或m=±， ∴直线l的斜率为±1或±. 18 |思|维|建|模| 1.当弦的两端点坐标易求时，可求出两端点坐标，再用两点间距离公式直接求解. 2.若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则弦长|AB|==·|x1-x2|= ·或|AB|=·|y1-y2|= （k≠0）. 19 即时训练 即时训练 已知双曲线C与椭圆+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±x. （1）求双曲线C的标准方程； 解：设双曲线的方程为-=1（a>0，b>0）， 由已知得c=，=，所以a=，b=1. 所以双曲线方程为-y2=1. 20 （2）若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4，求实数m的值. 解：直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4， 联立方程组得x2+4mx+2m2+2=0，当Δ>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=-4m，x1x2=2m2+2.所以|AB|=|x1-x2|= =×=4， 解得m=±.经检验Δ>0符合题意，所以m=±. 21 面积问题 教学点（三） 22 [典例]　（2025·全国Ⅱ卷）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，长轴长为4. （1）求C的方程； 解：因为长轴长为4，故a=2，而离心率为，故c=， 故b=，故椭圆方程为+=1. 23 （2）过点（0，-2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB 的面积为，求|AB|. 解：法一　由题设直线AB的斜率不为0，故设直线l：x=t（y+2）， A（x1，y1），B（x2，y2），由 可得（t2+2）y2+4t2y+4t2-4=0， 故Δ=16t4-4（t2+2）（4t2-4）=4（8-4t2）>0， 即-<t<，且y1+y2=-，y1y2=， 24 故S△OAB=×|2t|×|y1-y2| =|t|==， 解得t=±，故|AB|=|y1-y2| =×=×=. 25 法二　设l：y=kx-2，点P（0，-2），点A（x1，y1）， B（x2，y2），联立⇒（2k2+1）x2-8kx+4=0， Δ=32k2-16，x1+x2=，x1x2=>0（两根同号）， 由Δ>0，可得k>或k<-，S△OAB=S△OPB-S△OPA=×2|x2|-×2|x1| =|x2-x1|==，解得k2=，|AB|=|x2-x1|=×=. 26 法三　设直线l的方程为y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去y整理得（2k2+1）x2-8kx+4=0， 则由Δ=64k2-16（2k2+1）=32k2-16>0， 解得k∈∪，依题意，不妨设|x1|>|x2|，D（0，-2）， 27 所以S△OAB=S△DOA-S△DOB=×2|x1-x2|=， 所以|x1-x2|=， 所以|x1-x2|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2 =-=2，解得k=±，符合题意， 所以|AB|=|x1-x2|=×=. 28 |思|维|建|模|　圆锥曲线中求解三角形面积的方法 （1）常规面积公式：S=×底×高. （2）正弦面积公式：S=absin C. （3）铅锤高水平宽面积公式： ①过x轴上的定点：S=a|y1-y2|（a为x轴上定长）； ②过y轴上的定点：S=a|x1-x2|（a为y轴上定长） 29 已知抛物线C：y2=4x，过点D（4，0）作斜率大于0的直线l与曲线C交于A，B两点，原点O关于AB的对称点记为点M. （1）求证：OA⊥OB； 即时训练 解：证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x=my+4（m>0）. 联立直线l与抛物线C的方程，得消去x，得y2-4my-16=0， 则y1+y2=4m，y1y2=-16，x1x2=（y1y2）2=16， 所以·=x1x2+y1y2=16+（-16）=0，所以OA⊥OB. 30 （2）当M在抛物线C上时，求△ABM的面积. 解：点O是定点，抛物线也是确定的，因此将注意力放在求直线AB 的方程上，即求m的值，得出m的值后，求△ABM的面积， 就是求△OAB的面积.连接OM（图略），设M（x0，y0）， 则（线段OM的中点在直线l上，kOM·kl=-1） 31 解得x0=，y0=，即M，又点M在抛物线C上， 所以=，结合m>0，解得m=1. 所以|y1-y2|===4， 所以S△ABM=S△OAB=|OD||y1-y2|=×4×4=8. 32 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $