专题16 直线与圆锥曲线的位置关系 课件——2026届高三数学二轮复习

专题16 直线与圆锥曲线的位置关系 1 知识点1 弦长和面积问题 知识点2 中点弦和点差法 知识点3 直线与圆锥曲线位置关系综合应用 ◆ 2 【考情分析】 在高考数学中，直线与圆锥曲线的位置关系是核心考查内容， 在选择题、填空题、解答题中均有涉及.这类题型难度多为中档偏上， 常围绕弦长计算、面积求解、距离最值等方向设问.解题过程中，通 常需要联立直线方程与圆锥曲线方程，借助判别式判断位置关系， 利用根与系数的关系进行变量代换与代数运算，再结合题目条件逐 步推导.同时，还需注重挖掘圆锥曲线的几何性质，运用代数运算与 几何分析综合求解问题. 3 知识点1 弦长和面积问题 例1（1）已知是双曲线的左焦点，过且倾斜角为 的直线与双曲线的渐近线相交于，两点， 为坐标原点，则 的面积为( ) A. B. C. D. √ 4 [解析] 在双曲线方程中，， ， 则，则 ，双曲线 的渐近线方程为 不妨设点在直线 上，点在直线 上，如图. 的方程为. 由 可得即点， 5 即点 ，则 . 因为，，所以 ，所以 ，且 ，所以 .故选D. （2）[2025· 全国二卷] 已知椭圆 的离心率 为 ，长轴长为4. ①求 的方程. 解：由题意知，故,又，故 ，所以 ，所以椭圆的方程为 . 7 （2）[2025· 全国二卷] 已知椭圆 的离心率 为 ，长轴长为4. ②过点的直线与交于，两点，为坐标原点.若 的 面积为，求 . 解：当 的斜率不存在时，不满足题意，舍去. 当的斜率存在时，设的方程为,, .由 得 ， 8 其判别式,由，解得或 ， 故, （两根同号）. 方法一：， ， 所以 ，解 得 , 故 . 9 方法二：设 ，则 ,解得 , 故 . 10 【规律提炼】 解决与圆锥曲线有关的弦长问题，通常是将直线方程与圆锥曲线方 程联立，利用根与系数的关系找到两根关系，再结合弦长公式进行 计算，要注意斜率不存在时的特殊处理. 解决与圆锥曲线有关的面积问题，需灵活选取面积公式，借助坐标 关系进行量的转化，注意判别式，关注交点的存在性，有时也会涉 及四边形等其他图形面积，需灵活分割转化为三角形面积求解. 11 【巩固训练】 1.已知过点的直线与抛物线相切，切点为 ，抛物线 的焦点为，则线段 的长度为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 √ 12 [解析] 由题意可得，过点 且与抛物线相切的直线的斜率存在 且不为零，设此直线方程为， 由消去 可得 ，由 ，解得 ， 即， 将代入，解得 ，则或， 易知 ，所以 .故选C. 13 2.[2025·陕西西安模拟]已知双曲线 的左、右焦点分别 为，，直线与交于，两点，若 的面积是 的面积的2倍，则 ( ) A. B.或6 C. D.或 √ 14 [解析] 由题易得,,，故. 设 ，，直线与轴的交点为， 的面积为，的面积为. 因为的面积是 的面积的2倍， 所以 ，化简得 ，所以易知直线与双曲线的右支交于， 两点， 结合，可得，解得，即 ， 故，解得 .故选C. 15 知识点2 中点弦和点差法 例2（1）已知原点为，椭圆 与直线 交于,两点，线段的中点为，若直线 的斜 率为，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. [解析] 设,,则， ，两式相减， 得，故 ,故 ，即，因此 .故选D. √ 16 （2）[2025·山东青岛二模]已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线与其相交于,两点，若线段 中点的横 坐标为 ，则此双曲线的方程是( ) A. B. C. D. [解析] 根据焦点坐标可设双曲线的标准方程为 ，则. 设, ，则 两式相减可得. √ 17 由直线与双曲线交于, 两点， 且线段中点的横坐标为，可得直线的斜率 ， 且线段的中点坐标为 ， 所以，即，结合 ，得 ,，所以双曲线的方程是 .故选D. 18 【规律提炼】 （1）中点弦概念：中点弦是圆锥曲线的重要概念，指过定点且被该 点平分的弦. （2）点差法原理：将圆锥曲线上两点坐标代入方程后作差，利用中 点坐标公式和斜率公式找到关系. （3）中点弦问题用点差法的步骤：先设曲线上两点坐标，代入曲线 方程，再将两式相减并变形，结合中点坐标和斜率公式求解. （4）适用范围：适用于椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线中已知中 点求弦所在直线方程、弦中点轨迹等问题. 19 【巩固训练】 1.已知抛物线，过点的直线与相交于， 两点， 且为弦的中点，则直线 的斜率为( ) A. B. C. D. [解析] 设,，因为直线与相交于， 两点，所以 两式相减，整理得，所以直线 的斜率 .故选D. √ 20 2.已知直线与椭圆在第一象限交于,两点，与轴， 轴分别交于,两点，且，，则直线 的方程 为________________. [解析] 由，易知线段与线段的中点重合，记为 ， 设且,， 易知直线 的斜率存在，设，则, ， 故，所以且. 21 ，则作差得 ，所以 ，所以，则 ， 代入，得，故， ，所以 ，整理得 . 知识点3 直线与圆锥曲线位置关系综合应用 例3 [2025·天津卷] 已知椭圆的左焦点为 ， 右顶点为,为直线上一点，且直线的斜率为， 的面 积为，椭圆的离心率为 . （1）求椭圆的方程； 解：设椭圆的半焦距为，则 ， ，由离心率，可得. 因为为直线 上一点，所以设 ， 23 又直线的斜率为，所以，即 ， 所以，解得，则. 因为 的面积为，， ， 所以，可得 ， 所以，所以，所以椭圆的方程为 . 24 例3 [2025·天津卷] 已知椭圆的左焦点为 ， 右顶点为,为直线上一点，且直线的斜率为， 的面 积为，椭圆的离心率为 . （2）过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），求证: 平分 . 证明：由（1）可知，，，易知直线 的斜率 存在，设直线的方程为，则，即 ， 25 由消去得 ，因为 直线与椭圆有唯一交点，所以 ，即 ， 则，解得，则，所以直线 的方 程为 . 由解得则 . 以下分别用四种方法证明结论： 方法一：因为,, ，所以 ， ，所以， 又, ，所以，即平分 . 方法二：因为，， ， 所以， ，所以 ， 又, ，所以，即平分 . 方法三：因为， ，所以 ， 又，，所以 ，所以 ，即平分 . 方法四：因为，所以直线的方程为 ， 即，则点到直线的距离 ，又 点到直线 的距离也为1，所以平分 . 【规律提炼】 在解决直线与圆锥曲线位置关系的综合问题时，通常需要根据条件 设立等式，通过代数运算求解出<m></m>，<m></m>，<m></m>等参数.同时结合中点公式、 斜率公式、面积公式等几何性质与代数运算，解决复杂问题.要灵活 运用坐标法、几何法、向量法等，能拓宽思路、提高效率，在掌握 基础的同时培养综合能力. 30 【巩固训练】 已知圆过点 ，且过椭圆 的上顶点，椭圆的离心率为 . （1）求椭圆 的方程； 解： 圆过点 , ,. 又 圆 过点,,，得. 由解得 ， 椭圆的方程为 . 31 已知圆过点 ，且过椭圆 的上顶点，椭圆的离心率为 . （2）直线过点与椭圆交于,两点，设直线,, 的斜率 分别为,,，若，求直线 的方程. 解：由（1）可知.由题意可知，直线的斜率不为0，设直线 的方程为，易知,，则. 设 ,，由消去 ，整理得 , 32 则， , . 直线，的斜率分别为,，. ,，解得 ， 故直线的方程为，即 . 1.椭圆方程的求解，点与圆的位置关系的证明，四边形面积最大问题. 例1 [2025·山东德州三模] 已知椭圆过点 ， 且离心率为 . （1）求椭圆的方程； 解：由题意可得解得 所以椭圆的方程为 . 34 例1 [2025·山东德州三模] 已知椭圆过点 ， 且离心率为 . （2）椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线 上 运动时，直线,分别交椭圆于两点和（不同于， ），证 明：点在以 为直径的圆外； 证明：由（1）知,，显然点不在 轴上， 设,, ， 则直线,的斜率分别为, ， 故直线的方程为,直线的方程为 . 35 由消去得 ，显然 ， 于是，可得，则 ， 即点的坐标为 . 由消去得 ，显 然 ， 于是，可得，则 ， 即点的坐标为 ， 所以 ， ， 则 ， 则为锐角，所以点在以 为直径的圆外. 例1 [2025·山东德州三模] 已知椭圆过点 ， 且离心率为 . （3）在（2）的条件下，求四边形 面积的最大值. 解：由（2）知，, ， 则 . 38 不妨设,，此时 ， 当且仅当 时，等号成立， 易知函数在 上单调递增，所以 ，所以当时， . 由对称性可知，当点的坐标为或 时， 四边形 的面积取得最大值，最大值为6. 例2 [2025·河北石家庄三模] 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，两条渐近线方程为，且 经 过点 . （1）求双曲线 的方程. 解：由双曲线的两条渐近线的方程为，得 ，即 ， 又因为双曲线经过点，所以，可得 ， ，所以双曲线的方程为 . 2.双曲线方程的求解，圆与双曲线的综合问题，三角形面积与直线方 程的求解. 40 例2 [2025·河北石家庄三模] 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，两条渐近线方程为，且 经 过点 . （2）设过原点的直线与交于，两点且点 在第一象限. 41 （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点 的坐标； 解：由题意知，点 在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 设点，则 ， 又因为点在双曲线上，所以解得 又因为点在第一象限，所以 . 42 例2 [2025·河北石家庄三模] 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，两条渐近线方程为，且 经 过点 . （2）设过原点的直线与交于，两点且点 在第一象限. （ii）连接与双曲线交于点（异于），若 的面积为 ，求直线 的方程. 解：设直线的方程为，点， ， 由可得 ， 43 由题意可得 如图，连接，， ， 由双曲线的对称性可知 ， 44 ，解得 或 （舍去）， 因为，所以 ，满足题意， 由图可知，所以，即直线 的方程为 . 3.抛物线与椭圆的几何关系，圆的标准方程，直线与抛物线的交点及 弦长问题. 例3 已知抛物线的焦点为椭圆 的 右焦点，且的左、右顶点分别为， . （1）求 的方程； 解：因为，所以的右焦点的坐标为 ， 所以，即 ， 所以的方程为 . 46 例3 已知抛物线的焦点为椭圆 的 右焦点，且的左、右顶点分别为， . （2）求以 为直径的圆的标准方程； 解：依题意得， ， 所以线段的中点坐标为， ， 所以以为直径的圆的半径 ， 所以以为直径的圆的标准方程为 . 47 例3 已知抛物线的焦点为椭圆 的 右焦点，且的左、右顶点分别为， . （3）设过点且倾斜角为 的直线与交于，两点，求 . 解：依题意可得直线的方程为 . 由得， ， 设，，则， ， 所以 . 48 $