精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定区域． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效． 3.本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有的震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得米，米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（ ） A. 15米 B. 14米 C. 13米 D. 12米 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知增加下列条件，其中不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为12，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B坐标为______． 10 因式分解：______． 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．正确的有______．（填序号） 12. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是______． 三、解答题（共6题，共64分） 13. 计算、化简求值： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 14. 如图，已知和，与交于点P，点C上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 15. 如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 16. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 17. 实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 18. 如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． （1）连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值； （2）连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定区域． 2.考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效． 3.本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 2025年9月3日，纪念抗战胜利阅兵仪式在天安门广场举行，给我们带来了前所未有震撼与感动．如今的祖国，正以昂扬的姿态屹立于世界东方，而这份“繁荣昌盛”的答卷，需要我们一代又一代人接力书写，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得米，米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（ ） A. 15米 B. 14米 C. 13米 D. 12米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系可得，从而可得答案． 【详解】解：∵米，米， ， ， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了幂的运算．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，需注意变形方向应为多项式到积的形式． 根据因式分解的定义判断：因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为 ，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． B、是因式分解． C、右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． D、右边为，是多项式形式，且左边是积的形式，该变形是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 5. 如图，已知增加下列条件，其中不能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用条件，结合图形，利用全等三角形的判定方法逐一判断即可； 【详解】A.．，又不能使，符合题意； B.．，又能使，不符合题意； C.．由，得到，又能使，不符合题意； D．，又能使，不符合题意； 故选择：A． 【点睛】判定两个三角形全等的一般方法有：注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．解题关键是掌握判定两个三角形全等的方法． 6. 已知，，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开已知等式，通过相减消去平方项，直接求解的值． 【详解】解：∵，且， ∴ ， 即， 化简得， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为12，则长度的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线和等腰三角形的性质、距离和的最小值，找到距离和的最小值是解题的关键． 首先根据同侧两点的距离和最小值结合垂直平分线找到对称点并连接，得到距离和最小值为，再结合等腰三角形的性质和面积求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线， ∴直线为的垂直平分线， ∴， ∴，即长度的最小值为， ∵，D为的中点， ∴， ∵面积为12，， ∴，解得：， ∴长度的最小值为6， 故选：B． 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相同直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．正确的有______．（填序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】该题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据尺规作图可得是的平分线，则，根据三角形外角的性质可得，过点D作，根据是的平分线，得出，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：根据题意可得是平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； 不能证明，故不能说明，故③错误； 过点D作， ∵是的平分线， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②④． 12. 若关于x不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． 通过不等式组确定，分式方程解得，由解非负且得且，综合得或5，求和即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组至少有4个整数解， ∴整数解至少包括、0、1、2等， 则， 又a为整数， ∴， 解分式方程， 方程可化为， 去分母得， 解得：， ∵方程解是非负数， ∴， 即． 又分母，∴，即． ∴a的取值范围为，a为整数， ∴或5． 和为． 故答案为：9． 三、解答题（共6题，共64分） 13. 计算、化简求值： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的意义，整式的混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键； （1）先根据乘方、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减； （2）先计算多项式除以单项式，平方差公式，再合并即可． （3）根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 14. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 解：， ， 即． 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 15. 如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）是等腰直角三角形，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定；证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，得出，再根据，即可证明． （2）根据得出再利用角与角之间的关系求证，证明，即可解答； 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ∴， ∵， 是等腰直角三角形． 16. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝种花卉单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； 【小问2详解】 解：单位时间内可完成盆小盆栽插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 17. 实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为，山西大院占地面积为 （2）① 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，整式加减的应用： （1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解； （2）结合：，计算这两个建筑物的占地面积之差，即可求解． 【小问1详解】 解：回字形福建土楼占地面积为： ； 山西大院占地面积为： ； 【小问2详解】 解：这两个建筑物的占地面积之差 ， ， ， 回字形福建土楼的占地面积更大， 即①组同学的想法正确， 故答案为：①． 18. 如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． （1）连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值； （2）连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 【答案】（1）当为秒或秒时，是直角三角形 （2）的大小不发生变化，，理由见详解 （3）时，为等腰三角形，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质． （1）设点运动秒时，则，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可． （2）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可； （3）根据，得出，则，，得出，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 设点运动秒时，是直角三角形， 则， ①当时， ∵， ∴， ∴，即，解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即，解得； 故当为秒或秒时，是直角三角形． 【小问2详解】 解：的大小不发生变化，，理由如下， ∵是等边三角形， ， ∵点的速度相同， ， 在和中 ， ， ， ， 则． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $