精品解析：内蒙古通辽市第四中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题 考试时间：90分钟；分值：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据其概念“中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称”，由此即可求解． 【详解】解：A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； B、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意； C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； D、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 2. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征是关键． 根据反比例函数的性质，点在函数的图象上，需满足，逐一判断即可． 【详解】解：在反比例函数 中，， 对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是同时满足“一元二次方程”的定义和“有实数根”的判别式条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再由根的判别式列不等式，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即； ∵方程有实数根， ∴， 即， 化简得． 综上，且． 故选：D． 5. 如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故B能判定，符合题意； A 、C、 D选项均不能判定， 故选B 6. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（ ）． A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数系数与图像的对应关系，从图像中提取核心信息是解题关键． 先根据抛物线的对称轴，可解答①；再分别判断，，的值，可解答②；然后根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得，可判断③；根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，可解答④；根据二次函数的图象与有一个交点，可解答⑤；根据当时，，可得，最后结合，可解答⑥． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 即， 故①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， 即， 故③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 则时，，即， 故④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， 故⑥不正确． 综上，正确的有个． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先求出和的值，再代入表达式计算 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即． 由根与系数的关系，得． ∴． 故答案为0． 10. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，先求得，的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24． 故答案为：24． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与的相似比为，则点A的对应点的坐标是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的性质，以原点为位似中心，相似比为，则对应点的坐标比为或． 【详解】∵与位似，以原点为位似中心，且相似比为，点， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 12. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第、、、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，，…， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故答案为： 三、解答题（共6道题，总分64分） 13. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个． （1）小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是___________． （2）用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率P． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，包括树状图法或列表法求概率． （1）三个文件袋里的图片完全相同，小何随机抽1个时，每个文件袋被抽到的可能性均等，所以小何抽到的概率为； （2）列表列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果后计算概率即可． 【小问1详解】 解：在A，B，C三张图片中，小何每张抽到的概率均为， ∴当小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：所有可能的结果列表如下： 小平 小何 A B C A B C 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的结果有4种，即、、、， ∴恰好有一个文件袋装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把代入得，，可知反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，则的坐标是，然后待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由图象可知：的的取值范围是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围； （3）标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，求出点，，，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； 把代入反比例函数得，， ∴的坐标是， 把、的坐标代入一次函数得，， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵由（1）知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴满足的的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图所示，标记一次函数与轴的交点为点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点， 由（1）知，一次函数的解析式为， 当时，，解得，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】（1）月平均增长率是．（2）每件的售价应降低20元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题与利润问题是解题的关键． （1）已知初始销量，最终销量和增长月份数，设月平均增长率为，根据增长率公式建立方程后求解即可； （2）设降价元，得出每件利润为元，销量为，根据题意列出方程后求解即可． 【详解】解：（1）设月平均增长率是x． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：月平均增长率是． （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为元， 每天的销售量为件． 根据题意，得， 整理，得，解得，． 因为要尽量减少库存，所以． 答：每件的售价应降低20元． 16. 如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）的长为3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 17. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：直线与坐标轴交于、两点， ∴令时，则有，令时，则有， ∴点、的坐标分别为：、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由（1）可知：抛物线的表达式为：，点，点， 过点作轴交于点，如图所示： 设点，则点， 则， 则的面积， ∵的面积等于3， ∴， 解得：， 即点或； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，如图所示： 设点，则点， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 18. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题 考试时间：90分钟；分值：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 7. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（ ）． A. 5 B. C. 6 D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为__________． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与的相似比为，则点A的对应点的坐标是___________ 12. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为______ 三、解答题（共6道题，总分64分） 13. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个． （1）小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是___________． （2）用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率P． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）求的面积． 15. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件． 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件． 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率． 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 16. 如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 17. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 18. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $