精品解析：天津和平区2025-2026学年上学期八年级数学期末卷

和平区数学2025-2026第一学期期末考试 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间100分钟．祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小天在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B之间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，正确理解题意是解题的关键． 连接，根据三角形的三边关系，可得到的取值范围即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 根据三角形三边关系，可得， 解得， 综上所述，A选项、C选项、D选项错误，不符合题意，选项B正确，符合题意． 故选：B． 3. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于0.00000002s，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示较小的数时，形式为，其中，为原数中第一个非零数字前所有零的个数即可． 【详解】解：原数的第一个非零数字是，其前面有个零， ∴ ，且满足， ∴ ． 故选：B． 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 5. 如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂乘法、积的乘方、单项式乘多项式以及平方差公式的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D： ，故D正确． 故选：D． 7. 如图，，，垂足分别为C，D，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ） ①；②；③；④． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解． 【详解】解：∵， ∴①，可用判定与全等； ②，可用判定与全等即与全等； ③，可用判定与全等； ④，可用判定与全等． 故选：D． 8. 如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角的尺规作图是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， ∴， 综上所述：不一定成立； 故选A． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 逐一验证各选项，A、B、C选项均存在计算错误，D选项符合零指数幂定义． 【详解】对于A，取，左边，右边，不相等； 对于B，取，左边，右边，不相等； 对于C，左边，右边，不相等； 对于D，当时，，，正确． 故选：D． 10. 某工厂现在平均每天比原计划多生产a台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设现在平均每天生产台机器，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了列分式方程的应用，根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原来平均每天可生产台． 依题意得：． 故选：A． 11. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键． 根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断． 【详解】解：由图可知大正方形图案边长为，面积为， 、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意； 、，故B正确，不符合题意； 、由，， 得：，故C错误，符合题意； D、得：，则，故D正确，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接．若，，，．有下列结论：①等于；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，再根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③，共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共64分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 点关于轴对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横坐标和纵坐标的符号是解题关键，关于轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数，因此对称点的坐标为． 故答案为：． 14. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分子为零且分母不为零可得答案． 【详解】解：分式的值为0， 且． 解，得， 解，得， ， 故答案为：． 15. 如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据含度角的直角三角形的性质求得斜边长，再求这棵树在折断前的高度． 【详解】解：∵一棵竖直的树在一次大风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角， ∴斜边长为米， 即这棵树在折断前的高度为米， 故答案为：． 16. 如图，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板上的点O处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．如图②取下薄板后测得的面积为3，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据题意可证出六个小三角形面积均相等，据此即可求解． 【详解】解：由题可知为三角形中线的交点， 是的一条中线， 是中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ， ． 故答案为：． 17. 已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质． 取格点E，作射线交于点M，即为所求；取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N，点N即为所求． 【详解】解：如图，取格点E，作射线交于点M， ， ， ， ， ，即，故即为所求； 取格点F，作射线，连接交于点G，作射线交于点H，连接，交于点N， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 点是点关于对称的点， ， 当三点共线时最小，故点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可； （2）先计算括号，再计算除法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据十字相乘法因式分解即可求解； （3）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 已知，如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．问和的关系． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等，平行线的判定和性质．要牢固掌握并灵活运用这些知识．欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而可以得出，条件找到，全等可证，故可得到，,由平行线性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中 ， ， ，， ． 23. 某校机器人社团制作了两台遥控小车，分别为“小天号”和“小津号”．在100m跑道测试中，两车从起点同时出发，“小天号”到达终点时，“小津号”离终点还差10m． （1）已知“小天号”的速度比“小津号”的速度快，求两车的速度； （2）两车重新测试，“小天号”从起点向后退10m．若以（1）中的速度行驶，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点所用的时间；若不能，将快车的速度降低，使两车同时到达，求出a的值． 【答案】（1）“小天号”的速度是，“小津号”的速度是 （2）不能； 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“小天号”的速度是，则“小津号”的速度是，再列方程得求解即可； （2）先计算两车所用时间即可判断，再结合快车的速度降低，两车同时到达，可得，继而解方程即可． 【小问1详解】 解：设“小天号”的速度是，则“小津号”的速度是， 根据行驶时间相等，得， 方程两边乘，得， 解得， 经检验，原分式方程的解是， ， 答：“小天号”的速度是，“小津号”的速度是； 【小问2详解】 解：“小天号”所用时间：， “小津号”所用时间：， ， 两车不能同时到达终点， ，解得． 经检验，原分式方程的解是． ， 答：两车不能同时到达终点；． 24. 已知：是等边三角形，点O是直线上方的一点，连接，并且 （1）如图1，交于点M，若，求证：； （2）如图2，交于点N，作于点D，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）证明，证明，，即可得到结论. （2）在上截取，连接，证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， 是等边三角形， ． ． 平分． ，． 是的垂直平分线． ． ； 【小问2详解】 解：如图，上截取，连接， ∵时等边三角形， ∴， ，， ． 在和中，， ． ． ， ． ． 25. 工人师傅常用角尺（已知角尺的夹角）平分一个任意角． （1）如图1，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即．过角尺顶点P的射线便是的平分线．判断是的平分线，需先判定．其中判定的依据是_________； （2）如图2，小天认为，当工人师傅把角尺放入平面直角坐标系中，只要直接移动角尺，使角尺两边分别与y轴，x轴相交于点M，N，且满足，便可以得到平分x轴正半轴与y轴正半轴的夹角（即）．判断小天的观点是否正确，并说明理由； （3）如图3，平分x轴正半轴与y轴正半轴的夹角，点P是射线上的一点，过点P作轴于点E，，点C在y轴正半轴上运动，过点P作，与x轴交于点D．若，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）SSS （2）小天的观点正确，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作轴于点，作轴于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【小问1详解】 解：在和中， ， ； 故答案为：SSS； 【小问2详解】 解：小天的观点正确，理由如下， 过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即平分， ∴小天的观点正确； 【小问3详解】 解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 综上：点C的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和平区数学2025-2026第一学期期末考试 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间100分钟．祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小天在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B之间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 3. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统授时精度优于0.00000002s，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在中，，是斜边上高，于点E．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，垂足分别为C，D，添加下列条件中的一个后，能判定与全等的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. （） 10. 某工厂现在平均每天比原计划多生产a台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设现在平均每天生产台机器，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，由4个全等小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接．若，，，．有下列结论：①等于；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共64分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 点关于轴对称点的坐标是___________． 14. 若分式的值为0，则的值为______． 15. 如图，一棵竖直的树在一次大风中离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为_______米． 16. 如图，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板上的点O处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．如图②取下薄板后测得的面积为3，则的面积为__________． 17. 已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 18. 如图，在每个小正方形边长为1网格中，点A，B，C均在格点上，点D是线段上的一点（点D不在格点上）．请用无刻度的直尺，画出边上的高；在直线上求作一点N，使的和最小，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 21. 计算： （1）； （2）． 22. 已知，如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．问和的关系． 23. 某校机器人社团制作了两台遥控小车，分别为“小天号”和“小津号”．在100m跑道测试中，两车从起点同时出发，“小天号”到达终点时，“小津号”离终点还差10m． （1）已知“小天号”的速度比“小津号”的速度快，求两车的速度； （2）两车重新测试，“小天号”从起点向后退10m．若以（1）中的速度行驶，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点所用的时间；若不能，将快车的速度降低，使两车同时到达，求出a的值． 24. 已知：是等边三角形，点O是直线上方的一点，连接，并且 （1）如图1，交于点M，若，求证：； （2）如图2，交于点N，作于点D，求的值． 25. 工人师傅常用角尺（已知角尺的夹角）平分一个任意角． （1）如图1，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即．过角尺顶点P的射线便是的平分线．判断是的平分线，需先判定．其中判定的依据是_________； （2）如图2，小天认为，当工人师傅把角尺放入平面直角坐标系中，只要直接移动角尺，使角尺的两边分别与y轴，x轴相交于点M，N，且满足，便可以得到平分x轴正半轴与y轴正半轴的夹角（即）．判断小天的观点是否正确，并说明理由； （3）如图3，平分x轴正半轴与y轴正半轴的夹角，点P是射线上的一点，过点P作轴于点E，，点C在y轴正半轴上运动，过点P作，与x轴交于点D．若，请直接写出点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $