第四章　三角形（综合复习）课件 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第四章　三角形 综合复习 重点1　三角形的三边关系 1. (教材习题改编)已知等腰三角形的一边长9 cm，另一边长4 cm，则它的第三边的长为(　B　) A. 4 cm B. 9 cm C. 4 cm或9 cm D. 13 cm B 变式1　改为间接已知两边长，求腰长 已知一个等腰三角形的其中两边长分别是m，n，且｜m－2｜＋(n－5)2 ＝0，则这个等腰三角形的腰长为(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D 变式2　改为已知两边长的倍数关系 如果三角形的三条边中存在一边长是另一边长的3倍，那么称这样的三角 形为“倍边三角形”.已知一个等腰三角形是倍边三角形，其中一边长为 9，求这个等腰三角形的周长. 解：分两种情况讨论： ①若腰长为9，则底边长可能为3或27， 当底边长为3时，等腰三角形的三边长分别为9，9，3，满足三角形的三 边关系， 此时，三角形的周长为9＋9＋3＝21； 当底边长为27时，等腰三角形的三边长分别为9，9，27，9＋9＜27，不 满足三角形的三边关系，舍去； ②若底边长为9，则腰长可能为3或27， 当腰长为3时，等腰三角形的三边长分别为3，3，9，3＋3＜9，不满足三 角形的三边关系，舍去； 当腰长为27时，等腰三角形的三边长分别为27，27，9，满足三角形的三 边关系， 此时，三角形的周长为27＋27＋9＝63. 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或63. 重点2　与三角形有关的角度计算 2.(教材复习题改编)如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，连接DE，且DE∥BC，则∠EDC的度数为 ⁠. 第2题图 22° 变式1　改变平行线的位置，增加平行线段 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CF交AB于点F，点D，E分别在 AF，AC上，连接DE，DE∥CF，G为BC上一点，连接FG，∠CED ＋∠CFG＝180°. 　变式1题图 (1)判断AC与FG有怎样的位置关系？并说明理由； 解：(1)AC∥FG，理由如下： 因为DE∥CF， 所以∠CED＋∠ECF＝180°， 因为∠CED＋∠CFG＝180°， 所以∠ECF＝∠CFG， 所以AC∥FG； ∠ACB的平分线CF交AB于点F，点D，E分别在AF，AC上，连接 DE，DE∥CF，G为BC上一点，连接FG，∠CED＋∠CFG＝180°. (2)若∠BGF＝64°，求∠AED的度数. 解：(2)因为AC∥FG， 所以∠ACB＝∠BGF＝64°， 因为CF平分∠ACB， 所以∠ACF＝ ∠ACB＝32°， 因为DE∥CF， 所以∠AED＝∠ACF＝32°. 变式2　去掉“角平分线”，增加“八字型” 如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一 点，连接EF，且∠1＝∠A. 　变式2题图 (1)试说明：AC∥EF； 解：(1)因为AB∥CD， 所以∠A＝∠C， 又因为∠1＝∠A， 所以∠C＝∠1， 所以AC∥EF； AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，连 接EF，且∠1＝∠A. (2)若∠B＝45°，∠C＝55°，求∠DFE的度数. 解：(2)由(1)知，AC∥EF， 所以∠1＝∠C＝55°， 因为AB∥CD， 所以∠D＝∠B＝45°， 所以∠DFE＝180°－∠D－∠1＝180°－45°－55°＝80°. 重点3　与三角形有关的面积问题 3. (教材复习题改编)如图，在一张等边三角形纸片中各取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片.已知这张等边三角形纸片的面积为8，则图中阴影部分的面积为 ⁠. 第3题图 3 变式　改为在一般三角形中求面积 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点O. 若△ABC的面积为 12，则阴影部分的面积为 ⁠. 变式题图 6 重点4　全等三角形的判定与性质 4.(教材复习题改编)如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D，要使△ABC≌△BAD，只需添加一个条件 ⁠ ⁠. 第4题图 ∠CAB＝∠DBA(答案不唯一) 变式　变为选择条件进行证明 如图，在△ABC和△BAD中，BC与AD交于点E，给出如下三个等量关系：①∠EAC＝∠EBD；②∠CAB＝∠DBA；③AC＝BD. 请从中任选两个为条件，试说明：CE＝DE. 　变式题图 解：选①②， 因为∠CAB＝∠DBA，∠EAC＝∠EBD， 所以∠EAB＝∠EBA，所以EA＝EB. 在△EAC和△EBD中， 所以△EAC≌△EBD(ASA)，所以CE＝DE. 在△EAC和△EBD中， 所以△EAC≌△EBD(AAS)，所以CE＝DE. 选②③， 在△ABC和△BAD中， 选①③， 所以△ABC≌△BAD(SAS)， 所以∠C＝∠D， 在△EAC和△EBD中， 所以△EAC≌△EBD(AAS)，所以CE＝DE. (答案不唯一，任选两个条件说明即可) 5.(教材复习题改编)如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E，F，且D是EF的中点，判断△BED与△CFD全等吗？并说明理由. 第5题图 解：△BED≌△CFD，理由如下： 因为BE⊥AE，CF⊥AE， 所以∠E＝∠CFD＝90°， 因为D是EF的中点， 所以DE＝DF， 在△BED和△CFD中， 所以△BED≌△CFD(ASA). 变式1　增加∠BAC＝90°，等线段变为AC＝AB 如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为 E，F，CF＝15，EF＝11.求BE的长. 　变式1题图 解：因为∠BAC＝90°，BE⊥AE，CF⊥AE， 所以∠CAF＋∠BAE＝90°，∠ACF＋∠CAF＝90°，∠AEB＝ ∠CFA＝90°， 所以∠BAE＝∠ACF， 在△ABE和△CAF中， 所以△ABE≌△CAF(AAS)， 所以BE＝AF，AE＝CF＝15， 所以BE＝AF＝AE－EF＝15－11＝4. 变式2　改变三垂直位置，证明线段数量关系 【问题探究】(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，且CD⊥l于点D，BE⊥l于点E. 当直线l在△ABC外部时，探究BE，CD，DE之间的数量关系，并说明理由； 变式2题图 解：(1)DE＝CD＋BE，理由如下： 因为CD⊥l于点D，BE⊥l于点E， 所以∠AEB＝∠CDA＝90°， 因为∠BAC＝90°， 所以∠BAE＋∠CAD＝90°， 又因为∠ABE＋∠BAE＝90°， 所以∠ABE＝∠CAD， 在△ABE和△CAD中， 所以△ABE≌△CAD(AAS)， 所以AE＝CD，BE＝AD， 因为DE＝AE＋AD， 所以DE＝CD＋BE； 【拓展应用】(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝ ∠ADC＝45°，△ACD的面积是12且AD＝8，求△ABD的面积. 解：(2)如解图，过点C作CM⊥AD于点M，过点B 作BN⊥DA，交DA的延长线于点N， 所以∠N＝∠AMC＝90°， 所以∠BAN＋∠ABN＝90°， 因为∠ABC＝∠ACB＝45°， 所以∠BAC＝90°，AB＝AC， 所以∠BAN＋∠CAM＝90°， 所以∠ABN＝∠CAM， 变式2题解图 在△ABN和△CAM中， 所以△ABN≌△CAM(AAS)， 所以BN＝AM，AN＝CM， 因为△ACD的面积是12且AD＝8， 所以S△ACD＝ AD·CM＝ ×8CM＝12， 所以CM＝3， 因为∠ADC＝45°，∠CMD＝90°， 所以△CMD是等腰直角三角形， 所以DM＝CM＝3， 所以BN＝AM＝AD－DM＝8－3＝5， 所以S△ABD＝ AD·BN＝ ×8×5＝20. $