精品解析：陕西省榆林市神木市2025-2026学年上 学期九年级1月期末数学试题

九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是（ ） A. 25 B. －25 C. 5 D. －5 2. 如图所示的实验锥形瓶的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的布袋中共装有20个黑、白两种颜色的纽扣，它们除颜色外其他都相同，将布袋中的纽扣搅匀后，随机摸出一个纽扣并记录颜色，记为一次试验，欢欢通过多次摸纽扣试验后发现，摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3，估计布袋中白色纽扣的个数为（ ） A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 如图，已知两条直线被三条平行线所截，，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 0 7. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 8. 二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 11. 如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． 12. 将抛物线向左平移个单位长度后，顶点落在轴上，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点D为边的中点，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点D，交边于点E，连接．若的面积为2，则k的值为______． 14. 如图，在矩形中，，，点是延长线上动点，连接，交的延长线于点，连接，则的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使得与的相似比为．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 18. 如图，在中，于点.请利用尺规作图法，在边上求作点，使.（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，菱形对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 20. 弘扬传统文化，某社区准备开展“诗词大会”活动．社区提供了4种活动形式：A．诗词朗诵，B．诗词创作展示，C．诗词知识抢答，D．诗词接龙． （1）若甲小区在4种活动形式中随机抽取1种，则选择A概率为_____； （2）若甲小区和乙小区分别在4种活动形式中随机抽取1种，请用画树状图或列表的方法，求甲小区和乙小区选择不同活动形式的概率． 21. 现准备用一批大小相同的纸装订页码相同的练习本，纸张的总数量一定，则可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，已知当每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24． （1）求可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若现在需要用这批纸装订10本页码相同的练习本，则每本练习本有多少页？ 22. 如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 23. 某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 24. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，与相交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的值． 25. 垂榆枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） （1）求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； （2）身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是（ ） A. 25 B. －25 C. 5 D. －5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，直接计算c的值即可. 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴， 即， ∴. 故选A. 2. 如图所示的实验锥形瓶的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三种视图，俯视图是从物体的上面看，所得到的图形． 【详解】解：如图所示的实验锥形瓶的俯视图为两个同心圆． 故选：B． 3. 一个不透明的布袋中共装有20个黑、白两种颜色的纽扣，它们除颜色外其他都相同，将布袋中的纽扣搅匀后，随机摸出一个纽扣并记录颜色，记为一次试验，欢欢通过多次摸纽扣试验后发现，摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3，估计布袋中白色纽扣的个数为（ ） A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据频率估计概率，摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3，即黑色纽扣的概率约为0.3，从而计算白色纽扣个数. 【详解】解：∵摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3， ∴摸到黑色纽扣的概率约为0.3， ∵总纽扣数为20个， ∴黑色纽扣个数约为个， ∴白色纽扣个数约为个； 故选D. 4. 如图，已知两条直线被三条平行线所截，，，若，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，即， 解得：． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故选：D． 7. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切等知识，根据正方形的性质可得 ，，由得出，再根据证明可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 故选：C． 8. 二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据对称轴为可得，由图象经过点得，与轴交于正半轴得，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵对称轴为， ∴，即． ∵图象经过点， ∴． ∵与轴交于正半轴， ∴． A、∵图象与轴有交点（点）， ∴判别式，故A错误； B、（∵），故B错误； C、（∵），故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影，根据太阳光可视为平行光，得到影子是平行投影，作答即可. 【详解】解：太阳光由于光源距离远，光线近似平行，属于平行投影， 故凯歌楼在太阳光下的影子属于平行投影； 故答案为：平行 10. 已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，进行求解即可． 详解】解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为4， ∴四边形的周长为20； 故答案为：20 11. 如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移个单位长度后，顶点落在轴上，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在y轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案． 【详解】解：抛物线向左平移m个单位后的解析式为： ， ∴此时顶点坐标为， ∵此时它的顶点恰好落在y轴上， ∴， 解得：． 故答案为：1． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点D为边的中点，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点D，交边于点E，连接．若的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，反比例函数与几何的综合应用，设，则，，，进而得到的长，根据的面积为2，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点D，交边于点E， ∴设， ∵矩形顶点A、C分别在y轴、x轴上，点D为边的中点， ∴，，， ∴， ∴的面积， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点是延长线上的动点，连接，交的延长线于点，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的 关系以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵ 四边形是矩形，，， ∴ ，， ∵ ，的中点为， ∴， 在中，，， ∴ ． ∴ ， 当且仅当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】解：原式 16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 【答案】点A的坐标为，点B的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数图象与x轴的交点，令，解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则，解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使得与的相似比为．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查位似图形作图，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似比在第四象限内确定点、、的位置，依次连接得到即可． 【详解】解：如图，即为所求． 18. 如图，在中，于点.请利用尺规作图法，在边上求作点，使.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定．是直角三角形，和有公共角，若，则，所以只需过点A作的垂线即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，点即为所求． 19. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 为弘扬传统文化，某社区准备开展“诗词大会”活动．社区提供了4种活动形式：A．诗词朗诵，B．诗词创作展示，C．诗词知识抢答，D．诗词接龙． （1）若甲小区在4种活动形式中随机抽取1种，则选择A的概率为_____； （2）若甲小区和乙小区分别在4种活动形式中随机抽取1种，请用画树状图或列表的方法，求甲小区和乙小区选择不同活动形式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求随机事件的概率，解题的关键是通过树状图列出所有可能结果．​ （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先画树状图，展示所有可能的结果数，再从中选出甲小区和乙小区选择不同活动的情况数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：随机选取一种活动方式，选择A的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 则共有16种等可能的结果，其中甲小区和乙小区选择不同活动形式的结果有12种． 则（甲小区和乙小区选择不同活动形式）． 21. 现准备用一批大小相同的纸装订页码相同的练习本，纸张的总数量一定，则可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，已知当每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24． （1）求可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若现在需要用这批纸装订10本页码相同的练习本，则每本练习本有多少页？ 【答案】（1） （2）36页 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，得到为定值，结合每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24，进行求解即可； （2）求出时的自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式为， 由题意：， ∴可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式为． 【小问2详解】 将代入，得，解得， 答：每本练习本有36页． 22. 如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点E作于点F，交于点H，证明，得到，解，得到，代入中，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F，交于点H， 由题意，得四边形、四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：该建筑物的高度为． 23. 某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 【答案】每束鲜花应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设售价每束下降元，则每天可售出束， 根据题意：， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价元． 24. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接，与相交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，线段的和差关系推出，进而得到，证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）勾股定理逆定理推出，再根据正切的定义，进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 25. 垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） （1）求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； （2）身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出自变量值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，这支垂榆所在抛物线的顶点坐标为，点B的坐标为， 设这支垂榆所在抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴这支垂榆所在抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 在中， 令，得， ∴（不符合题意，舍去），． ∴身高的小明站在距离树干为时，头顶刚好碰到这支垂榆． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积． 【答案】（1）；；（2）136平方米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，中心对称，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键： （1）先证明，得到，，再证明，得到，，即可； （2）连接，根据正方形的性质，推出，得到，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出，即可． 详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，． （2）如图，连接， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 又∵米， ∴（米）， 又∵，米， ∴， ∴正方形菜园的面积为136平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $