数列单元检测卷-2026届高三数学二轮复习

数列单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2. 已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 3. 已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 4. 设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5. 已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 6. 已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 7. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 8. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 10. 记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 11. 已知数列满足，则下列正确的有（    ） A．任意 B．存在 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 13. 记数列的前项和为，若，则 . 14. 数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 16. 在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 17. 已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 18. 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 19. 在数列中，，，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 2. 已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，. 【详解】由题意得成等比数列， 故，其中，，故， 解得， 又，即，解得. 故选：B 3. 已知是各项为正数的等比数列，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比中项的性质可根据求得，再根据等差中项的性质得到，结合，解得公比，进而可求得. 【详解】由题可知，，得，解得或（舍去）. 设等比数列的公比为，则由，可得， 整理得，得或（舍去）， 则. 故选：D. 4. 设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】由Sn求通项公式、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以公差为，， 又因为，可得，则，解得， 则，所以. 故选：C. 5. 已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、前n项和与通项关系 【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】等比数列的前项和为，且， ∴， ∴，∴，故等比数列的公比为． 在中， 令，可得，∴，则． 故选：A． 6. 已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 7. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 【答案】C 【知识点】数列-其他模型 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】当时，最底层小球的数量为，即，， 从而有， 整理得，由皆为正整数，得是不超过10的正偶数， 当时，，无解；当时，，无解； 当时，，无解；当时，，解得或，符合题意； 当时，，无正整数解， 所以该垛积的第一层小球个数. 故选：C 8. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确， 对于D：由,， 可知，故D错误； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【知识点】判断数列的增减性、利用等差数列的性质计算、求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，从而得公差，即可判断A，B； 根据，，可得数列的前13项为正，从第14项起为负，即可判断C； 由，可得，从而判断D. 【详解】对于A，因为，，即，所以， ，所以，所以数列不是递增数列，故A错误； 对于B，由A的分析可知，故B正确； 对于C，由A的分析可知数列的前13项为正，从第14项起为负，所以最大，故C正确； 对于D，由C的分析可知，且公差， 所以数列是递减数列，所以，即，故D错误. 故选：BC. 10. 记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D. 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 11. 已知数列满足，则下列正确的有（    ） A．任意 B．存在 C． D． 【答案】ACD 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】对于A首先对递推关系式的配方可得，再由递推关系得与同号且即可判断；对于B通过不等式进行放缩可得数列是递减数列即可判断；对于C由递推关系得，再进行累加求和得，再进行倒数求和可得；对于D构造数列，得，再求和可得不等式. 【详解】对于A：由，所以，，所以. 再由，得，即， 因为，所以与同号，且，由递推关系可得 ，由，所以，故任意，所以A正确； 对于B：因为，所以， 再由得， 所以，数列单调递减，故不存在成立，所以B错误； 对于C：再由B选项的判断知数列单调递减，即， 所以，且. 因为，，两边取对数 所以，即， 进行累加求和 即，所以，. 所以 ，所以C正确； 对于D：因为，令，得， ，即，所以， ， 因为，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 13. 记数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】首先根据等差数列求和公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ． 【答案】/0.32 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， ，， ，记为， 当时，， 当时，，即， ， ， ， ， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 在时递减，在时递增，最小值出现在处，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由及条件可推出，根据等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求结论. 【详解】（1）由题可得，即， 所以，即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由，得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以，即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. 16. 在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2)（） 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： (） 17. 已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以． 所以 ； （3）由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 18. 已知数列满足，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)14，254； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由题设得，进而代值依次求解即可； （2）由题设得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可； （3）由题设得，结合裂项相消法求得，进而结合指数函数的性质求证即可. 【详解】（1）由，得． 由得，，． （2）由得，， 两边取以2为底的对数，， 又，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， 所以，故． （3）证明：由得，， 所以， 则， 故， 因此 ， 由于，则，即， 所以，则， 所以，故． 19. 在数列中，，，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)数列是首项为2、公差为1的等差数列，证明见详解. (2)，证明见详解. (3)不等式成立，证明见详解. 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据题目条件，建立和的关系，判断是否为常数. （2）利用，结合第一问的结果，求出的表达式从而化简，根据，求出数列的前项和，将转化为关于的函数，从而求出的最小值. （3）利用进行放缩，对放缩后的不等式进行求和得到：，判断求和后的不等式是否成立，从而得出结论. 【详解】（1）已知，两边平方得：， 利用三角恒等式，代入得：， 解此方程得：， 取倒数得：， 因此，是公差为1，首项为的等差数列. （2）由（1）得， 又，所以 ， ， ， ， 则，单调递增， 故恒成立，可得. （3）由（1）得，左边和式为：， 放缩通项：需证， 令，则不等式化为， 构造，求导得： ， 令， 递增，，不等式成立， 求和：. 学科网（北京）股份有限公司 $