平面向量单元检测卷-2026届高三数学二轮复习

平面向量单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 2. 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、利用坐标求向量的模 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 3. 已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求的值. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：A 4. 已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【详解】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：. 5. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 7. 起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】向量与几何最值、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量新定义、用向量解决线段的长度问题、三角形的心的向量表示、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 【答案】CD 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、向量加法的法则、平行向量（共线向量） 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、求投影向量 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误；对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题意有在方向的投影向量为， 因为，所以， 因为，，所以， 得，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BCD 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在 上的投影向量为 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【知识点】求投影向量、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先由不等式恒成立结合向量模长公式得到一个一元二次不等式恒成立，解该不等式恒成立问题得到，接着由向量模公式、数量积运算律和投影向量公式逐项计算即可判断ABC；由模公式计算D选项得到代数式，利用其几何意义数形结合分析计算即可求解判断D. 【详解】由题可得恒成立， 即， 所以， 所以， 所以，故A正确； ，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图，    关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值， 此时， 所以当取最小值时，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则 . 【答案】2 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 13. 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 14. 三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， ． 【答案】 【知识点】切线长、数量积的运算律 【分析】设，，，，设，由得到点在以为直径的圆上，计算，求就是，此时与圆相切，结合图形得到. 【详解】设，，，， 设，，点在以为直径的圆上， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系， ， ，则，此时与圆相切，此时如图. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. 【详解】（1） ； （2）， ； （3）因为，所以 所以，解得． 16. 如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，可求出，又，根据条件，代入计算，即可得答案. （2）设，则，根据线性运算法则，可得、表达式，根据数量积公式，可得的值，代入所求，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为，所以， 所以均为等边三角形， 所以四边形为菱形. 所以， 因为， 所以. （2）设，则， 所以， ， 因为扇形所在圆的半径为1，， 所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值， 当或1时，取得最大值， 所以的取值范围为. 17. 如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量夹角的计算、用基底表示向量、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 18. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因，所以，又因为的中点，所以， 所以． （2）因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． （3）设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 19. 在中，角的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，（，，）． (1)如图1，若三角形是边长为3的正三角形，且，求； (2)如图2，若，，交于一点， ①求的值，②若，，，，求． 【答案】(1) (2)①1；② 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论、已知向量共线（平行）求参数、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据平面向量共线定理用两种方法分别表示出，再根据平面向量基本定理列出方程组，求解即可； （2）①把的面积分别表示成两个三角形面积的差，进而求出面积的比，同理求出的值，相乘即可；②通过做平行线，利用三角形全等及相似得到及的值，在和中分别用余弦定理建立等式，求出的长，进而求出及，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设，则，因为，， 所以， 由图可知三点共线，所以令 ， 所以，解得，所以. （2）① 如图，过点作于点，过作于点， 因为， 同理， 所以， ， 所以，同理可证，，， 因为，，， 所以由图可知， 所以. ② 如图所示，过点作交于点，过作交于点， 由，，可得， 所以，所以， 由，，可得，且， 所以，，即， 设，则由余弦定理可得， ， 即，解得， 所以， 故， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3. 已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4. 已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 5. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 7. 起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 10. 已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11. 已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．在 上的投影向量为 D．当取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则 . 13. 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 14. 三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 16. 如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 17. 如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 18. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 19. 在中，角的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，（，，）． (1)如图1，若三角形是边长为3的正三角形，且，求； (2)如图2，若，，交于一点， ①求的值，②若，，，，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $