平面解析几何单元检测卷-2026届高三数学二轮复习

平面解析几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2. 已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4. 圆：与圆：的公切线条数为（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8. 已知椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 10. 抛物线的焦点为F，下列说法正确的是（    ） A．过的直线与抛物线交于，两点，的最小值为4 B．点到的距离为3 C．点在抛物线上，，则的坐标为 D．直线与抛物线交于，两点，若，则 11. 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为，，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ． 13. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 .    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 17. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 18. 已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于在第一象限）. ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标. 19. 已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，点P、Q分别是和的中点，、分别是和的重心． (1)若，求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交椭圆C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足成等差数列，求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； (3)若总成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面解析几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C 2. 已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题意求出，再由渐近线的定义即可得解. 【详解】依题意，由为双曲线的焦点得，所以， 故渐近线方程为． 故选：C 4. 圆：与圆：的公切线条数为（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】 根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数. 【详解】圆：，圆心，，圆：，圆心，半径， ， 因为，所以圆与圆相交，故公切线的条数为2. 故选：C 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据给定条件，结合三角形面积求出点坐标，再由点在双曲线上建立方程求出离心率. 【详解】设，显然点在第一象限， 由的面积为，得，解得， 由直线，得直线方程为，则， 又，则，整理得，， 所以双曲线的离心率为.    故选：A 6. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 7. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设，由外角平分线的性质可得到，然后利用三角形的面积公式把两三角形的面积用表示出来，求值域即可. 【详解】设，由已知得， 由外角平分线性质得， 所以，所以， 设，则， 所以的面积与的面积之比为 ， 因为，所以． 故选：C． 8. 已知椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立 得， 可得， 则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【知识点】求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 抛物线的焦点为F，下列说法正确的是（    ） A．过的直线与抛物线交于，两点，的最小值为4 B．点到的距离为3 C．点在抛物线上，，则的坐标为 D．直线与抛物线交于，两点，若，则 【答案】AC 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用焦半径公式判断A，利用两点间记录公式判断B，利用抛物线的定义结合点在抛物线上判断C，利用直线与抛物线的位置关系并结合题意判断D即可. 【详解】对于A，如图，抛物线的焦点为，设， 所以， 当轴时，取最小值，此时， 所以的最小值为4，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为点在抛物线上，所以点与的距离等于到准线的距离， 即，解得，得到的横坐标为4， 则，解得，即，故C正确； 对于D：因为直线与抛物线交于，两点，直线过， 联立直线与抛物线方程得，化简得. 设，则， 因为，所以 ， 不存在满足题意，故D错误. 故选：AC. 11. 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为，，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 【答案】ABD 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据点在抛物线上计算得出判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算判断D. 【详解】对于A，因为，所在直线的方程为，所以，， 所以，所以，解得或， 因为，所以，即抛物线的方程为，故A正确. 对于B，抛物线的焦点坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线与抛物线的方程，消去并整理，得，解得，， ，，，所以的值为3，故B正确. 对于C，由题意不妨设，，如图所示， ，所以，. 设直线的方程为， 由消去得. 所以，所以，，所以，故C错误. 对于D，由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由为抛物线上一点，可得， 因为，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设点、，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出直线关于对称的直线的方程，根据直线与圆有公共点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】点关于直线的对称点为，且点在直线上， ，所以直线的方程为， 即直线的方程为， 由题意可知，若直线关于对称的直线为直线， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、以及余弦定理，求得，得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值，即可得到答案. 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则 .    【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】设折叠前，表示折叠后点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合建立关系，求出，即得的值. 【详解】折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，    折叠前设，易得，设直线 由得， 折叠后 化简得，即. 因，则可得，即. 又，则，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. (1)求的值； (2)直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii）或 【知识点】直线过定点问题、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）将圆化为标准方程，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求半径，进而求出的值. （2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标. （ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方程. 【详解】（1）的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 （2）（i）直线方程可化为， 故， ∴直线过定点. （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 16. 已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合虚轴长定义进行求解即可； （2）（i）设出直线的方程与双曲线方程联立，根据面积关系得到两点纵坐标的关系，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、双曲线弦长公式进行求解即可； （ii）分斜率为和斜率不为两种情况，结合（1）中的结论进行求解证明即可. 【详解】（1）由题意得的渐近线方程为， 由的渐近线方程为得， 又，所以， 所以， 故双曲线的方程为； （2）（i）由（1）可知， 由题意得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，不妨设， 联立 整理得， 则，即， ①， 由得②，由①②得 ， 故 ； （ii）当直线的斜率为时为的两顶点， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， ， 由（i）知， 则， 因为， 所以与不垂直，即无论取何值，都有成立， 综上，不存在直线，使得. 17. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆过点及列方程组求解； （2）设，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点的中点坐标； （3）已知得到，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再把韦达定理代入化简结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为. （2）设， 因为直线的倾斜角为45°，所以， 联立，所以， 所以， 所以，， 所以的中点坐标为； （3）设，， 由，化简为， ，则，， 又 ， 因为，所以，即，所以. 所以的取值范围为. 18. 已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于在第一象限）. ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由抛物线的性质，得到，求得，即可得到抛物线的标准方程； （2）①设，利用导数的几何意义，求得切线方程为和，得到直线的方程为，结合，列出方程，即可求解；②由①得到直线，直线，联立抛物线方程，利用韦达定理得到间的关系，结合，求得，联立方程，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线的性质，可得抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即，得到， 故抛物线的标准方程为. （2）解：①设，由，得到，所以， 则直线，即，同理可得，， 又点在切线上，所以， 故直线的方程为，即， 因为，所以， 又因为，所以，可得，所以点在定直线上， ②设 由①有直线，过点，直线， 联立方程组，整理得，所以， 又由方程组，整理得，所以， 因为， 因为在第一象限，所以， 又因为，且，可得，得到， 两式相乘可得， 因为，所以，得到， 所以，解得， 由 ，解得或， 当时，； 当时，， 又因为，所以，所以. 19. 已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，点P、Q分别是和的中点，、分别是和的重心． (1)若，求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交椭圆C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足成等差数列，求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围； (3)若总成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知可知，将代入椭圆方程，即可求解； （2）设,，,，中点,，利用弦长公式，分别求出，，再利用点差法整体代入，根据点在椭圆内部，即可求解； （3）根据重心性质及面积公式得，再结合，构造不等式组求得，根据函数单调性可得的范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即可． 【详解】（1）椭圆 短轴长为2，则有，故椭圆， 将代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）由题可得，进而可得，. 设中点，由弦长公式 ， ，， 同理，代入可得， 当AD斜率存在时两式作差可得， ，∴ 弦AD的中垂线方程为， 当时，纵截距，即AD的中垂线的纵截距. 在椭圆内，，得，且. 当AD斜率不存在时，AD的中垂线为轴，在轴上的截距为． 综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为. （3）点分别为的重心，设， 设点， 则根据重心性质及面积公式得，， 而， ∴， , ，即， 则，令， 任取，有， 时，，，， ，即； 时，，，， ，即； 则在上单调递增，在上单调递减， ，， 可得，即， 设直线，则联立椭圆方程得， 消元化简得，， ， ， 对任意的恒成立， 即，故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $