教考衔接二十七 教材命题点探源核心卷01（全国一卷通用）-2026届高三数学二轮复习

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026教材命题点探源 第一次模拟考试 高三数学（全国一卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集是小于16的平方数，，，则( ) A. B. C. D. 2.若，则( ) A.1 B. C. D.2 3.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率( ) A. B. C. D. 4.已知，则( ) A. B. C. D.2 5. 已知某古代天文观测仪器的核心部件为圆台形，其上底面半径为1，一个表面积为的球形校准器置于该圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6.当时，函数有两个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知及其导函数的定义域为R，为偶函数，的图象关于点对称，则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知某AI智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B. 从该批设备中任选1台，其运行温度高于110℃的概率是0.7 C. 从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 D. 从该批设备中任选2台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 10.已知函数，则下列结论正确的是( ) A.函数存在两个不同的零点 B.函数的极大值为，极小值为 C.若时，，则t的最大值为2 D.若方程有两个实根，则 11. 在新时代科技实践与数学建模项目中，某研究小组聚焦一类具有实际应用价值的特殊曲线，通过数据分析、模型推演完成了曲线方程的构建，该曲线被命名为“星轨回旋曲线”，其表达式为：小组同步绘制了该曲线的大致图象（如图所示，轴水平向右为正方向，轴竖直向上为正方向），并围绕图象特征与代数性质展开专项探究。下列说法正确的是（ ） A. 当探测器沿直线飞行时，与星轨回旋曲线的交会点最多为3个 B. 根据题图所示的星轨分布特征，可推断参数 C.存在实数a，使得星轨回旋曲线是偶函数图象 D. 当时，在的深空区域内，星轨高度y可唯一表示为飞行距离x的函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，，则_________. 13.点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________. 14.有8枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7，8。现从这 8 枚印章中随机抽取3枚，则抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余5枚印章上的数字之和相等的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）求的取值范围. 16.（15分）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，平面，，，，M为棱PD上一点，且. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 17.（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆W上，P到W的焦点的最大距离为，. （1）求椭圆W的标准方程； （2）若，判断点P与曲线的位置关系； （3）若椭圆W的右顶点为C，经过点的直线与W交于A，B两点，的面积为，求直线AB的方程. 18.（17分）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 19.（17 分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等。最新行业数据显示，我国航空航天零件的整体合格率为 27.9%，高精度零件占全部合格零件的约三分之一.改善生产工艺和加强质量检测是常用的提升方式，同时适当优化生产流程可以使零件合格率水平提升，降低生产风险，推动高质量发展. （1）某航空制造企业为鼓励和引导生产车间积极优化生产流程，提升零件合格率，开展 “精益生产，质量为先” 活动.下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计： 季度x 1 2 3 4 5 高精度零件合格（或达标）人数y 320 270 210 150 100 若高精度零件合格（或达标）人数y与季度变量x（季度变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有多少人？ （2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，. （i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望； （ii）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，A称为数列的聚点.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 高三数学 第一次模拟 第3页（共6页） 高三数学 第一次模拟 第4页（共6页） 高三数学 第一次模拟 第1页（共6页） 高三数学 第一次模拟 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026教材命题点探源第一次模拟考试 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[AJ[B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A[B][C[D] 7[A][B][C[D] 說 氣 4[A[B][C][D] 8[A[B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A][B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 2 1 13. 4 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) M D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第6页（共6页） 2026教材命题点探源 第一次模拟试卷 高三数学（全国一卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B C B D C C 1.设全集是小于16的平方数，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，由，可得解得，又，于是，所以，所以. 故选A. 2.若，则( ) A.1 B. C. D.2 【答案】A 【解析】由得，所以. 故选A. 3.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】双曲线C的渐近线方程为，即，焦点坐标为，虚轴顶点坐标为.因为焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，所以，则，所以. 故选B. 4.已知，则( ) A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】由得，（另解：也可以去分母化为，则），所以，所以 . 故选C. 5. 已知某古代天文观测仪器的核心部件为圆台形，其上底面半径为1，一个表面积为的球形校准器置于该圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设球的半径为R，由球的表面积为可知，，所以，则该圆台的高为.圆台及其内切球的轴截面如图所示，设圆台的下底面半径为r，易知该圆台的母线长，则，即，解得，所以此圆台的体积，故选B. 6.当时，函数有两个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得.函数有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点.作出，的图象，如图.由图象可知，，解得. 故选D. 7.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，当时，，由指数函数单调性可知，在上单调递减，此时；当时，，由一次函数的单调性可知，在上单调递减，此时.因为方程有两个不相等的实数根，所以函数的图象与的图象有两个交点.因为函数是增函数，当时，得，当时，得，所以，所以实数a的取值范围为. 故选C. 8.已知及其导函数的定义域为R，为偶函数，的图象关于点对称，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由为偶函数，得，则.两边取导数，得①.由的图象关于点对称，得②.得，所以，则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列.在中，令，得.在中，令，得.在中，令，得，所以，所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以， 设，则 ③ 两边同乘2，得 ④ ，得 其中等比数列求和部分：， 代入得，整理得， 因此， 故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ABC 9.已知某AI智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B. 从该批设备中任选1台，其运行温度高于110℃的概率是0.7 C. 从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 D. 从该批设备中任选2台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 【答案】AC 【解析】因为，所以A正确；从该批设备中任选 1 台，其运行温度低于 110℃的概率为，所以B错误；由，，可得C正确；从该批设备中任选 2 台设备，这 2 台设备运行温度都高于 130℃的概率为，所以D错误. 故选AC. 10.已知函数，则下列结论正确的是( ) A.函数存在两个不同的零点 B.函数的极大值为，极小值为 C.若时，，则t的最大值为2 D.若方程有两个实根，则 【答案】ACD 【解析】令，可得，解得或，所以函数存在两个不同的零点，故A正确；易得的定义域为R，，令，可得或，当时，，所以在，上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，故B不正确；易得时，，时，，作出的图象如图所示.易知方程的根为和，其中.若时，，则，所以t的最大值为2，故C正确；方程有两个实根等价于的图象与的图象有两个不同的交点，结合图象可知，故D正确. 故选ACD. 11. 在新时代科技实践与数学建模项目中，某研究小组聚焦一类具有实际应用价值的特殊曲线，通过数据分析、模型推演完成了曲线方程的构建，该曲线被命名为“星轨回旋曲线”，其表达式为：小组同步绘制了该曲线的大致图象（如图所示，轴水平向右为正方向，轴竖直向上为正方向），并围绕图象特征与代数性质展开专项探究。下列说法正确的是（ ） A. 当探测器沿直线飞行时，与星轨回旋曲线的交会点最多为3个 B. 根据题图所示的星轨分布特征，可推断参数 C.存在实数a，使得星轨回旋曲线是偶函数图象 D. 当时，在的深空区域内，星轨高度y可唯一表示为飞行距离x的函数 【答案】ABC 【解析】对于A，星轨回旋曲线，令，得关于y的一元三次方程，令，则，所以方程最多有两个实根，即函数最多有两个极值点，即方程最多有三个实根，因此曲线与直线最多存在3个交点，故A正确； 对于B，若曲线如题图所示，则存在，使得直线与曲线有三个交点，即存在，使得关于y的方程有三个实根.令，则.假设，则都有且等号不恒成立，即单调递增，则方程在上最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误.故，故B正确； 对于C，当时，曲线，即为函数的图象，设，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故存在a，使得曲线是偶函数的图象，故C正确； 对于D，当时，曲线的方程为.令，得，令，则，，，由零点存在定理可知，方程至少有两个实根，则对应的y值不唯一，不符合函数的定义，故D错误. 故选ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，，则_________. 【答案】 【解析】，，，又，，即，解得，，.. 故答案为：. 13.点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】设是的切线，切点为，则解得则，则的最小值即为两平行线与间的距离，即. 故答案为：. 14.有8枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7，8。现从这 8 枚印章中随机抽取3枚，则抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余5枚印章上的数字之和相等的概率为__________. 【答案】 【解析】法一：由题意知，从 8 枚非遗文创印章中随机抽出 3 枚的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等，则3枚印章上的数字之和应为18.罗列出 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等” 的基本事件情况：① “3，7，8” 和 “1，2，4，5，6”；② “4，6，8” 和 “1，2，3，5，7”； ③ “5，6，7” 和 “1，2，3，4，8”.共3种情况，所以 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等”的概率. 法二：由题意知，从8枚非遗文创印章中随机抽出3枚的基本事件总数为.因为所有数字之和为 36，所以要使3枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等，则 3 枚印章上的数字之和为 18.考虑抽出的3枚印章上的数字之和为18，则相当于从−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2中选择3个数，使其和为 0.若中间数为 0，则有 2 种情况；若中间数为 1，则有 1 种情况。所以 “抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余 5 枚印章上的数字之和相等” 的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 所以，………………………………2分 所以，即.…………………………………………………4分 因为，所以.……………………………………………………………5分 （2）由（1）知，所以， 由正弦定理知.……8分 因为为锐角三角形，，…………………………………………………9分 所以解得，…………………………………………10分 所以，可得， 所以，………………………………………………………12分 所以的取值范围是.………………………………………………………13分 16.（15分）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，平面，，，，M为棱PD上一点，且. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，. ，，.……………………………………………………………1分 ，，，， 为直角三角形，.………………………………………………………3分 平面，平面ABCD，. ，，，平面PCD，平面PCD. 平面，.……………………………………………………………5分 ，，平面PAD，平面PAD. 又平面PAD，.………………………………………………………………7分 （2）由（1）可知AD，CD，PC两两垂直. 如图，以C为坐标原点，CP所在的直线为z轴，CD所在的直线为x轴，过点C且平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，.……………………………………………9分 设平面AMB的法向量为， 则即 令，则，，.……………………………………………………11分 设平面CMB的法向量为， 则即 令，则，，.……………………………………………13分 ， 二面角的正弦值为.…………………………………15分 17.（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆W上，P到W的焦点的最大距离为，. （1）求椭圆W的标准方程； （2）若，判断点P与曲线的位置关系； （3）若椭圆W的右顶点为C，经过点的直线与W交于A，B两点，的面积为，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2）点P在曲线上 （3）或 【解析】（1）因为P到W的焦点的最大距离为， 所以， 又，所以，………………………………………………………2分 即，所以，解得， 所以，所以， 所以椭圆W的标准方程为.………………………………………………………………3分 （2）由（1）知椭圆W的方程为， 所以，. 因为，设， 所以，…………………………………………………5分 所以解得 因为， 所以点P在曲线上.………………………………………………………………8分 （3）当直线AB斜率不存在时，， 则，不符合题意；…………………………9分 当直线AB斜率存在时，设直线AB的斜率为， 因为直线AB经过点，所以直线AB的方程为， 联立消去y得，………………………………10分 设，，由韦达定理得，， 所以 .………………………………………………………………………………12分 因为C为椭圆的右顶点，所以， 由点到直线的距离公式得点C到直线的距离为， 所以的面积为. 因为的面积为，所以，……………………………………………13分 整理得，所以，或（舍去）， 所以， 所以直线AB的方程为或.…………………………………………………15分 18.（17分）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，无单调递增区间 （2）（ⅰ） （ⅱ）证明见解析 【解析】（1）依题意，函数的定义域为， ， 当时，在上恒成立，…………………………………………………2分 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.………………………………4分 （2）（ⅰ）由（1）可知， 令，，则. 因为在上恒成立，所以函数在上单调递减， 当时，由（1）可知，函数在上单调递减， 所以函数不存在极值点，不符合题意；………………………………………………6分 当时，， 所以当时，，则， 所以函数在上单调递减. 因为，所以当时，， 所以函数不存在大于1的零点，不符合题意；………………………………………9分 当时，，因为，， 所以存在，满足， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在极值点.…………………………………………………………………11分 因为， ，所以，此时，且， 即函数存在大于1的零点，此时实数m的取值范围为.…………………12分 （ⅱ）证明：依题意即 所以，即.………………………………………………………14分 因为在上恒成立，且，，即， 所以，即，……………………………………………16分 两边取对数得， 则，所以.…………………………………………………………17分 19.（17 分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等。最新行业数据显示，我国航空航天零件的整体合格率为 27.9%，高精度零件占全部合格零件的约三分之一.改善生产工艺和加强质量检测是常用的提升方式，同时适当优化生产流程可以使零件合格率水平提升，降低生产风险，推动高质量发展. （1）某航空制造企业为鼓励和引导生产车间积极优化生产流程，提升零件合格率，开展 “精益生产，质量为先” 活动.下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计： 季度x 1 2 3 4 5 高精度零件合格（或达标）人数y 320 270 210 150 100 若高精度零件合格（或达标）人数y与季度变量x（季度变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有多少人？ （2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，. （i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望； （ii）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，A称为数列的聚点.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 【答案】（1）42人 （2）（i）分布列见解析，数学期望为 （ii）证明见解析，聚点A的值为 【解析】（1）由已知可得， .………………………………………………………………1分 又， ，………………………………………………………………3分 所以， 所以， 所以，……………………………………………………………………………5分 当时，， 所以预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有42人.………………………………6分 （2）（i）由题知X的所有可能取值为0，1，2， ；……………………………………………………………………7分 ；………………………………8分 ，…………………………………………………………9分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以.………………………………………………………10分 （ii）设经过n次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得.① 因为，所以，， 代入①式得，………………………………………………………………12分 即， 所以. 因为，， 所以，…………………………………………………………………………14分 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，………………………………………15分 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过x的最大整数），使得当时，， 所以数列为“聚点数列”，聚点A的值为.……………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026教材命题点探源 第一次模拟试卷 高三数学（全国一卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集是小于16的平方数，，，则( ) A. B. C. D. 2.若，则( ) A.1 B. C. D.2 3.已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率( ) A. B. C. D. 4.已知，则( ) A. B. C. D.2 5. 已知某古代天文观测仪器的核心部件为圆台形，其上底面半径为1，一个表面积为的球形校准器置于该圆台内，且与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6.当时，函数有两个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知及其导函数的定义域为R，为偶函数，的图象关于点对称，则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知某AI智能设备的运行温度X（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B. 从该批设备中任选1台，其运行温度高于110℃的概率是0.7 C. 从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 D. 从该批设备中任选2台，这 2 台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 10.已知函数，则下列结论正确的是( ) A.函数存在两个不同的零点 B.函数的极大值为，极小值为 C.若时，，则t的最大值为2 D.若方程有两个实根，则 11. 在新时代科技实践与数学建模项目中，某研究小组聚焦一类具有实际应用价值的特殊曲线，通过数据分析、模型推演完成了曲线方程的构建，该曲线被命名为“星轨回旋曲线”，其表达式为：小组同步绘制了该曲线的大致图象（如图所示，轴水平向右为正方向，轴竖直向上为正方向），并围绕图象特征与代数性质展开专项探究。下列说法正确的是（ ） A. 当探测器沿直线飞行时，与星轨回旋曲线的交会点最多为3个 B. 根据题图所示的星轨分布特征，可推断参数 C.存在实数a，使得星轨回旋曲线是偶函数图象 D. 当时，在的深空区域内，星轨高度y可唯一表示为飞行距离x的函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，，则_________. 13.点M，N分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为___________. 14.有8枚非遗文创印章，分别刻有数字 1，2，3，4，5，6，7，8。现从这 8 枚印章中随机抽取3枚，则抽出的 3 枚印章上的数字之和与其余5枚印章上的数字之和相等的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求B； （2）求的取值范围. 16.（15分）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，平面，，，，M为棱PD上一点，且. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 17.（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆W上，P到W的焦点的最大距离为，. （1）求椭圆W的标准方程； （2）若，判断点P与曲线的位置关系； （3）若椭圆W的右顶点为C，经过点的直线与W交于A，B两点，的面积为，求直线AB的方程. 18.（17分）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在正数a，b，且a为函数大于1的零点，b为函数的极值点. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 19.（17 分）航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准等。最新行业数据显示，我国航空航天零件的整体合格率为 27.9%，高精度零件占全部合格零件的约三分之一.改善生产工艺和加强质量检测是常用的提升方式，同时适当优化生产流程可以使零件合格率水平提升，降低生产风险，推动高质量发展. （1）某航空制造企业为鼓励和引导生产车间积极优化生产流程，提升零件合格率，开展 “精益生产，质量为先” 活动.下表为开展活动后近5个季度高精度零件的合格情况统计： 季度x 1 2 3 4 5 高精度零件合格（或达标）人数y 320 270 210 150 100 若高精度零件合格（或达标）人数y与季度变量x（季度变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度高精度零件合格（或达标）的大约有多少人？ （2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，. （i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数X的分布列与数学期望； （ii）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，A称为数列的聚点.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 高三数学 第一次模拟 共6页 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026教材命题点探源 第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学 第4页（共6页） 高三数学 第5页（共6页） 高三数学 第6页（共6页） 高三数学 第1页（共6页） 高三数学 第2页（共6页） 高三数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $