空间向量与立体几何单元检测卷-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2. 已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 6. 如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7. 在直三棱柱中，，，，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 8. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 10. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．棱锥的体积为 D．与平面所成角的正切值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（    ）    A．点的轨迹长度大小为 B．三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C．当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D．为直线上一点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 13. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 .    14. 正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，E、F分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，是的中点，点分别在线段与上（不含端点），且． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角大小． (3)若平面，求的最小值． 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，. (1)证明：； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若二面角的正切值为，平面分别与侧棱交于点，且，求面与面所成夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何单元检测卷 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据坐标平面中点的坐标定义及对称点的坐标特征易得. 【详解】因空间中的点的横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该点在轴上的投影的坐标， 故点关于平面对称的点的横坐标、纵坐标不变，竖坐标为原竖坐标的相反数， 故所求点坐标为. 故选：B. 2. 已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的体积公式，结合圆锥的表面积公式进行求解即可. 【详解】圆锥体积：，化简得． 由母线长，得，把代入， 整理得 ，或 ，解得，， 因为，所以，或， 当时，，或舍去， 当时，，， 因为， 所以，因为，所以，与已知矛盾，舍去， 综上所述：，， 所以圆锥的表面积为． 故选：C 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 4. 如图，在正方体中，E，F，G分别是线段BD，，的中点，则异面直线AG与EF所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据线线夹角的向量公式求解即可． 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，所以，． 设异面直线AG与EF所成的角为， 则． 故选：C． 5. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为平面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由平面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 7. 在直三棱柱中，，，，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求空间中两点间的距离、求空间图形上的点的坐标 【分析】建立空间直角坐标系，列出各点的坐标，求出，然后根据已知条件列出的表达式，用换元法进行化简，判断函数的单调性，即可得到范围. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，. 那么，. 所以. . 因为，所以，令. 因为，所以，即. 所以，因为函数在上是增函数， 所以. 故选：B. 8. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【分析】由题意可得平面方程，然后得出法向量，最后用空间向量线面角公式计算. 【详解】因为点在平面内，所以，解得， 所以平面,由题意得平面的一个法向量为． 因为，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【知识点】判断线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，根据线面垂直的性质得出线线垂直，即通过证明平面证明即；对于B，根据线面平行的判定定理，通过证明线线平行得到线面平行，即证明得到平面；对于C，根据平面和平面各自的法向量垂直得到面面垂直；对于D，先找出平面和平面的法向量，然后根据法向量垂直即可得到面面垂直. 根据线面平行、面面垂直、线线垂直的判定定理进行判断即可. 【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线． 连接，易知，，且平面，故平面 因为平面，所以，即，故A正确； 对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：易知平面即为平面， 因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而不与垂直，所以平面不与平面垂直， 即平面不与平面垂直，故C错误； 对于D：易知平面即为平面，平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而，所以平面平面 ，故D正确． 故选：ABD.    10. 已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．棱锥的体积为 D．与平面所成角的正切值为 【答案】BC 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】建系，结合向量的平行垂直可判断AB，由体积公式可判断C，由线面夹角的向量法可判断D. 【详解】    如图建系，， 则，显然不平行，即错误，故A错误； ，则， 即，故B正确； ，故C正确， 易知平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 所以， 所以， 所以，故D错误， 故选：BC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（    ）    A．点的轨迹长度大小为 B．三棱锥的体积随着的位置变化而变化 C．当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为 D．为直线上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【知识点】异面直线距离的向量求法、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】建立空间直角坐标系，利用两直线垂直的坐标表示求得动点轨迹，进而求得长度；根据三棱锥的体积计算判断；根据异面直线所成角的余弦值计算判断；利用公垂线计算得到线段的最小值； 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A，设，， 因为，所以，即， 因此点的轨迹为正方形内满足的线段，即线段， 长度大小为，A正确； 对于B，因为平面，平面， 所以平面，且到平面的距离固定，设为， 由上分析可知点在线段上运动时，到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为，为定值，B错误； 对于C，设，，， 设异面直线与所成角的余弦值为 ， 令， ， 所以在上单调递减，最大值，最小值， 当，异面直线与所成角的余弦值最大，异面直线与所成角最小， 则，即当点位于点时，， 异面直线与所成角最小为，C正确； 对于D，为直线上一点， 则的最小值为线段上的点到直线的距离的最小值， 即异面直线与之间的距离， ， 设公垂向量为，则， 解得，则， 计算异面直线距离，则的最小值为，D正确. 故选：ACD.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 13. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 .    【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量以及点到面的距离公式求解. 【详解】如图，以D为坐标原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系， 设正方体的棱长为4，则，，，    ∴，，， 设平面BGF的法向量为，则，令，则， ∴，则点到平面BGF的距离. 故答案为： . 14. 正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法、锥体体积的有关计算 【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出分别与直线所成角的正切值之和的表达式，从而得到点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点到平面的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可. 【详解】在正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 整理可得点到点和点的距离之和为， 所以点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线， 则点到平面的距离的最大值为1，此时点在中点的正上方； 最小值为时，点在点或者点的正上方， 所以四棱锥的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即， 结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，E、F分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，通过作辅助线，说明线线平行，进而说明线面平行即可. （2）根据面面夹角余弦值的向量方法，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面法向量，进而求出结果. 【详解】（1）如下图所示，作中点，连接， 因为分别为的中点，所以在中，且， 因为是中点，四边形为正方形，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为面，面，所以面. （2）如下图所示，作中点，连接， 因为是正三角形，所以， 因为面面，平面，平面平面， 所以面， 因为分别为的中点，四边形为正方形，所以， 则两两相互垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由正方形边长为，是正三角形，所以， 可得， 所以， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 即，所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 如图①所示，四边形是直角梯形、，，且，为线段的中点，现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接，其中为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若，，则在线段（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）通过线面垂直可证面，再由线面垂直的性质定理可得再通过线面垂直的判定定理证明即可. （2）由条件可得，为等边三角形，再由第一问的结论可建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线面角的正弦值，解方程求出的比值即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，所以，，， 又因为，为线段的中点，所以， 所以四边形为正方形，由翻折可知，，， 又因为，面， 所以面，因为面，所以， 因为四边形为正方形，所以，所以， 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）因为，，所以为等边三角形， 又因为，所以，. 如图，取中点，连接，    又因为为等边三角形，所以，过点作， 由（1）可得， 面，又因为面，所以， 所以，而，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以，所以，，，，， 设，因为，，三点共线， 所以，所以，， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，所以，，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得或（舍），所以， 所以存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点. 17. 在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，是的中点，点分别在线段与上（不含端点），且． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角大小． (3)若平面，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、证明线面平行、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）点在线段上，平面即为平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求出答案； （3）求出点的坐标从而求得，再求出平面的法向量，根据平面求得，代入利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以且，又且，则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为点在线段上，则平面即为平面， 因为平面，，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，则， 设平面的法向量为， 则，令，则，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以， 所以平面与平面的夹角为，即平面与平面的夹角大小为. （3）设点，则，， 由得，则， 则，同理，由可得， 则， 设平面的法向量， 因为，， 所以，令，则，，则， 由平面得， 化简可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)点是线段靠近的三等分点. 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解； （3）通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【详解】（1）在长方形中，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面， 所以. （2）过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即，解得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 故有， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）， 则 由点是线段上的一动点， 设， 则， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 两边平方得，整理得， 解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，. (1)证明：； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若二面角的正切值为，平面分别与侧棱交于点，且，求面与面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设P点坐标，结合直线与直线所成角的余弦值可求出P点坐标，进而利用线面角的向量求法，即可求得答案； （3）设P点坐标，结合二面角的正切值为可求出P点坐标，根据点共面，以及所给向量关系，可求出点，最后利用二面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）连接交于O，因为为菱形，故； 又因为，O为的中点，故， 平面，故平面， 而平面，故. （2）以O为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 结合（1）可设，因为，所以，即， 而，故， 解得，因为，则，故，故， 则， 设平面的法向量为，则， 则，令，则，则， 又，则， 即直线与平面所成角的余弦值为. （3）由二面角的正切值为可得其余弦值为， 设，则， 设平面法向量， 则，即， 令，则，， 取平面法向量， 则 结合，解得或（由舍去0），则， 则， 由于，则， 由于，则， 设，代入可得， 即， 由于点共面，则，解得， 故， ， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，， ， 面与面所成夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $