空间向量与立体几何：立体几何中的最值与范围问题、立体几何中的轨迹与截面问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：立体几何中的最值与范围问题、立体几何中的轨迹与截面问题专项训练 空间向量与立体几何：立体几何中的最值与范围问题、立体几何中的轨迹与截面问题专项训练 考点目录 立体几何中的最值与范围问题 立体几何中的轨迹与截面问题 考点一 立体几何中的最值与范围问题 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． (1)证明：； (2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； (3)若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 例2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在四面体中，，，且分别是的中点. (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若平面平面， 求与平面的夹角的余弦值； (3)若，平面内一点满足，求的取值范围. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 例4．（25-26高二上·江西·月考）如图，在四面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点. (1)证明：. (2)已知为内部或边界上的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在如图所示的平行六面体中，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)若动点满足，求直线与平面所成角正弦值的取值范围． 变式2．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足． (1)证明：平面； (2)若，求的值； (3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围． 变式3．（25-26高二上·江西抚州·期末）如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面． (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点），求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 变式4．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 考点二 立体几何中的轨迹与截面问题 例1．（25-26高二上·山东东营·期末·多选）棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为平面上的动点，为平面上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面截正方体表面所得截面为五边形 B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若直线与直线所成角为，则点的轨迹长度为 D．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线 例2．（25-26高二上·河北保定·期中·多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（   ） A．过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥体积的最大值为1 D．若P到棱CD，的距离相等，则点P的轨迹是双曲线 例3．（2026·湖北·模拟预测·多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（   ） A．若平面，则动点F的轨迹长度为 B．不存在动点F，使平面 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为 例4．（25-26高三上·山东滨州·期末·多选）已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点到点距离的最小值为 D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 例5．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心． (1)证明：平面． (2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度. 例6．（2025·广东·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 变式1．（25-26高一上·河北邯郸·期末·多选）已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，P为平面内一点，则以下叙述正确的是（    ） A．平面截正方体所得的截面图形是梯形 B．存在点P，使得⊥平面 C．若点P在棱上运动，则点P到直线的距离的最小值为 D．若点P到直线与到直线的距离相等，则点P的轨迹为双曲线 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末·多选）在长方体中，，为的中点，则下列结论正确的有（   ） A．记直线与直线，，所成的角分别为，，，则 B．过点，，的截面将长方体分成两部分的体积之比为 C．在平面上存在唯一的点使得 D．若动点在长方体的表面上且，则点的轨迹长度为 变式3．（2026·四川绵阳·模拟预测·多选）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 变式4．（25-26高二上·山东潍坊·月考·多选）在棱长为4的正方体中， 为和的交点， 点在线段上，，，分别为棱和的中点， 则下列选项正确的是（    ） A．若点是线段上一动点， 则直线平面 B．若点 为平面内一点，且满足，则的最小值为 C．若点是平面内一点， 且满足， 则点的轨迹是椭圆 D．过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 变式5．（25-26高三上·河南新乡·期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 变式6．（25-26高三上·河北张家口·期末）在空间直角坐标系中，三棱锥的顶点，顶点在平面内，侧面绕转动且与底面形成的二面角为，在转动过程中满足：①；②；③． (1)点和点纵坐标是否相等？证明你的结论； (2)当侧面所在平面为平面时， （i）求动点在平面内的轨迹方程和点在平面内的轨迹方程； （ii）求三棱锥的体积的最大值； (3)当，且时，求三棱锥外接球的表面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：立体几何中的最值与范围问题、立体几何中的轨迹与截面问题专项训练 空间向量与立体几何：立体几何中的最值与范围问题、立体几何中的轨迹与截面问题专项训练 考点目录 立体几何中的最值与范围问题 立体几何中的轨迹与截面问题 考点一 立体几何中的最值与范围问题 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． (1)证明：； (2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； (3)若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），点为的中点， ， 又，， ， 、为等腰直角三角形， 由题意，可知， 如图， 取PE中点H，连接， ,， 平面，平面，， 平面， 平面， . （2）设与的交点为， ∵平面，平面平面， 平面， ， 点为的中点， 为的中点， 平面，平面， ， 又，， ， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，，， ， ， ， 得， 同理：可得， 不妨设，，其中，， 过，从而， 由，， 得，则， 设平面与平面的法向量分别为，， ，即， 可得， 同理可得：， ， 且易知，满足θ为钝角， 而，当且仅当，时取等号， 故， 二面角的平面角的余弦值的最大值为. （3）如图， 且， , 平面，平面， , 平面，平面， ， 由（2）知，， 关于平面对称， 设，则，其中且， 设的外心为，显然应在轴上， 设， ， 故有，整理得：， 同时在平面的垂直平分线恰为， 因此球心即为，过点且垂直于平面的直线与的交点， 故， 令，则且，代入及表达式， 得， 因此，令， 故，且， 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于有3个不同的解，即有3个不同的解， ①当时，关于的方程， 在区间上有唯一解， 此时关于v的方程仅在区间有一解，不满足题意； ②当时， 关于的方程恰有两解，， 方程在区间有1解，有唯一解， 故共有2组解，不满足题意； ③当时， 关于的方程在，分别有一解， 此时关于v的方程在区间有一解，在有2解， 共3解，符合题意， 因此，即， 综上所述，该球半径的取值范围是； 解法二：令，则且， 代入的表达式为：， 则，结合，后同解法一的讨论． 方法二：（3），且， 故， 平面，平面， ， 平面， 平面， ， 由（2）知，， 关于平面对称， 设，则，其中且， 设球心，则， 化简整理得：，且，故， 下同方法一. 例2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在四面体中，，，且分别是的中点. (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若平面平面， 求与平面的夹角的余弦值； (3)若，平面内一点满足，求的取值范围. 【答案】(1)矩形，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）四边形是矩形，理由如下： 取的中点，连接，由知，， 又平面，故平面，又平面，因此. 分别是的中点，则，则四边形是平行四边形. 又，，则，故四边形是矩形. （2）平面平面，平面平面， 又平面，则平面，又， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 不妨设，依题意，，，. ， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设与平面的夹角为， 则 因，则. 故与平面夹角的余弦值为. （3），且，， 即得， 故为棱长为的正四面体， 取的中点分别为，连接，设， 连接，则平面，易得，， 则，， 在中，， 以点为坐标原点，所在直线为轴，在平面内与垂直的直线为轴， 如图3建立空间直角坐标系. ， 设，则，， 由，得，即， 整理得， 故点的轨迹为平面内以为圆心，半径的圆. 记.由几何关系知当且仅当共线时，取得最值. . 故. 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，、分别是线段的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，， 所以四边形为菱形，故， 因为、分别是线段、的中点，所以，则，         因为，、平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以为等边三角形， 因为是线段的中点，故， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 设， ，， 由（1）知，平面，故平面的一个法向量为，     设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 令，因为，所以， 则， 因为，所以，所以， 则， 故， 即平面与平面夹角的余弦值取值范围为． 例4．（25-26高二上·江西·月考）如图，在四面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点. (1)证明：. (2)已知为内部或边界上的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ， 又平面⊥平面，平面平面，平面， 平面. 又平面，. （2），由（1)知，， 以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如 图所示. 则，设， 则 设平面的法向量为， 由，得，令，则， 设平面的法向量为， 由，得，令，则 平面，平面， ，即，得， 又，得， 又，且平面， 平面，是平面的一个法向量， 则， 令， . 即的取值范围为. 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在如图所示的平行六面体中，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)若动点满足，求直线与平面所成角正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，，， 设为平面的一个法向量， 则，所以， 所以，令，则， 故为平面的一个法向量； （2）， ， 点到平面的距离为； （3）. · 由（2）可知，， 则. ， 设直线与平面所成角为，则 . 令， 当时，，则； 当时， 则， 再令 则， 当，，故. 则. 综上所述，，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 变式2．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足． (1)证明：平面； (2)若，求的值； (3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析; (2) (3) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， （2）由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. （3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，解得， ∴AB的取值范围. 变式3．（25-26高二上·江西抚州·期末）如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面． (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点），求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是的中点，，所以. 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 设，所以， 设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得， 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为 变式4．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵、分别是，的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，，所以. 设平面的法向量为， 则，代入可得，化简可得 令，解得，. 所以. 平面的法向量为， 所以， 由图可知，为锐角，所以二面角余弦值为. （3）设（），，，，， 设二面角的法向量为 ， 则，代入可得， 同理得. 平面的法向量为 ，整理得：， 即， 解得，所以. 即的取值范围为. 考点二 立体几何中的轨迹与截面问题 例1．（25-26高二上·山东东营·期末·多选）棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为平面上的动点，为平面上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．平面截正方体表面所得截面为五边形 B．平面与平面所成角的余弦值为 C．若直线与直线所成角为，则点的轨迹长度为 D．若直线与直线所成角为，则点的轨迹为抛物线 【答案】BCD 【详解】对于A，因M，N，P分别为棱，，的中点，而点同在平面和平面上， 点同在平面和平面上，点同在平面和平面上， 故平面PMN截正方体所得截面为六边形，可作图如下： 其中点分别是边的中点，分别连接，易证，，， 故得，同理可得，故平面PMN截正方体所得截面为六边形，故A错误； 对于B，如图建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，故可取. 又平面的一个法向量显然为， 设平面与平面夹角为， 则，故B正确； 对于C，由B可知平面的法向量为，，则， 故平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆， 由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体， 由对称性可得点到平面PMN的距离为， 所以该轨迹圆的半径为，所以Q点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，设，，则， 因为直线与直线所成角为， 所以，即，整理得，为抛物线方程，即点的轨迹为抛物线，D选项正确； 故选：BCD 例2．（25-26高二上·河北保定·期中·多选）已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（   ） A．过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥体积的最大值为1 D．若P到棱CD，的距离相等，则点P的轨迹是双曲线 【答案】ACD 【详解】如图所示，作出各棱中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知，，，且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确； 当点P在AB中点T处，由选项A可知，此时PM与直线QN为相交直线，所以B错误；    正方体棱长为2，则线段，则正六边形边长均为， 则，， 所以，所以为直角三角形，可得， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，， 设平面TRNMSQ的法向量为， 则取，则， 又，则点P到平面TRNMSQ的距离， 故当时，即P与点D重合时，距离最大为， 故体积的最大值为，所以C正确； 如图所示，过P作于G，过P作于E，作于F，连接PF， 以D为坐标原点，以DC，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 由于，，， 又，，平面，故平面PEF， 又平面，故， 设，则，， 当P到棱CD，距离相等时，即，，化简得，即点P的轨迹是双曲线，所以D正确. 故选：ACD. 例3．（2026·湖北·模拟预测·多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（   ） A．若平面，则动点F的轨迹长度为 B．不存在动点F，使平面 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为 【答案】ABC 【详解】对于选项A：如图，取的中点M，的中点， 连接，，，可得，， 且平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 且，平面，可得平面平面， 所以动点的轨迹为线段，其长度为，故A正确； 对于选项B：以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 若平面，则， 可得，解得，不合题意， 所以不存在动点F，使平面，故B正确； 对于选项C：因为点到直线的距离为， 则的面积为， 显然当F与D重合时三棱锥的体积最大，则， 点F到平面的距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，故C正确， 对于选项D：因为正方体外接球的球心为，半径， 则，则O到平面的距离为， 故球O被平面所截截面圆半径， 所以截面圆面积为，故D错误； 故选：ABC． 例4．（25-26高三上·山东滨州·期末·多选）已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点到点距离的最小值为 D．当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为平面平面，所以点到平面的距离恒等于， 故， 故A正确；    对于B，取的中点，易证， 所以四边形即为过点，，的平面截该正方体所得的截面， 四边形为等腰梯形， 过点作，垂足为， ，，，所以， 所以， 所以四边形的面积为， 故B错误；    对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 设，， 所以，， 由题意得，解得， 即，所以点位于靠近点的四等分点时，最小， 所以点到点距离的最小值为， 故C正确；    对于D， 因为平面平面， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 又因为平面， 所以直线与平面所成角即为，即， 在，因为，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆周， 所以点的轨迹长度为， 故D正确. 故选：ACD.    例5．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心． (1)证明：平面． (2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度. 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析；线段长度为 【详解】（1）如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，，， ，，， ，， 所以，，，平面， 所以平面 （2）由（1）可知平面，则是平面的一个法向量 所以平面的一个法向量为， 设，， 则点到平面的距离， 则，得或， 直线与侧面没有交点，故舍去， 所以， 如图，直线与棱交于，所以点的轨迹是线段 ,，. 例6．（2025·广东·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． (1)证明：平面平面； (2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为，连接， 因为点在底面的投影是的重心，则平面，， 因为为中点，为中点，则， 由题得，，，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 则，，设， 由，得， 整理得， 所以点轨迹表示球心在，半径的球面， 又是棱台表面上的点，所以点轨迹是球面与棱台表面的交线， 由题得，，则， 所以， 又，，则，，， 所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交， 因为 所以， ， ， 从而可得，，， 因此所求交线长度为． 变式1．（25-26高一上·河北邯郸·期末·多选）已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点，P为平面内一点，则以下叙述正确的是（    ） A．平面截正方体所得的截面图形是梯形 B．存在点P，使得⊥平面 C．若点P在棱上运动，则点P到直线的距离的最小值为 D．若点P到直线与到直线的距离相等，则点P的轨迹为双曲线 【答案】BCD 【详解】由图可知平面截正方体所得的截面图形是五边形，故A错误； 以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， ， 设， ， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，则，所以， 要使⊥平面， 等价于，则，得， 所以存在点，使⊥平面，故B正确； 点P在棱上运动，可设， 则，又， ∴在上的投影向量的长度为， ∴点P到直线的距离为， ∴当且仅当时，点P到直线的距离的最小值为，故C正确； 设，则P到直线的距离即为， P到直线的距离即为，则有， 整理可得为双曲线的方程，故D正确． 故选：BCD． 变式2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末·多选）在长方体中，，为的中点，则下列结论正确的有（   ） A．记直线与直线，，所成的角分别为，，，则 B．过点，，的截面将长方体分成两部分的体积之比为 C．在平面上存在唯一的点使得 D．若动点在长方体的表面上且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】对于A，由长方体的性质可得平面，平面，平面， 故 故，A错误； 对于B，取的中点，连接，，由于, 故四边形为平行四边形，则过B，E，的截面为， 由于长方体的中心在截面上，由长方体对称性知截面两侧的体积相等，B正确； 对于C，设线段的中点为，则, 由于，故，当且仅当是的中点时等号成立，C正确； 对于D，当时，点Q的轨迹是以A为球心的球面与长方体表面的交线，分别研究各个面可得4段圆弧， 面和面上均为半径为1，圆心角为的圆弧， 面和面.上均为半径为，圆心角为的圆弧， 所以点Q的轨迹长度为，D正确， 故选：BCD. 变式3．（2026·四川绵阳·模拟预测·多选）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当点为棱的中点时，直线与直线平行 C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】以正方体顶点为原点，建立如图空间直角坐标系，则. 则. 对于A，， 所以，故A正确. 对于B，若点为棱的中点，则，所以. 因为，所以不存在实数，使得，所以B错误. 对于C，因为，所以点在以点为球心的球面上. 又点是正方体侧面上的动点（含边界），所以点在侧面内运动轨迹是球的球面与侧面的交线. 因为侧面，且， 所以点在侧面内运动轨迹是以为圆心的圆与侧面内的交线，即圆心角为的圆弧，且半径为. 所以其路径长为.所以C正确. 对于D，易得正方体的内切球球心为正方体的中心，所以，半径为1. 所以，所以球心到直线的距离为， 所以球心到过直线的平面的最大距离为，此时截面圆的面积最小. 截面圆半径为，所以此时的截面圆面积为.所以D正确. 故选：ACD. 变式4．（25-26高二上·山东潍坊·月考·多选）在棱长为4的正方体中， 为和的交点， 点在线段上，，，分别为棱和的中点， 则下列选项正确的是（    ） A．若点是线段上一动点， 则直线平面 B．若点 为平面内一点，且满足，则的最小值为 C．若点是平面内一点， 且满足， 则点的轨迹是椭圆 D．过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 【答案】ABD 【详解】由正方体的性质可知，， 平面，平面，   平面，又，平面，平面， 平面，又，平面，平面， 平面平面，平面，平面，故A正确； 选项B：连接，交于点，连接， 平面，平面， 平面平面，交线为， 位于上，则的最小值为到直线的距离， 当时，取得最小值， 是直角三角形，， 即， 的最小值为，故B正确； 选项C：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， 设， 则，， 则， 又， 则，化简得，其中， 所以点的轨迹是抛物线的一部分，故C错误； 选项D：取的中点分别为，   平面，平面，， 是的中点，，又，， ，， ， 又，平面， 平面，又平面，， 同理可得， ，且平面， 平面， ，平面， 平面平面， 平面即为所求截面， ，， ，平面为等腰梯形，故D正确． 故选：ABD． 变式5．（25-26高三上·河南新乡·期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知为等边三角形， 因为底面，平面，故， 又平面平面，所以平面平面ADEF， 如图，过点作于点，所以平面 因为为等边三角形，所以，则点到平面的距离， 过点作于点，所以， 所以． （2）取靠近点的三等分点，连接， 因为，且，则，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 由题意知在线段上时，平面． 所以点的轨迹长度为． 变式6．（25-26高三上·河北张家口·期末）在空间直角坐标系中，三棱锥的顶点，顶点在平面内，侧面绕转动且与底面形成的二面角为，在转动过程中满足：①；②；③． (1)点和点纵坐标是否相等？证明你的结论； (2)当侧面所在平面为平面时， （i）求动点在平面内的轨迹方程和点在平面内的轨迹方程； （ii）求三棱锥的体积的最大值； (3)当，且时，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)相等，证明见解析 (2)（i）（或）； .（或）；（ii） (3) 【详解】（1）设，顶点， 则． 因为，则，即，因此点和点的纵坐标相等. （2）（i）点，点在平面内，且不在直线上． 因为， 所以点在以为焦点，实轴长为的双曲线上（不含实轴端点）， 故其在平面内方程为或. 点，点在平面内，且不在直线上． 因为， 所以点在以为焦点，长轴长为的椭圆上（不含长轴端点）， 故其在平面内方程为． 综上可得，动点在平面内的轨迹方程为（或）， 点在平面内的轨迹方程为.（或）； （ii）平面所在平面为平面时，点在以为焦点的等轴双曲线上； 当侧面所在平面为平面时，点在以为焦点的椭圆上； 注意到，只能是（设为，则）， 此时三棱锥的高，点到的距离， 则， 整理可得，当时取得最大值. （3）因为，，，所以平面， 所以，所以. 又平面,所以平面平面. 在中，，可得, 同理在中，，可得， 所以是等边三角形， 所以外接圆的圆心为的中心，故半径.    设三棱锥外接球的球心为，取的中点，则为的外心， 所以平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，等于长的一半，所以， 故外接球的半径满足， 则外接球的表面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $