27.2.2相似三角形的性质 过关练 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级下册

27.2.2相似三角形的性质 一、单选题 1．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知△ABC∽△DEF，如果∠A=55º，∠B=100º，则∠F=（    ） A．55º B．100º C．25º D．30º 3．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，点E，F分别在边AC，BC上，EF∥AB．若CE＝2AE，AB＝4，则EF的长为（　　） A． B．1 C．2 D． 5．如图，AC、BD交于点E，若//CD，，，则△ADE的面积的值是（    ） A．5 B．3 C．2.5 D．1.5 6．如图，在中，，，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 7．如图，，，，，，，，则的度数为(    ) A． B． C． D．无法确定 8．如图，是菱形的对角线，，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE，若AB=1，AD= ，则AE=                                             （ ） A． B． C． D．2 10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　） A． B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知，，，则的周长之比为 ． 12．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为 ．    13．如图，四边形ABCD．连接AC、BD，，，，若，若，则CD的长为 ． 14．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=3，BE=5，则长AD与宽AB的比值是 . 15．如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧交、于、两点，分别以、为圆心大于的长度为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，则 ． 16．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，AD＝9，DG＝ ． 三、解答题 17．操作：小英准备制作一个表面积为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：    说明： 方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点． 纸片利用率 发现：（1）小英发现方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小英的这个发现是否正确，请说明理由． （2）小英通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．（结果精确到） 探究：（3）小英感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．（结果精确到） 说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点． 18．在中，，是边的中点，以为角的顶点作． (1)当射线经过点，交边于点，如图1，不添加辅助线，直接写出图中所有与相似的三角形（不需要证明）； (2)将绕点D沿逆时针方向旋转，分别交线段于点E、F（点E与点A不重合，如图2）． ①求证：；②与是否相似？并证明你的结论．    19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与坐标轴分别交于点，． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）若为直线在第一象限上一点，连接，． ①当时，是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标； ②当时，是否仍然存在是以为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点的坐标；如果不存在，说明理由； ③当是以为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线上方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)动点P运动到什么位置时，的面积最大，求此时P点坐标及面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，正方形的边长为4，点在边上，，连接交于点，过点作，交于点． (1)求的长； (2)求的长． 22．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)若，，求线段的长度． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A C B B C C B 1．A 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解． 解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2， ∴， 解得BC：EF=1：， ∵BC=1， ∴EF=． 故选A． 2．C ∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，已知∠A=55°，∠B=100°， ∴∠C=∠F=180°-∠A-∠B=180°-55°-100°=25°．故选C. 3．A 根据相似三角形的性质判断即可． 解：∵，， ∴，A正确，符合题意； ∴，B错误，不符合题意； ∵和不是对应边， ∴不一定等于，C错误，不符合题意； ∴，D错误，不符合题意； 故选：A． 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4．A 证明△CEF∽△CAB，对应边成比例，进而可得EF的长． 解:∵EF∥AB，CE＝2AE， ∴△CEF∽△CAB， ∴＝＝， ∵AB＝4， ∴EF＝ ． 故选:A． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△CEF∽△CAB． 5．C 根据//CD，可得，根据相似三角形的性质求得，进而根据等高三角形的面积之比等于底边长之比即可求解 解：∵//CD， ∴， ， ， ， ， ：， ， 故选C． 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6．B 由题意易得△ABC∽△DAC，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即， ∴， ∴； 故选B． 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．B 利用三边成比例可判定△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质即得答案. 解：∵，，， ∴， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠CAE=∠BAD=. 故选B. 本题考查了相似三角形的判定和性质，难度不大，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键. 8．C 本题考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由四边形是菱形，可得，，则可证得，，然后由相似三角形的对应边成比例，易求得，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得答案． 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．C 在直角△ABC中，BC=AD=，AB=1 ∴AC=2 ∴OA=OC=1 ∵∠EOC=∠ABC=90°，∠OCE=∠BCA ∴△COE∽△CBA ∴ ∴OE= 在直角△OAE中，AE= 故选C． 10．B 先证明△ACB∽△AED，再根据相似三角形性质得到，进而求解． ∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处， ∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E， ∴DE∥BC ∴△ACB∽△AED， 又A′为CE的中点， ∴AE=A'E=A'C=AC， ∴， 即 ∴ED=2 点评：本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比 11．4∶3 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解． 解：∵，，， ∴； 故答案为：4∶3． 本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 12．/ 本题考查了相似三角形的判定及性质、尺规作图——平行线，根据平行线的作法得，进而可得，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 解：与四边形的面积比为， ， 依题意得：， ， ， 则的值为， 故答案为：． 13． 过点A作AE⊥BD于点E，AC、BD交于点F，从而证明，得出，根据等腰三角形的性质和，得出，即可得出，证明，根据，得出，设，则，根据勾股定理算出AE=3a，根据平行线分线段成比例定理，得出，求出，，根据勾股定理列出关于a的方程，解方程即可得出a的值，最后求出CD即可． 解：过点A作AE⊥BD于点E，AC、BD交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ，， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， 设，则，   则， ， ， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，作出辅助线，根据角度之间的关系，得出AB=BC，是解题的关键． 14．5：4 根据勾股定理求出AF==4，根据相似三角形的判定定理得到△EAF∽△FDC，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可． ∵AE=3，BE=5， ∴AB=AE+BE=8， 由折叠的性质可知，EF=BE=5， 由勾股定理得，AF==4， ∵∠EFC=∠B=90°， ∴△EAF∽△FDC， ∴，即， 解得，DF=6， ∴AD=AF+FD=10， ∴AD：AB=10：8=5：4， 故答案为5：4． 本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 15． 先证明△ABC∽△BDC，由相似三角形的性质可得，进而化简得，设，代入进行求解即可得答案． 由作图知，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=， ∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°， ∴∠C=∠BDC， ∴AD=BD，BD=BC， ∴AD=BD=BC， ∵∠A=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， 又∵AC=AD+CD，AD=BC， ∴， 即， 设，则有， 解得：，， 经检验，均为方程的解，但是，即x>0， ∴， 即， 故答案为：． 本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．3 直接根据三角形的重心可进行求解． 解：∵点G是△ABC的重心， ∴， ∴， ∵AD＝9， ∴； 故答案为3． 本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键． 17．（1）小英的这个发现正确，理由见解析； （2）；（3）． 此题考查了圆周角的定理，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题时要注意数形结合思想的应用． （1）求得棱长是1，利用勾股定理可求出线段、、的长，然后利用勾股定理的逆定理可判断，由圆周角定理的推论可得出为该圆的直径； （2）用字母表示出各点，然后利用三角形全等和相似求出各边长，从而计算出的面积可求； （3）计算出直角三角形制片的面积，然后利用公式计算即可. 解：（1）小英的这个发现正确． 理由：如图：连接、、，    ∵，， ∴， ∴， ∴为该圆的直径； （2）解：如图：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴该方案纸片利用率； （3）解：如图，过点C作于D，过点G作，交于点H， 设，    ∵， ∴，又是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 则，， ∴， ∵， 解得：， ∴，， ∴， ， ∴该方案纸片利用率． 18．(1)、、； (2)①见解析；②． 本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可； （2）①根据三角形的外角可以得到．再根据，即可得到； ②由结合等量代换，推出，可证明． （1）解：∵，． ∴， 又∵，是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：、、； （2）证明：①∵是的一个外角， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴； ②， 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 19．（1），；（2）①M；②不存在，见解析；③ （1）由x=0时,y=4，可求B（0，4），由y=0时，解得，可求A（2，0）； （2）①由，，得．由勾股定理求，由是以为底的等腰直角三角形， 可求．由点为直线在第一象限上一点，．过点分别向轴，轴作垂线段，，有，可证△BMD≌△AMC（ASA），妨设点的坐标为，利用DB=AC可得，可求． ②不存在．由，设M点的横坐标为x，则M点的纵坐标为mx，可得tan∠MOC=，可证△BMD∽△AMC，可得，可得BM≠AM即可； ③取AB的中点E，过E作AB的垂线，交x轴与F，与直线交于M，则△ABM为等腰三角形，设E（x,y）可求E（1,2），过点E时，可得 m=2，证△FAE∽△BAO，求得AF=5，求得F（-3，0）设EF解析式为：，可求直线FE：，当与EF平行是两直线没有交点，即m=，结合图形得时，是以为底的等腰三角形． 解：（1）一次函数图象与坐标轴分别交于点，， 当x=0时,y=4，B（0，4）， 当y=0时，解得，A（2，0）， 故答案为：，； （2）①由，，得， ， 是以为底的等腰直角三角形， ，， 即． 点为直线在第一象限上一点， 即， 过点分别向轴，轴作垂线段，， 则有． ∵，∠DMC=90°， ∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°， ∴∠BMD=∠AMC， ∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD≌△AMC（ASA）， ∴BD=AC， 不妨设点的坐标为， 则有． ． ， 解得．点的坐标为； ②不存在． ∵，设M点的横坐标为x，则M点的纵坐标为mx，tan∠MOC= ∴， ∵，∠DMC=90°， ∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°， ∴∠BMD=∠AMC， ∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD∽△AMC， ∴， ∴BM≠AM， ∴不存在是以为底的等腰直角三角形； ③取AB的中点E，过E作AB的垂线，交x轴与F，与直线交于M，则△ABM为等腰三角形， ∴B（0，4），A（2，0），设E（x,y）， ∴，， ∴点E坐标为E（1,2）， 过点E时，2=m， ∴m=2， ∵AB， ∴AE=， ∵∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BEO， ∴△FAE∽△BAO， ∴即， ∴AF=5， ∴FO=FA-OA=5-2=3， ∴F（-3，0）， 设EF解析式为：，过E、F两点， ， 解得， 直线FE：， 当与EF平行是两直线没有交点，即m=， 结合图形得时，是以为底的等腰三角形． 本题考查x，y轴上点的特征，勾股定理，三角形全等判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一次函数解析式求法，抓住BD=AC构造等式， EF与 直线交于E以及平行是解题关键． 20．(1) (2)当P点坐标为时，的最大面积为8； (3)存在，点的坐标为或或或． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线解析式，设，，利用三角形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． （1）解：∵，则设抛物线解析式为， 把A、B两点坐标代入可得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图， ∵，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴当P点坐标为时，的最大面积为8； （3）解：设， ∵， ∴分和两种情况， 当时， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为或； 当时， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是方程思想的应用． 21．(1) (2) 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例； （1）利用正方形性质，证明，可得，再根据平行线分线段成比例列式求出，即可求解． （2）根据平行线分线段成比例列式求解即可． （1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到； （3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度． （1）证明：四边形是矩形， ，， 延长到点，使， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：是矩形，且， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）解：四边形为平行四边形，，相交点， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $