6.1 平方根、立方根 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

第6章 实数 6.1 平方根、立方根 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 第6章 实数 6.1.1 第1课时 平方根 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 情景导入 情景导入 2020年12月17日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球.返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度v2的速度进入地球大气层的，v2满足以下关系式： (其中g取 9.8 m/s2，r取 6.4×106 m) 上式中的v2如何计算呢？ 获取新知 问题1 装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1 m2,如图，1块这种地砖的边长是多少? x 1 设一块正方形地砖的边长为 x m，根据题意， 这是已知一个数的平方，求这个数的问题. 知识点一：平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a , 那么这个数叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根. 如:由于102=100，(-10)2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）. 换句话说: 如果 ,那么x就叫做a的平方根. x2=a 概念认知 全品文教初中 Administrator (A) - 教学中应加强学生语言转换能力的培养，能将文字语言转化为数学语言. 问题2 如果一个数的平方等于16，这个数是多少？ 想一想：4和-4有什么特征？ 4和-4互为相反数,会不会是巧合呢？ 由于 ， 所以这个数是4或-4. (±4)2=16 知识点二：平方根的性质 4 9 ... ... 一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数 观察所填的数据,填一填： 1的平方根是 ；16的平方根是 ，... ; 的平方根是 . 你发现了什么？ a2 ±a a2 ±2 ±3 ±a 合作探究 ±1 Administrator (A) - 通过探究得出结论，加深理解和记忆，此处为易错点，不可省略探究过程，直接告诉学生结果 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -9有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 试一试 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的平方是负数？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 想一想 这样，正数a的平方根可以用“ ”来表示，其中a叫做被开方数. 例如，4的平方根是2与-2，即 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.为书写方便，对 正数a的平方根，我们有以下规定： a的负平方根 记作 读作“负根号a ” a的正平方根 读作“根号a” 记作 0的平方根是0, 即 =0. 负数没有平方根. 归纳总结 判断下列各数是否有平方根，为什么？ 25； ； 0.016 9； -64. 解：因为正数和零都有平方根，负数没有平方根， 所以25, , 0.016 9都有平方根；-64没有平方根. 练一练 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 平方运算 我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算. 知识点三：开平方的概念 x x2 获取新知 Administrator (A) - 这里既渗透了多对一与一对多的数学思想，也可以直观的使学生理解开平方与平方是互逆运算，当然也可以通过这种关系检验一个数是不是另一个数的平方根 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 ？运算 那么已知一个数的平方，求这个数的运算如何命名呢? x x2 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 特别规定： Administrator (A) - 在说明平方与开平方互为逆运算时，应强调一个正数的平方根有两个，要注意纠正“9的平方根是3”这种不严谨的说法. 例1 求下列各数的平方根： (1)1; (2)81; (3) (4) (-3)2. 解：(1)因为(±1)2 = 1, 所以1的平方根是±1,即 例题讲解 (2)因为(±9)2 = 81, 所以81的平方根是±9, 即 (4) 因为(±3)2 = 9, 所以9的平方根是±3, 也就是(-3)2的平方根是±3，即 （3）因为 ，所以 的平方根为 ; 即 ; 对于不同的数求平方根，应通过例题+练习让学生总结出方法，如何变形才能快速准确的求出，并且明确容易出现错误的地方 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数. Administrator (A) - 根号是求算术平方根的符号，而求平方根需要在根号前加±，这点要让学生充分理解 随堂演练 1. 9的平方根是(　　) A．3 B．±3 C．－3 D．9 B 2. 求下列各数的平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.25. 解：(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10； (2)因为 ，所以 的平方根是 (3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5. 课堂小结 平方根 正数的平方根 负数的平方根 0的平方根 正平方根 → → （没有） （就是0本身） 负平方根 第6章 实数 6.1.1 第2课时 算术平方根 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 2.平方根有哪些性质呢？ 答：一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0, 即 =0；负数没有平方根. 1.什么叫平方根？ 如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根,表示为 . 知识回顾 填一填 正方形的面积 1 9 16 36 0.25 1 3 4 6 0.5 边长 已知正方形的面积，求出其边长： 获取新知 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”． 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 ． 概念认知 Administrator (A) - 要关注算术平方根与平方根的区别与联系 算术平方根具有双重非负性 a的算术平方根 非负数 非负数 算术平方根的性质 双重非负性是对算术平方根的一个归纳，应让学生充分理解其含义和原理，根据学生的情况进行相应的练习 试一试：你能根据等式 122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 144的算术平方根是12，即 ＝12 温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值． 解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30， 即 ; (2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即 ； 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 非平方数的算术平方根只能用根号表示. (3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ; (4)14的算术平方根是 . 例题讲解 例2 用计算器求下列各式的值：(精确到0.01)． (1) (2) (3) (4) 解：(1)依次按键 ， 显示：1.414213562, 精确到0.01，得 (2) (3) (4)在计算器上依次键入： 即可得 ≈0.85. ( = 5 ÷ 7 ) 2 = 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值. Administrator (A) - 它表示算术平方根的相反数. Administrator (A) - 教学中，鼓励学生自己探索并掌握计算器的用法，这有助于学生自己探索更多数学知识而不是局限于课本知识 本章引言中提到的速度v2是第二宇宙速度， 其中g取9.8m/s2 ,r取6.4×106m，用计算器可求得 Administrator (A) - 这里用计算器求算术平方根的知识解答了引言中的问题，做到前后呼应. 例3 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作。如果不考虑空气阻力等其他因素的影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式： 其中h的单位是m，时间t的单位是s，g=9.8m/s.假设跳板离水面的高度是3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落，那么运动员下落到水面约需要多长时间？（精确到0.01s） 解：设运动员下落到水面约需要t s， 根据题意，得 因而运动员下落到水面约需要0.93 s. 1.填空题： ①若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； ② 3的算术平方根是 ； ③ 的算术平方根是 ． 49 随堂演练 2. (1)算术平方根等于它本身的数是______； (2)_____的算术平方根等于它的相反数． 0和1 0 3.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) ； (3) 0.0025. (2)因为 ,所以 的算术平方根是 ， 即 (3)因为0.052 =0.0025,所以0.0025的算术平方根 是0.05，即 解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13， 即 解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得 故每块地板砖的边长是0.5 m. 4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，正好铺完一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 课堂小结 算术平方根 算术平方根的概念 算术平方根的应用 算术平方根的双重非负性 如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a， 则 就是正数x的算术平方根 第6章 实数 6.1.2 立方根 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 2.平方根有什么性质？ 1.什么是平方根？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做a的二次方根) . 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 问题：要做一个体积为64cm3的正方体木箱（如图），它的棱长是多少？你是怎么知道的？ 解：设正方体的棱长为x cm, 则 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 所以 x=4. 正方体的棱长为4 cm. 想一想 : (1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为60 cm3，正方体的边长又该是多少？ -2 获取新知 Administrator (A) - 第2问回答不出也没有关系，可以带着疑问引出立方根的概念. 立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 　　，读作“三次根号a”. 如：x3=7时，x是7的立方根，记作 ，读作“三次根号7” ． 立方根的表示 一个数a的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 对比而言，开平方的根指数2通常省略 全品文教初中 Administrator (A) - 教师要明确立方根的根指数必须写出，平方根的根指数一般省略不写. 问题： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 1. 因为23=8 ，所以8的立方根是 （ ）； 2. 因为(0.5)3=0.125 ，所以0.125的立方根是（ ）； 3. 因为(0)3=0 ，所以0的立方根是（ ）； 4. 因为(-2)3=-8 ，所以-8的立方根是（ ）； 5. 因为(-0.5)3=-0.125 ，所以-0.125的立方根是（ ）. 2 0.5 0 -2 -0.5 立方根的性质 正数的立方根是一个正数， 负数的立方根是一个负数， 0的立方根是0. 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0; 算术平方根是它本身的数有0，1 归纳总结 全品初中 Administrator (A) - 对于立方根性质的学习着重与平方根进行区别联系，这里可以通过回忆带学生总结平方根，立方根，算术平方根等于他本身的数有哪些，进一步加深理解各自的性质 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 ± 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 我们可以根据这种关系求一个数的立方根. +2 - 2 +5 - 5 8 -8 125 -125 立 方 开立方 例题讲解 例1 求下列各数的立方根： (1) 27； (2) -64 ； (3) 0. 解:(1)因为33= 27,所以27的立方根是3,即 (2)因为(-4)3= -64 , 所以-64的立方根是-4, 即 (3)因为03=0,所以0的立方根是0, 即 初学可以利用立方与开立方互逆的关系求一个数 的立方根，熟练之后可以适当的省略 Administrator (A) - 教学时为了展示立方根与开立方互为逆运算的关系，所以才用了语言叙述和符号表示互相补充的说法，等学生熟练掌握之后可以简化书写过程. 例2 求下列各式的值: (2) 例3 用计算器求下列各数的立方根（精确到0.01 ）： (1)2; (2) 7.797; (3)-17.456; (4) . 解：(1)依次按键： 显示：1.25992105，精确到0.01， 得 SHIFT 2 = (2)依次按键： 显示：1.9829381946 ，精确到0.01， 得 SHIFT 7.797 = 请同学们自己解决(3)和(4)吧 全品文教初中 随堂演练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 负数没有立方根 B. -9的立方根是 C. =3 D. 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数 B 2．若一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的边长变为原来的______倍． 3 3.求下列各式的值: 解 : （1） （2） （3） 4.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解:因为600+129=729， 729的立方根是9， 所以正方体的棱长为9 cm. 课堂小结 性质 定义 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， 0的立方根是0 用计算器计算 立方根 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根 $