2026年江苏省泰州市中考数学模拟试卷

江苏省泰州市2026年中考数学模拟试卷 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（　　） A．B． C． D． 3．能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．直方图 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠ACB＝65°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，则∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，若AB∥CD，则下列结论不一定正确的是（　　） A．S2＝S4 B．S1+S3＝S2+S4 C．S1：S2＝S4：S3 D． 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 7．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 8．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 　 　 ． 9．因式分解：3a2﹣18a+27＝　 　 ． 10．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积是　 　 （用含π的式子表示）． 11．一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝　 　 ． 12．命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是 　 　 命题（填“真”或“假”）． 13．已知A（3，y1），B（4，y2）是直线y＝（k﹣2）x+b上的两点，若y1＜y2，则k的取值范围是　 　 ． 14．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C．若∠P＝42°，则∠A＝　 　 °． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点（记为A′）处．若AB＝8，BC＝12，则AD的长为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，∠BAO＝30°，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，当点A的对应点A′落在函数的图象上时，设点B的对应点B′的坐标是（m，n），则m+n＝ 　 　 ． 三．解答题（共10小题，共102分） 17．（1）计算：． （2）化简：． 18．解不等式组，并写出它的所有整数解． 19．寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 0＜t≤0.5 5 B 0.5＜t≤1 12 C 1＜t≤1.5 m D 1.5＜t≤2 15 E t＞2 8 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　 　 ； （2）A组数据的众数是 　 　 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 　 　 ； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数． 20．某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A、讲一讲革命故事，B、说一说家乡变化，C、写一写美好愿望，D、画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A、讲一讲革命故事”的概率是 　 　 ； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 21．为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 22．如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形． （2）如图②．连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长． 23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 24．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足R＝R1+R2；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． （1）如图③，已知R1＝12Ω，R3＝4Ω，总电阻为12Ω，求R2的值； （2）如图④，已知R0为定值电阻，现有两个电阻R1和R2（R1＜R2），请问如何摆放R1和R2的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线BD的对称点E． （1）小明给出了下面框图中的作法： 请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由； （2）当点E在边AB上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接DE，并求出DE的长； （3）连接AE，CE，当△ACE为直角三角形时，求∠BCE的正切值． 26．在二次函数y＝x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（p，﹣p）在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足a≤p≤b． （1）求p的值； （2）记a≤x≤b时，二次函数y＝x2的最大值为y1，最小值为y2．若b﹣a＝3，求y1﹣y2的取值范围； （3）连接PA，PB，AB．当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH是否存在最大值？若存在，求PH的最大值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C B C B 1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三棱柱的展开图的特点作答． 【解答】解：A、是三棱柱的平面展开图； B、是三棱锥的展开图，故不是； C、是四棱锥的展开图，故不是； D、两底在同一侧，也不符合题意． 故选：A． 3．能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．直方图 【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可． 【解答】解：能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制折线统计图． 故选：C． 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠ACB＝65°，则∠BAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据圆周角定理求得∠ACD＝90°，得到∠BCD＝25°，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，∠ACB＝65°，如图，连接CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD＝25°， 故选：B． 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，则∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°，求出∠PFO＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形的外角性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵光线平行于主光轴， ∴∠1+∠PFO＝180°， ∵∠1＝155°， ∴∠PFO＝25°， ∵∠POF＝∠2＝30°， ∴∠3＝∠POF+∠PFO＝55°． 故选：C． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，若AB∥CD，则下列结论不一定正确的是（　　） A．S2＝S4 B．S1+S3＝S2+S4 C．S1：S2＝S4：S3 D． 【分析】首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到，，进而可判断B和C；将S4＝S2代入即可判断D． 【解答】解：由条件可知S△ABD＝S△ABC（同底等高的两个三角形面积相等）， ∴S△ABD﹣S1＝S△ABC﹣S1， ∴S4＝S2，故A正确，不符合题意； ∵点A，O，C共线， ∴点B到OA的距离等于点B到OC的距离， ∴，即， 同理可得，，即， ∴， ∵OA和OC不一定相等， ∴S1+S3和S2+S4不一定相等，故B错误，符合题意； ∴，故C正确，不符合题意； ∴S2S4＝S1S3， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共10小题） 7．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 8．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为 　7×10﹣9　 ． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9． 故答案为：7×10﹣9． 9．因式分解：3a2﹣18a+27＝　3（a﹣3）2　 ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：3a2﹣18a+27＝3（a2﹣6a+9）＝3（a﹣3）2． 故答案为：3（a﹣3）2． 10．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积是　8π　 （用含π的式子表示）． 【分析】根据题意确定出圆锥的底面直径与母线，进而确定出侧面展开图面积即可． 【解答】解：根据题意得：圆锥的底面直径为4，母线长为4， 则该圆锥侧面展开图的面积是4π×4＝8π． 故答案为：8π． 11．一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝　1　 ． 【分析】根据必然事件的特点，即可解答． 【解答】解：一个不透明袋子里装有3个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出2个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则n＝1， 故答案为：1． 12．命题“如果a2＞b2，那么a＞b”是 　假　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】举个反例，得出它是错误的即可． 【解答】解：假设a＝﹣3，b＝2，则满足a2＞b2， 但a＜b， 因此，这个命题是假命题． 故答案为：假． 13．已知A（3，y1），B（4，y2）是直线y＝（k﹣2）x+b上的两点，若y1＜y2，则k的取值范围是　k＞2　 ． 【分析】根据一次函数性质列出关于k的不等式即可解得答案． 【解答】解：∵3＜4，y1＜y2， ∴y＝（k﹣2）x+b中，y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2； 故答案为：k＞2． 14．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C．若∠P＝42°，则∠A＝　24　 °． 【分析】连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠POC＝90°，再利用互余计算出∠POC＝90°﹣42°＝48°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：连接OC，如图， 由题意可得：OC⊥PC， ∴∠POC＝90°， ∵∠P＝42°， ∴∠POC＝48°， ∴． 故答案为：24． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点（记为A′）处．若AB＝8，BC＝12，则AD的长为 　4.5　 ． 【分析】连接AA′交DE于点F，通过直角三角形的性质得AA′＝A′B＝6，结合折叠的性质证得△ADA′∽△AA′B，可得，即可求解． 【解答】解：将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC边的中点（记为A′）处，AB＝8，BC＝12，如图，连接AA′交DE于点F， ∴， ∵∠A＝90°， ∴AA′＝A′B＝6， ∴∠B＝∠BAA′， 由折叠的性质得：AD＝A′D， ∴∠BAA′＝∠DA′A， ∴∠B＝∠DA′A， ∴△ADA′∽△AA′B， ∴， ∴． 故答案为：4.5． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，3），点B在x轴正半轴上，∠BAO＝30°，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转，当点A的对应点A′落在函数的图象上时，设点B的对应点B′的坐标是（m，n），则m+n＝ 　　 ． 【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B′作B′D⊥x轴于D，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明△A′CO∽△ODB′得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝1，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：过A′作A′C⊥x轴于C，过B′作B′D⊥x轴于D，则∠A′CO＝∠ODB′＝90°， 由条件可知OA＝3， 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，则， 由旋转性质得，点B′在第一象限中， ∴∠A′OC+∠B′OD＝90°，又∠A′OC+∠OA′C＝90°， ∴∠OA′C＝∠B′OD， ∴△A′CO∽△ODB′， ∴， ∵B′的坐标是（m，n），且在第一象限， ∴OD＝m，B′D＝n， ∴， ∵A′在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴mn＝1， ∵， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝3+2×1＝5， ∴（负舍）， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 17．（1）计算：． （2）化简：． 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数值，再计算加减即可； （2）先计算括号里，再将除法转化为乘法进行分式的约分即可． 【解答】解：（1） ＝1+3﹣1 ＝3； （2） ＝x+2． 18．解不等式组，并写出它的所有整数解． 【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其所有整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：x≤3， ∴该不等式组的解集为﹣1＜x≤3， ∴该不等式组的整数解为0，1，2，3． 19．寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组观看视频课时长频数分布表 组别 频数 A 0＜t≤0.5 5 B 0.5＜t≤1 12 C 1＜t≤1.5 m D 1.5＜t≤2 15 E t＞2 8 请根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 　60　 ； （2）A组数据的众数是 　0.2　 ，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是 　120°　 ； （3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数． 【分析】（1）由D组频数及其所占比例可得样本容量； （2）根据众数的定义求解即可，用360°乘以C组频数占总数量的比例即可； （3）用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可． 【解答】解：（1）D组所对的圆心角为90°，占比25%， 本次调查的样本容量是15÷25%＝60． 故答案为：60； （2）A组的数据0.2出现的次数最多， ∴A组数据的众数为0.2， ∵m＝60﹣5﹣12﹣15﹣8＝20， ∴C组所在扇形的圆心角的大小是360°120°． 故答案为：0.2，120°； （3）1800690（人）， 答：该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数大约有690人． 20．某班举行“红领巾寻访”展示活动，活动设计的项目及要求如下：A、讲一讲革命故事，B、说一说家乡变化，C、写一写美好愿望，D、画一画宏伟蓝图．人人参加，每人从中任意选一项．为公平起见，班委会制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A、讲一讲革命故事”的概率是 　　 ； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵将圆形转盘四等分并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A、讲一讲革命故事”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种， ∴甲和乙选到不同活动项目的概率为． 21．为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【分析】设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x，根据数量，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【解答】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x元． 根据题意得， 解得x＝80， 经检验x＝80是原分式方程的解，且符合实际， ∴0.75x＝0.74×80＝60． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 22．如图①，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形． （2）如图②．连接CE，若∠FCB＝90°，CE＝5，求AB的长． 【分析】（1）证相似得出比例式，求出AF＝BD，根据直角三角形性质求出AD＝BD＝CD＝AF，即可得出结论； （2）证明四边形ADCF是正方形，设AE＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵E为AD中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠DBE＝∠AFE ∵∠DEB＝∠AEF ∴△DEB≌△AEF， ∴AF＝DB， ∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线， ∴AD＝BD＝DC， ∴AF＝DC， ∵AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． （2）解：∵∠FCB＝90° 且四边形ADCF是菱形， ∴四边形ADCF是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵DC＝DB，AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∴AD＝CD＝DB，设 AE＝DE＝x，则 CD＝BD＝AD＝2x， ∵EC2＝CD2+DE2， ∴5x2＝25， ∴ （负根已经舍弃）， ∴， ∴． 23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【分析】（1）画出以BC为直径的圆以及∠ABC的平分线，取其交点即可； （2）连接OP，过点P作PD⊥BC于点D，根据特殊角的三角函数值得出∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义知∠PBC＝30°，再根据圆周角定理得∠POC＝60°，然后根据解直角三角形的知识得DP，最后根据直径BC，弦围成的封闭图形的面积为S△BOP+S扇形COP即可求解． 【解答】解：（1）如图1，先作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作∠ABC的平分线，交⊙O于点P，点P即为所求； （2）∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，如图2，连接OP，过点P作PD⊥BC于点D， ∴cos∠ABC， ∴∠ABC＝60°． 由（1）知，OB＝OC＝OP＝1，BP为∠ABC的平分线， ∴∠OBP∠ABC＝30°， ∴∠COP＝2∠CBP＝60°， ∴DP＝OP•sin∠DOP＝1， ∴直径BC、弦BP、围成的封闭图形的面积为：S△BOP+S扇形COP1． 24．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足R＝R1+R2；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． （1）如图③，已知R1＝12Ω，R3＝4Ω，总电阻为12Ω，求R2的值； （2）如图④，已知R0为定值电阻，现有两个电阻R1和R2（R1＜R2），请问如何摆放R1和R2的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【分析】（1）根据总电阻为12Ω，可列出关于R2的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）求出各摆放方式的总电阻，作差后可得出，进而可得出将R2与R0串联后再与R1并联时，总电阻最小． 【解答】解：（1）根据题意得：4＝12， 解得：R2＝24， 经检验，R2＝24是所列方程的解，且符合题意． 答：R2的值为24Ω； （2）将R2与R0串联后再与R1并联时，总电阻最小，理由如下： 将R1与R0串联后再与R2并联时，总电阻为； 将R2与R0串联后再与R1并联时，总电阻为， ∴． ∵R0＞0，R1＜R2， ∴R0（R2﹣R1）＞0，R0+R1+R2＞0， ∴0， ∴， ∴将R2与R0串联后再与R1并联时，总电阻最小． 25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线BD的对称点E． （1）小明给出了下面框图中的作法： 请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由； （2）当点E在边AB上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接DE，并求出DE的长； （3）连接AE，CE，当△ACE为直角三角形时，求∠BCE的正切值． 【分析】（1）连接BE，CE，DE．由线段垂直平分线的性质可得出结论； （2）作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D；以点B为圆心，以BC为半径作弧，交AB于点E；证出，得出．则可得出结论； （3）分三种情况，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）符合题目要求． 理由：如图1，连接BE，CE，DE． 由作法可知 DC＝DE，BC＝BE． ∴点B，D均在CE的垂直平分线上， ∴BD垂直平分CE． ∴点C和点E关于直线BD对称； （2）解：如图2，作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D；以点B为圆心，以BC为半径作弧，交AB于点E； ∴点D，点E即为所求作的点． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10．点C和点E关于直线BD对称． ∴BD垂直平分CE， ∴BC＝BE＝8，DC＝DE， ∴∠DCB＝∠DEB＝90°． ∴， 即． ∴． （3）解：①若∠CAE＝90°， 如图3，作EH⊥BC于点H，得矩形AEHC． ∴EH＝AC＝6． 又∵BC＝BE＝8， ∴， ∴． ∴． ②若∠CEA＝90°． 如图4，作BH⊥CE于点H， 又BC＝BE＝8， ∴CH＝EH． ∵∠ACB＝∠BHC＝90°， ∴∠ACE＝∠CBH，∠CAE＝∠BCH． ∴△CAE∽△BCH． ∴． 又∵CH＝EH， ∴tan∠CAE． ∴tan∠BCE＝tan∠CAE． ③若∠ACE＝90°，不符合题意，舍去． 综上，∠BCE的正切值为或． 26．在二次函数y＝x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（p，﹣p）在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足a≤p≤b． （1）求p的值； （2）记a≤x≤b时，二次函数y＝x2的最大值为y1，最小值为y2．若b﹣a＝3，求y1﹣y2的取值范围； （3）连接PA，PB，AB．当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH是否存在最大值？若存在，求PH的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点P的坐标代入函数表达式得：p2＝﹣p，即可求解； （2）当﹣3＜a时，y1＝a2，y2＝0，则y1﹣y2＝a2，即可求解；当a≤﹣1、a≤﹣1时，同理可解； （3）证明tan∠PAC＝tan∠PBD，即，得到a+b＝ab+2，则直线AB过恒定点Q（1，2），即可求解． 【解答】解：（1）将点P的坐标代入函数表达式得：p2＝﹣p， 解得：p＝0（舍去）或﹣1， 即p＝﹣1； （2）由题意得，点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（a+3，a2+6a+9）且a≤﹣1≤a+3， 即﹣4≤a≤﹣1， 当﹣4≤a≤﹣3时， 则y1＝a2，y2＝a2+6a+9， 则y1﹣y2＝﹣6a﹣9， 则9≤y1﹣y2≤15； 当﹣3＜a时，y1＝a2，y2＝0，则y1﹣y2＝a2， 则y1﹣y2＜9， 当a≤﹣1时， 则y1＝a2+6a+9，y2＝0， 则y1﹣y2≤4； 综上，y1﹣y2的取值范围为：y1﹣y2≤15； （3）存在，理由： 如图，设点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（b，b2）， 过点P作直线l∥x轴，作AC⊥l于点C，作BD⊥l于点D， ∵PA⊥PB， 则∠PAC＝∠BPD， ∴tan∠PAC＝tan∠PBD，即， 即，即a+b＝ab+2， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝（a+b）x﹣ab＝ab（x﹣1）+2， 当x＝1时，y＝2， 即直线AB过恒定点Q（1，2）， 而点P（﹣1，1）， 当点H、Q不重合时，PH＜PQ， 当PH取得最大值时，H、Q重合， 此时PH的最大值为：． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $