精品解析：湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. i 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为400m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A. B. C. D. 7. 设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，若存在值，使得对任意 成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27 D. 若 为两个随机事件，，，，则 10. 设 为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于 两点，为的准线，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______. 13. 已知双曲线C：，过C的左焦点F的直线与圆O：相切于M，与C的右支交于点R.若的中点为N，则_______. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知 ，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 16. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. （1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 17. 如图，在平面四边形中， ，，将 沿翻折至，其中P为动点. （1）证明：； （2）求二面角 余弦值的最小值. 18. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且 ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕. 这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点. （1）以所在的直线为轴，的中点 为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程； （2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 19. （1）已知函数. （i）若，求曲线在点处的切线方程； （ii）若时，恒成立，求的最大值； （2）不等式对任意的成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A表示函数定义域，B表示函数值域，据此可化简集合A，B，然后由交集定义可得答案. 【详解】A表示函数定义域，则； B表示函数值域，则.从而. 故选：D 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 3. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当 时，取得最小值， 故选：C. 5. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 即，解得， 所以； 又因为是等差数列，且， 即，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为400m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为 ，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得 ，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出 ，据此可求出速度，再由求解． 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以，故． 故选：B 7. 设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为，点为点 ，切点为 ，先利用勾股定理求出切线长，由圆切线的性质及已知条件求得，再由二倍角正切公式求值即可. 【详解】因为，所以点在圆外， 设圆心为，点为点 ，切点为 ， 圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 在中，，所以， 故， 由圆的切线的性质可得， 所以. 故选：D 8. 已知，函数，若存在值，使得对任意 成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，令 ，可得，则可化为证明 与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，构造函数 ，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】， ， 令 ，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时， ， 当时， ，画出大致图像如下： 当时， 与仅有一个交点， 令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故 存在唯一的极值点； ，此时，， ， ， ， 令， ， 若存在a，使得对任意成立， 等价于存在，使得，即， ，， 当 时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 实数b的取值范围，的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C. 若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27 D. 若 为两个随机事件，，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，运用百分位数的计算规则即可；对于B，根据线性相关的定义即可判断；对于C，结合平均数与方差的性质即可判断；对于D，运用条件概率的公式以及概率的运算即可得解. 【详解】对于A：先将这8个数进行从小到大排列：12，14，15，17，19，24，27，30， ，因为是小数，故这组数据的第70百分位数为第6个数， 即，故A正确； 对于B：若两个随机变量为负相关，且两个随机变量的线性相关性越强，则此时相关系数r的值越接近于 ，故B错误； 对于C：若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故C正确； 对于D：由题可知，，得， 则， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于 两点，为的准线，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 以 为直径的圆与相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得，判断A；由抛物线的定义计算过焦点的弦长，可判断B；由抛物线的定义求出抛物线的准线，由 的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离,计算即可判断C；由向量的数量积判断角的范围，由四边形内角和，计算即可判断D. 【详解】如图： A，抛物线 的焦点为, 点， 直线过点， ，解得 ，故A正确； B，抛物线的方程为， 将直线方程与抛物线方程联立，得， 整理得，设，, 由韦达定理得，， ，故B错误； C， ， 设 的中点为 ，则, 为的准线， 直线的方程， 到直线的距离， 以为直径的圆的半径, ， 以 为直径的圆与相切，故C正确； ， ， ，，，， ， 即， ， ， ， ， ， ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意 满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、B，取，可判断C，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合等式及一些已经证明的结论，想到令 和 时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】A，令，可得，得， 令，代入已知等式得， 可得，结合得，所以，故A正确； B，因为，令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故B错误； C，取，满足及， 所以，又， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； D，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式： ， 两式相加易得，所以有， 即，有， 即，则，所以为周期函数，且周期为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得 ，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 13. 已知双曲线C：，过C的左焦点F的直线与圆O：相切于M，与C的右支交于点R.若的中点为N，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定双曲线的基本参数 ，焦点坐标 ，再分析圆的性质寻找三角形中位线， 并利用中位线与双曲线定义建立等式，最后转化线段关系，代入计算即可. 【详解】 由双曲线， 可得 ，，则， 因此左焦点，双曲线的实半轴长， 因为圆，所以圆心为原点，半径 ， 又因为直线与圆相切于 ，所以，在中： ， 设双曲线的右焦点为 ， 是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，， 则，即， 因此， 因为是的中点，故， 则， 所以. 故答案为：. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知 ，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由导函数，可得，通过化简得 ，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质求出即可. 【详解】因为，则，则， 由，所以， 所以， 即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，， 因为对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又，且，故对于都有, 因此， 所以，所以的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【小问1详解】 易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 16. 某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. （1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； （2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1） 2 3 4 （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列 是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得 ， 则 ，且时，符合上式， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【小问1详解】 由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面四边形 中， ，，将 沿翻折至，其中P为动点. （1）证明：； （2）求二面角 余弦值的最小值. 【答案】（1）取中点，连，， 因为底面为正三角形， ，则 ， ， 又 平面 ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，求证 平面 ，再根据线面垂直的性质定理即可求证； （2）以为原点建系，设 ，进而求出平面 和平面 的法向量，求出 ，令 ，结合一元二次函数求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点， 为x轴，为y轴，垂直于平面的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，其中 ， 因为 ，，所以， 则 ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 设平面 和平面 的一个法向量分别为 ， 则， ， 令 ， ， 则 ， ， 则 令 ，则 ， 则， ， 当即时， 有最小值，最小值为， 故二面角 余弦值的最小值为. 18. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且 ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕. 这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点. （1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程； （2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 【答案】（1） （2） （3）解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时 ， 或 ，即 或 ； 当 时，线段的中点为 ，直线的斜率为， 则的垂直平分线方程为， 联立， 得 ， 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故 ， 即 ， 则 ， 即 ， 即 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 而 也满足该式， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为 ，即 . 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，直线与交于点， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线， 也为 的角平分线，作的角平分线 ，根据椭圆的光学性质得 ， 则，则， 故， 所以M，P，三点共线，所以 ， 所以点M的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为 或 时也满足 ， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为 . 【解析】 【分析】（1）设与折痕的交点为N，求出 ，根据椭圆的定义判断轨迹形状，再求出即可； （2）设： ，与椭圆方程联立，根据内切圆半径求出的面积，再根据 即可求出； （3）设，分、 两种情况，当 时，求出的垂直平分线，并与椭圆方程联立，根据 即可求出；根据椭圆的光学性质求出，切点三点共线，再结合椭圆定义可求出 ，最后根据圆的定义求出. 【小问1详解】 设与折痕的交点为， 由题意可知 ， ， 所以点N是以，为椭圆的左、右焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为，则 ， ， 所以 ， ， ， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线不与x轴重合. 因为 ，故设： ，， 联立，得 ， 则 ，，， 则， 故， 又内切圆的半径为，且的周长是 ， 所以， 则，即 ，解得 ， 故直线的方程为 . 【小问3详解】 略 19. （1）已知函数. （i）若，求曲线在点处的切线方程； （ii）若时，恒成立，求的最大值； （2）不等式对任意的成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）；（2） 【解析】 【分析】（1）（i）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程；（ii）根据已知构造新函数，应用导函数正负得出函数单调性得出参数的最大值； （2）先应用参数分离得出，再应用特殊值代入得出，最后构造函数，化简得出值域范围即可判断. 【详解】（1）（i）若时，，则，，， 所以曲线在点处的切线方程为：. （ii）设，则， 又，设，则， 若，则， 故存在，使得，总有 ， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以. 当时，有， 所以在上为减函数，所以. 综上：，即的最大值为. （2）不等式对任意的成立， 即， 令，则， 下证时，恒成立， 因为，所以， 即要证， 设 得证. 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $