精品解析：海南省三亚市民族中学2025-2026学年高二10月月考数学试卷

三亚市民族中学2025-2026学年高二上册10月考试 数学试题 一、单选题 1. 若，则（ ） A. -29 B. -22 C. 22 D. 29 2. 从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至多有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多1个红球 3. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 5. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点NBC中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题 9. 有6个相同球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 10. 空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 11. 如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面EFM平面 C. 直线ME与所成的角为 D. 平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 三、填空题 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 已知事件A，B相互独立，且，，则________. 14. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 四、解答题 15. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等. （1）列出所有可能的结果； （2）求取出的两个球的标号之和能被3整除的概率． 16. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率； （2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？ 19. 如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三亚市民族中学2025-2026学年高二上册10月考试 数学试题 一、单选题 1. 若，则（ ） A. -29 B. -22 C. 22 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案. 详解】由，得， 所以． 故选：A． 2. 从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至多有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多1个红球 【答案】C 【解析】 【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可. 【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 3. 已知向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示和模的公式进行计算即可. 【详解】由题意知，， 又因为，所以， 解得，所以 ∴. 故选：A. 4. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 5. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 6. 在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，所以灯亮的概率. 故选：C. 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，点N为BC中点，所以， 故 . 故选：B 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】先分别计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知，有放回地随机取两次，共计36个基本事件， 两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，甲与乙不互斥，故选项A正确； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），甲与丁相互独立，故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），乙与丙不相互独立，故选项D错误. 故选：AC. 10. 在空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据选项分别求向量的坐标，再代入数量积，模长和向量夹角公式，以及点到直线的距离公式，即可判断选项. 【详解】，，，故A错误； ，所以，故B正确； ，设异面直线与所成角为， 则，故C错误； 到直线的距离为，故D正确． 故选：BD 11. 如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面EFM平面 C. 直线ME与所成的角为 D. 平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别取，，的中点为，，，连接各中点，求出平面EFM截该正方体所得的截面为正六边形判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线线角和面面夹角，即可判断CD. 【详解】对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面EFM截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点，分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面EFM平面，故B正确； 对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 易知平面ABCD的一个法向量为，设平面EFM与平面ABCD的夹角为， 则， 即平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13 已知事件A，B相互独立，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件概率公式可得，再由独立事件乘法可得即可. 【详解】由题设，而， 所以. 故答案为：. 14. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等. （1）列出所有可能的结果； （2）求取出的两个球的标号之和能被3整除的概率． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，，用表示抽取结果，按顺序列举即可； （2）结合（1）所取两个球上的数字和能被3整除的结果共有5种，利用古典概型可得结果． 【详解】（1）设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，，用表示抽取结果， 则所有可能有，，，，，，，，，，， ，，，，共16种． （2）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有，，，，共5种． 故所求概率为． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 16. 已知空间向量. （1）求在上的投影向量； （2）若，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【小问1详解】 由投影向量的定义， 在上的投影向量为. 【小问2详解】 若，则，所以， 所以 【小问3详解】 若，则，所以，进而. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面距离为：. 18. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率； （2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？ 【答案】（1） （2）乙 【解析】 【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案； （2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则，， 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C， 则 ． 【小问2详解】 若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件， 则 ； 若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则 . 因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮. 19. 如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）求出平面的法向量，求解两个平面的夹角. 【小问1详解】 依题意，平面，且四边形是正方形 以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，，， 取的中点M，连接． ，则， ∴，∴， ∵平面平面，∴平面． 【小问2详解】 ，F为的中点， 则，，， 又，平面，故为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，因为， ，即,令，得，， 故． 设二面角的大小为，则， 由图知，所求二面角为钝角，所以二面角的大小是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $