精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期期末数学试卷 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 4. 某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（ ） A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种 5. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ） A. B. C. D. 6. 点在圆外，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知实数x，y满足，则的最小值为 B. 直线恒过定点 C. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，若，则的面积为 D. 已知，，过点的直线与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是或 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 13. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 14. 已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 18. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期期末数学试卷 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为． 故选：C． 3. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 4. 某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（ ） A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种 【答案】C 【解析】 【分析】结合排列数及组合数的运算，根据分组分配问题求解即可. 【详解】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有种不同参观方案. 故选：C 5. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量求出，代入的定义式即可. 【详解】，设向量在向量的夹角为， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 故选：C. 6. 点在圆外，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 7. 正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选取作为空间基底，结合夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正四面体的棱长是，， 则，， 由正四面体的性质，两两夹角是， 则， 于是， 中，由余弦定理，，则， 设直线与所成角为，则. 故选：C 8. 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为，,， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，，， 于是，， ，因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，对应点的横坐标为，由得， 则，该情况符合题意，可以取到最小值，所以取得最小值． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 已知实数x，y满足，则的最小值为 B. 直线恒过定点 C. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，若，则的面积为 D. 已知，，过点的直线与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是或 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，表示圆上点与原点所成直线的斜率进而数形结合求其最小值，对于B，将直线化为求定点，对于C，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断. 【详解】对于A：由的圆心为，半径为， 而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示， 由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界， 即，故， 所以最小值为，所以A错误； 对于B：由题设，直线可化为，联立，则其恒过定点，所以B对； 对于C：由题意，且， 又，则， 所以，则，即， 所以的面积为，所以C正确； 对于D：由题设，， 结合图像得所以D错. 故选：BC. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得判断A；令得判断B；令得，结合B项求解判断C；根据二项式定理求解即可判断D. 【详解】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确． 故选：ABD 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误. 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求出已知两条直线的交点坐标，然后根据所求直线与平行的条件，设出具有相同斜率的直线方程，将交点坐标代入即可. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 故答案为：. 13. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 【答案】20 【解析】 【分析】先由赋值法得到关于的方程求出，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为，且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为． 故答案为：20 14. 已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，，利用椭圆、双曲线定义可得，且，再应用余弦定理可得，进而求目标式的值. 【详解】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，， 则，则，且，则， 所以，且， 又，则， 所以，则，即， 所以. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】（1） （2），圆心为，半径为． 【解析】 【分析】（1）先求出的中点的坐标，进而利用两点斜率公式求得中线的斜率，最后利用点斜式直线方程求解即可； （2）设出圆的方程，将点的坐标代入求解圆的方程，然后化为圆的标准方程，即可求得圆心和半径. 【小问1详解】 由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． 【小问2详解】 设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则，即可容易表示目标向量； （2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可； （3）根据（2）中所求，结合向量夹角余弦值的计算公式，代值即可. 【详解】（1）连接，如图： 因为，， 在，根据向量减法法则可得： 因为底面是平行四边形 故 因为 且 又为线段中点 在中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 故 由（1）可知 故平行四边形中 故： 故 （3）因为， 又 【点睛】本题考查用基向量表示空间向量，涉及空间向量数量积的运算、模长的求解以及夹角的求解，属综合基础题. 18. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，线段的长为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. 【小问1详解】 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. 【小问3详解】 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $