精品解析：辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二上期末数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 2. （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：B 3. 已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】向量坐标化代入等式即可. 【详解】∵动点满足， ∴， ∴，解得， ∴点的轨迹是抛物线. 故选: D 【点睛】直译法求轨迹方程:把等式中相关量坐标化（代数化），然后整理化简. 4. 已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 5. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出示意图，B，D为切点，则，可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】如图，B，D为切点，则，，， 由圆可得，，又， 所以， 所以，则， 故. 故选：A. 6. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得正方体的棱长为，设，由，求得，再求得平面的法向量为，利用距离公式，求得点到的距离为，结合体积公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为，可得， 则，可得，所以， 又由， 设，可得， 因为， 可得， 解得，即， 又由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，所以点到的距离为， 又因为等边的边长为，所以， 所以三棱锥的体积为. 即三棱锥的体积为. 故选：A. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去）， 在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在以下命题中，不正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线、向量共面、向量平行及基底的相关知识逐项分析即可. 【详解】选项A：若，则，即， 化简得，即，所以，反向共线. 当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立， 所以是，共线的充分不必要条件，A错误； 选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误； 选项C：假设存在，，，使得， 整理得. 因为为空间的一个基底，所以不共面， 则，解得，所以不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确； 选项D：若，，，四点共面， 则存在实数，，，使得，且. 已知，，所以，，，四点不共面，D错误. 故选：ABD. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（   ） A. 没有空盒子的方法共有16种 B. 有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【解析】 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得（舍去）或， 取直线和直线； 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 取直线和直线； 以直线为临界，结合图形可知： 若直线与曲线有2个交点，则或， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线，，若，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 13. 已知与的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 14. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为F．A，B为上两点，．当时，_____；的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于空1，由可得直线的方程，接着分的方程为和两种情况分析计算求解点即可由两点间距离公式求出；对于空2，先设设，由和结合点斜式求出直线的方程，联立结合韦达定理和即可求出，再由焦半径公式结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以直线的方程为， 当直线的方程为时，联立，故， 则由得直线，即 联立（舍去）或，所以， 所以； 当直线的方程为时，联立，故， 则由得直线，即 联立（舍去）或，所以， 所以. 综上. 设，则， 所以由得直线， 所以，联立； 设，则， 所以， 因为抛物线准线为直线， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为7. 故答案为：；7. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是用表示直线方程、用表示直线与抛物线联立所得的方程，并借助韦达定理用表示，从而将用表示，再结合基本不等式即可求最小值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的项数直接可得； （2）利用二项展开式的通项直接求解即可； （3）求得含有项的所有系数计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为， 所以二项式系数最大的项为； 【小问3详解】 由（2）分析可知令，得，即； 令，可得. 综上：展开式中的系数为 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【小问1详解】 的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 【小问2详解】 ， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 17. 在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率． （1）求椭圆C的焦距； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为1，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据已知条件列出方程组求解即可； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理和弦长公式求出弦长，利用点到直线距离公式求出O到直线的距离d，利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：设椭圆方程为， ∵离心率，则，． 椭圆过，代入方程得，即，解得，则． ∴椭圆方程为； 【小问2详解】 联立，得， 得． 设，则，， ， O到直线距离， ， 解得，即． 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 【答案】（1），椭圆 （2）6 【解析】 【分析】（1）设到直线的距离为，由题意得，即，化简整理即可求解； （2）设直线方程为，，，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，进而得，再求直线的方程和直线的方程，解出，又，设直线方程为：，解出的坐标，进而得的坐标，进而得，最后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线， 设到直线的距离为， 由题意知，， 所以， 所以，， 所以， 所以是椭圆； 【小问2详解】 由题意直线的斜率不等于零，设方程为，，， 所以，恒成立， 所以，①， 又直线的方程为：②， 直线的方程为：③， 联立②③可得， 代入，可得， 将①代入可得，所以点的横坐标为4， 同理可得点的横坐标为4， 直线为定直线：， ，， ， 故设直线方程为：， 设直线方程为：， ，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上期末数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 4. 已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在以下命题中，不正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（   ） A. 没有空盒子的方法共有16种 B. 有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D. 曲线上的点到直线的距离的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线，，若，则的值为____________. 13. 已知与的夹角为，则__________. 14. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为F．A，B为上两点，．当时，_____；的最小值为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 17. 在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率． （1）求椭圆C的焦距； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为1，求m的值． 18. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知抛物线，是准线，平面内一动点到点的距离是到直线的距离的一半，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）已知，，过点的直线交于点，过点的直线交于点，直线过点，直线，交于点，直线，交于点，求线段的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $