考点03 方程（组）讲义 2026年中考数学一轮复习基础通关（安徽专用）

方程（组） 1． 一元一次方程 - 掌握一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数次数为1，等式两边为整式），熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程。 - 常结合实际应用题考查，如工程问题、行程问题、利润问题等，关键是找等量关系列方程。 2． 二元一次方程组 - 核心解法：代入消元法和加减消元法，会将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。 - 考查形式包括直接解方程、结合数轴或实际情境列方程组，是中考基础必考题。 3． 分式方程 - 解法：去分母转化为整式方程求解，必须检验（将解代入最简公分母，判断是否为增根）。 - 常以解答题形式考查，或结合应用题，注意增根的取舍条件。 4． 一元二次方程 - 定义与一般形式：，会识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c。 - 解法：直接开平方法、配方法、公式法（求根公式）、因式分解法，其中公式法和因式分解法为高频考点。 - 根的判别式：时方程有两个不相等的实数根；\Delta=0时有两个相等的实数根；时无实数根，常以选择题、填空题考查。 - 根与系数的关系（韦达定理）：若的两根，则，可用于求代数式的值、构造方程等。 - 实际应用：增长率问题、面积问题等，需注意解的实际意义，舍去不合理的根。 5． 方程（组）的综合应用 - 结合函数（如一次函数、二次函数）、几何图形性质考查，如利用方程求函数解析式、求几何图形的边长等。 - 含参数的方程（组）：会根据根的情况求参数取值范围，注意一元二次方程中的隐含条件。 1．一元一次方程的解法 一、解答题 1．解方程： (1)； (2)． 2．关于的方程．若该方程与方程同解，试求的值． 3．定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 4．解方程： (1)； (2)． 5．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则该方程是差解方程．请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 6．解方程 (1)； (2)． 7．解方程 (1) (2) 8．解方程 (1) (2) 9．若关于的方程和有相同的解，求的值． 10．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是_（填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 11．【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则，已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为___________； （2）已知方程，则的值为__________． 【拓展创新】 （3）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 12．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 13．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 14．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 15．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 2．二元一次方程组的解法 一、解答题 1．解方程组 (1) (2) 2．解下列方程组： (1) (2) 3．解下列方程（组）： (1) (2) 4．解方程组： (1) (2) 5．解方程或方程组： (1)； (2) 6．解方程组： (1) (2) 7．按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 8．解方程组： 9．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 10．【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 13．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 3．一元二次方程的解法及根的判别式 一、解答题 1．解方程： (1) (2) 2．解方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 6．（1）解方程： （2）关于的一元二次方程有两个相等的实数根． ①求的值； ②解方程：． 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求另一个根及的值． 10．已知关于x的方程． (1)若这个方程有实数根，求a的取值范围； (2)若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 4．分式方程的解法与验根 一、解答题 1．解分式方程：． 2．解方程： 3．解方程：． 4．解方程 (1) (2) 5．解分式方程：． 6．解方程：． 7．解方程： (1)． (2)． 8．当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 9．解方程：． 10．解方程： 11．解方程：． 12．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 13．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 14．已知关于x的分式方程， (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 15．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 16．已知关于的方程． (1)求方程的解（用含的代数式表示）； (2)若这个方程的解是正数，求的取值范围． 17．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 18．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 19．若关于x的方程无解，求m的值． 20．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 5．方程的实际应用 一、解答题 1．年第九届亚洲冬季运动会于年月日至日在哈尔滨举行，印有吉祥物“滨滨”和“妮妮”的卫衣在市场畅销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”卫衣各件，其中印有“滨滨”卫衣每件的进价比印有“妮妮”卫衣的进价少元，购进两种卫衣共花费元． 利用方程解决下列问题： (1)求商场购进两种样式卫衣的进价分别是多少元？ (2)在销售过程中，印有“滨滨”卫衣每件售价是元，很快全部售出；印有“妮妮”图案的卫衣每件按进价加价销售，销售件后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打折出售剩余的印有“妮妮”图案的卫衣，两种样式的卫衣全部售出后共获利元，求的值． 2．如图1，已知数轴上两点、对应的数为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)_____，当点是的中点时，_____； (2)数轴上是否存在点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点以每分钟1个单位长度的速度从O点向右运动时，点以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点以每分钟20个单位长度的速度向右运动，在运动的过程中，、分别是的中点，判断的值是否发生变化，请说明理由． 3．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 4．国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A、B食物的能量和蛋白质分别如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：g） A 240 12 B 280 13 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 5．一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 6．某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求原计划租用座客车的辆数和学生的总人数． 7．为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元． (1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价； (2)妈妈给了小明50元钱的预算，需要购买此口罩和酒精湿巾共13包，小明最多可以购买口罩多少包？ 8．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 9． “丹东三日游”的调研分析 背景 丹东是中朝边境的明珠．漫步鸭绿江断桥，回望历史烽烟；登临虎山长城，眺望两国风光；江畔夜景璀璨，地道黄蚬子鲜美．这是一座融合历史记忆、边城风情与自然美味的独特城市．为了让更多的人了解丹东，感受丹东深厚的文化底蕴，某旅行社推出“丹东三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“丹东三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“丹东三日游”的人数为1000人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到1440人． 素材二 该旅行社“丹东三日游”活动的初步方案为：40人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于700元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“丹东三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为40000元，求下调后每人的团费． 10．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元． (1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元? 11．某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售_件，每件盈利_元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 12．问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 13．题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”． (1)阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 解：设张老师骑车的速度为，依题意，得 (2)请写出完整的解题过程． 14．苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？ (2)若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值． 15．阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 16．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 方程（组） 1． 一元一次方程 - 掌握一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数次数为1，等式两边为整式），熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程。 - 常结合实际应用题考查，如工程问题、行程问题、利润问题等，关键是找等量关系列方程。 2． 二元一次方程组 - 核心解法：代入消元法和加减消元法，会将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。 - 考查形式包括直接解方程、结合数轴或实际情境列方程组，是中考基础必考题。 3． 分式方程 - 解法：去分母转化为整式方程求解，必须检验（将解代入最简公分母，判断是否为增根）。 - 常以解答题形式考查，或结合应用题，注意增根的取舍条件。 4． 一元二次方程 - 定义与一般形式：，会识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c。 - 解法：直接开平方法、配方法、公式法（求根公式）、因式分解法，其中公式法和因式分解法为高频考点。 - 根的判别式：时方程有两个不相等的实数根；\Delta=0时有两个相等的实数根；时无实数根，常以选择题、填空题考查。 - 根与系数的关系（韦达定理）：若的两根，则，可用于求代数式的值、构造方程等。 - 实际应用：增长率问题、面积问题等，需注意解的实际意义，舍去不合理的根。 5． 方程（组）的综合应用 - 结合函数（如一次函数、二次函数）、几何图形性质考查，如利用方程求函数解析式、求几何图形的边长等。 - 含参数的方程（组）：会根据根的情况求参数取值范围，注意一元二次方程中的隐含条件。 1．一元一次方程的解法 一、解答题 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 2．关于的方程．若该方程与方程同解，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再把解代入，进行求解即可． 【详解】解：解得， 将代入，得， 解得． 3．定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可知，据此计算求解即可； （2）根据新定义，先计算出，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号法解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 5．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则该方程是差解方程．请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，已知一元一次方程的解，求参数，一元一次方程解的关系，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求出方程的解，再根据差解方程的意义求解即可； （2）先求出方程的解，再根据差解方程的意义，得到关于的方程求解． 【详解】（1）解：解方程， 得：， ∵， ∴方程是差解方程． （2）解：由方程， 得：， ∵该方程是差解方程， ∴， 解得：． 6．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：，   ，    ， ，    ； （2）解：， ，    ，    ， ，   ． 7．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是解题的关键． （1）分别去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）分别去分母、移项、合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解：方程左右两边同时乘以6，得 解得． 8．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 9．若关于的方程和有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定义是关键． 根据关于的方程和有相同的解，求出方程的解，之后把解代入方程即可求出k值． 【详解】解1：由方程， 得：， 由方程， 得：， 它们有相同的解， ， 解得：． 解2：由方程， 得：， 方程和有相同的解， 方程的解为． ， 解得：． 10．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是_（填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的新定义，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． （1）根据定义计算判定即可； （2）根据定义解答即可； （3）根据定义，解答即可． 【详解】（1）解：①由，得，又，， 符合新定义， 故①是“友好方程”； ②由，得，又，， 不符合新定义， 故②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：由，得， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得． （3）解：一元一次方程的解为， 由一元一次方程的解为， 故， 由， 得， 解得， 故关于x的一元一次方程变形为， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得， 故m与n的值分别为． 11．【阅读理解】 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则，已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为___________； （2）已知方程，则的值为__________． 【拓展创新】 （3）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 12．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若该方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列式求解． （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得的值． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴且， 即且， 解得； （2）解：由，得， 由（1）知原方程为， 当时，原方程为， 解得． 13．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 【答案】(1)方程是方程的前置方程，见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意是解题的步骤． （1）求出两个方程的解，利用“前置方程”的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“前置方程”的定义列出关于、的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】（1）解：方程是方程的“前置方程”， 理由：解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程是方程的“前置方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程是关于的方程的“前置方程”， ∴， ∴， ∴． 14．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于的方程与方程互为“对立方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）将“对立方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称为互为“对立方程”， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴． 故答案为：1． （2）解：将写成的形式， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴， 解得：． （3）解：关于的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， 解得：或． 15．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． （1）根据“方程右边的忘记乘12”得到小明去分母后的方程，进而将代入求解即可； （2）得到正确的方程，进而根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， ∵小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12， ∴小明去分母后的方程应为， ∵求出的解为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴方程为， 两边乘12，得， 去括号得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 2．二元一次方程组的解法 一、解答题 1．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）用代入消元法，先把代入，解出，再把代入中，即可得到解； （2）用加减消元法，先把方程组中两个方程相加，合并同类项后得到，解得，再把代入中，即可得到解． 【详解】（1）解： 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ． （2）解： ，得，即， 将代入②，得， 解得， ． 2．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：③ 得： 解得， 将 代入 得：，即 解得 ∴原方程组的解为； （2）解：     原方程组可变形为：， 得： 解得， 将 代入 得：， 解得 ∴原方程组的解为 ． 3．解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：将方程组整理得：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 4．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． （2）解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 5．解方程或方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组和一元一次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项和合并同类项进行求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 由得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 6．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得：， 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为． 7．按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得，， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 故该方程组的解为； （2）解： ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 8．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，通过去分母简化第一个方程，然后利用加减消元法求解方程组． 【详解】解：原方程组为 将第一个方程两边同乘6，得 ∴方程组化为 将两方程相减，得 将代入，得 ∴原方程组的解为 9．观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 10．【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法、代数式求值、新运用法则、非负数的性质等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）根据材料提示运用整体思想求解即可； （2）根据非负数的性质可得，再运用整体思想求解即可； （3）根据新定义的计算方法可得，设可得，即，进而得到，解得：，最后运用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， 得：． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴①+②得， ∴，即． （3）解：根据题意得∶， 设， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴． 11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 12．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 13．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 3．一元二次方程的解法及根的判别式 一、解答题 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 两个小题均使用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， （2）解：∵ ∴ ∴或 ∴， 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴，． （2）解：， ， ∴，． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）证明：对于方程， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根； （2）解：， 因式分解得， 即或， ∴， ∵ 方程有一个实数根为负数，且， ∴ ， ∴ ， 故的取值范围为． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 【答案】(1)且 (2)方程的另一个根是，m的值是5 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 6．（1）解方程： （2）关于的一元二次方程有两个相等的实数根． ①求的值； ②解方程：． 【答案】（1），；（2）①的值为1；②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式． （1）根据配方法解方程即可； （2）①根据方程有两个相等的实数根得到，即可求解； ②将求解的值代入，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ，； （2）①解：关于的方程有相等的实数根， ， ， ， ， 即的值为1； ②当的值为1时， ， ， ，． 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)这个等腰三角形的周长为21或18 【分析】本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根． （2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求另一个根及的值． 【答案】(1)见解析 (2)，另一根为 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据方程的系数，结合根的判别式可得，即可证得结论； （2）将代入得到关于的一元一次方程，进而求得，原方程化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程总有两个实数根． （2）解：将代入 得， 解得， 方程化为， 解得： ∴另一根为2． 10．已知关于x的方程． (1)若这个方程有实数根，求a的取值范围； (2)若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 【答案】(1) (2)，另外一个根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设原方程的另外一个根为b，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：设原方程的另外一个根为b， ∵关于x的方程有一个根是2， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴另外一个根为． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可求出答案． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，即， ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1)见解析 (2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 4．分式方程的解法与验根 一、解答题 1．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 2．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确计算是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】方程去分母，得：， 解得； 经检验，是原方程的解； 原方程的解为． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键，先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解． 4．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程； （1）按照解分式方程的一般步骤，去分母化为一元一次方程，求解并检验即可； （2）按照解分式方程的一般步骤，去分母化为一元二次方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解： 同乘以，去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：， 经检验：是原方程的解． （2）解： 同乘以，去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 5．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，解题关键是掌握分式方程的求解步骤（变形、去分母、求解、检验），同时要注意分母不能为． 先通过变形将分母统一，再去分母转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分式方程的分母不为． 【详解】解：原方程可化为， 去分母得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的根． 6．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程；先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是增根，应舍去． 故原方程的解为． 7．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，化为一元二次方程，再计算判别式，根据根的情况再求解即可； （2）先去分母，化为一元一次方程，再求出方程的根后验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 即， ， 无实数根， 故原分式方程无解； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验是原方程的增根， 故原分式方程无解． 8．当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 【答案】 或 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 9．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为一元二次方程；根据解分式方程的步骤计算即可得解. 【详解】解：公分母为： 去分母可得：， 整理可得：， 解得或， 经检验，当时， ∴是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 10．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再利用因式分解法解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， ∴原方程的解为． 11．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 去括号得：， 整理得：， ， 解得，． 检验：当时，，是分式方程的增根； 当时，，是分式方程的解． ∴方程的解为． 12．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 13．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 14．已知关于x的分式方程， (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 【答案】(1)无解 (2)且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键． （1）把代入，解方程即可； （2）对原分式方程变形，然后解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得， 经检验，时，， 所以原方程无解； （2）解： 去分母，得， 解得， 分式方程解是非负数， ， 解得， 分式方程有解， ， 的取值范围是：且． 15．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 16．已知关于的方程． (1)求方程的解（用含的代数式表示）； (2)若这个方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】(1)当 时，解为 ；当 时，方程无解 (2)，且 【分析】本题主要考查解分式方程，求解分式方程时注意分母不为0是解题的关键． 首先根据去分母、去括号、合并同类项的步骤求解分式方程，表达出方程的解，再根据方程的解是正数，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 17．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 18．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 19．若关于x的方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或将代入整式方程，即可求出m的值． 【详解】解：整理得 去分母得： ∴， 整理得：， 当，整式方程无解； 解得：， 当分式方程的解为增根时，原方程无解， 将代入中，得：， 解得：m， 综上，或． 20．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 5．方程的实际应用 一、解答题 1．年第九届亚洲冬季运动会于年月日至日在哈尔滨举行，印有吉祥物“滨滨”和“妮妮”的卫衣在市场畅销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”卫衣各件，其中印有“滨滨”卫衣每件的进价比印有“妮妮”卫衣的进价少元，购进两种卫衣共花费元． 利用方程解决下列问题： (1)求商场购进两种样式卫衣的进价分别是多少元？ (2)在销售过程中，印有“滨滨”卫衣每件售价是元，很快全部售出；印有“妮妮”图案的卫衣每件按进价加价销售，销售件后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打折出售剩余的印有“妮妮”图案的卫衣，两种样式的卫衣全部售出后共获利元，求的值． 【答案】(1)印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元，根据题意列方程，即可求解； （2）根据总利润为两种样式的卫衣利润之和，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元， 根据题意得， 解得， ， 答：印有“妮妮”卫衣的进价为每件元，则印有“滨滨”卫衣的进价为每件元； （2） 整理得， 解得， ． 2．如图1，已知数轴上两点、对应的数为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)_____，当点是的中点时，_____； (2)数轴上是否存在点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点以每分钟1个单位长度的速度从O点向右运动时，点以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点以每分钟20个单位长度的速度向右运动，在运动的过程中，、分别是的中点，判断的值是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)4；1 (2)数轴上存在点，使，此时x的值为或 (3)的值不发生变化，为定值2，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，整式的加减运算，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）分点P在两点之间，点在点的右边和点在点的左边三种情况，讨论求解即可； （3）设运动时间为t分钟，用含t的式子分别表示出点A，点P，点B表示的数，进而求出的长，再由中点公式求出点M，点N表示的数，进而求出的长，再计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点是的中点， ∴； （2）解：①当点在两点之间时，，不符合题意，舍去； ②当点在点的右边时，，， ， 解得； ③当点在点的左边时， ， 解得． 综上所述，数轴上存在点，使，此时x的值为或． （3）解：的值不发生变化，为定值2，理由如下： 设运动时间为t分钟，则点A表示的数为，点P表示的数为t，点B表示的数为， ∴，， ∵、分别是的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴， ∴的值不发生变化，为定值2． 3．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)t为1或4或16 【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，可列出点表示的数； （3）分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． 【详解】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数， 的距离为； 点与点的中点为,表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：点以每秒2个单位长度的速度在数轴上向左运动， 运动秒后，点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：根据题意得：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点是点、的中点时， 解得：； 当点是点,的中点时， 解得：； 当点是点,的中点时，, 解得：； 综上所述,的值为或或． 4．国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A、B食物的能量和蛋白质分别如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：g） A 240 12 B 280 13 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为3份和2份 (2)应选用A、B两种食品分别为2份和4份 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用、两种食品分别为份和份，结合题意能量和蛋白质，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份午餐选用这两种食品共6份，假设选用种食品份，选用种食品份，由蛋白质总量不低于列出不等式，得，然后计算总能量表达式，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：假设选用种食品份，选用种食品份， 得方程，解得， 故选用种食品份，选用种食品份． （2）解：假设选用种食品份，选用种食品份， ∵摄入的蛋白质总量不低于， 即，解得， 总能量表达式为， 故总能量随的增加而减小，当时，总能量最小， 此时最小总能量为， 所以，种食品份， 应选用A、B两种食品分别为2份和4份． 5．一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运费能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型运送，需运费8200元，分别选甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府决定用甲、乙、丙三种车型参与运送，设需甲车型a辆，乙车型b辆．已知它们共16辆，问：共有几种分配方案？哪种方案的运费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆 (2)共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；方案②运费最少，最少运费是7800元 【分析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解是解题的关键． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．根据两种方案得出运费解答即可． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得， 消去得，解得， 因a，b是正整数，且不大于16，得， 且是正整数，解得或， 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 两种方案的运费分别是： ①； ②． 答：共有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； 方案②运费最少，最少运费是7800元． 6．某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求原计划租用座客车的辆数和学生的总人数． 【答案】原计划租用座客车辆，学生总人数人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系建立方程组的方法是解题的关键．通过设未知数，根据“原计划租车的学生人数”这一等量关系，列出二元一次方程组，求解得到原计划租车数量和学生总人数． 【详解】解：设原计划租用座客车辆，学生总人数人 ， 解得. 答：原计划租用座客车辆，学生总人数人． 7．为有效落实好个人防护措施，当好自己健康的第一责任人，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，小明从药店得知，购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元． (1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价； (2)妈妈给了小明50元钱的预算，需要购买此口罩和酒精湿巾共13包，小明最多可以购买口罩多少包？ 【答案】(1)每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元 (2)小明最多可以购买口罩5包 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元，根据购买2包口罩和3包酒精湿巾，共需19元．购买5包口罩和1包酒精湿巾，共需28元建立方程组求解即可； （2）设小明购买口罩m包，则购买酒精湿巾包，根据总购买费用不超过50元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元； （2）解：设小明购买口罩m包，则购买酒精湿巾包， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的最大值为5， 答：小明最多可以购买口罩5包． 8．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)， (2)销售单价为18元 (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ，； （2）解：依题意得，， 解得，（舍去）， ∴销售单价应为18元； （3）解： 依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 9． “丹东三日游”的调研分析 背景 丹东是中朝边境的明珠．漫步鸭绿江断桥，回望历史烽烟；登临虎山长城，眺望两国风光；江畔夜景璀璨，地道黄蚬子鲜美．这是一座融合历史记忆、边城风情与自然美味的独特城市．为了让更多的人了解丹东，感受丹东深厚的文化底蕴，某旅行社推出“丹东三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“丹东三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“丹东三日游”的人数为1000人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到1440人． 素材二 该旅行社“丹东三日游”活动的初步方案为：40人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于700元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“丹东三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为40000元，求下调后每人的团费． 【答案】任务1：；任务2：800元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率公式、销售额公式是解题关键． 任务1：设增长率为，根据题意9月份人数1000人，则10月为，11月为，建立方程求解即可． 任务2：设下调团费为元，则团费降低的金额为，总人数为，列方程求解即可． 【详解】任务1：解：设10月、11月的平均增长率为， 根据题意，， ， 解得，（舍去）， 答：10，11两个月报名人数的月均增长率为． 任务2：解：设下调后每人的团费为元， 则团费降低的金额为，总人数为， 根据题意，， 整理得，， 解得，（因，舍去）， 答：下调后每人的团费为800元． 10．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元． (1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元? 【答案】(1) (2)当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款吉祥物每件的售价为元，则每件的销售利润为元，则月销售量为件． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 故当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元． 11．某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售_件，每件盈利_元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】(1), (2)每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元 (3)不能实现．见解析 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． 【详解】（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． （2）解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． （3）解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 12．问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离） 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)元 (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据素材中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）． （2）解：由题意列分式方程得：， 整理得，， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 13．题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”． (1)阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 解：设张老师骑车的速度为，依题意，得 (2)请写出完整的解题过程． 【答案】(1)其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍 (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方程中左右两个代数式的含义即可解答； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发， ∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间， ∴被墨迹弄污的条件应是：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． （2）解：设张老师骑车的速度为，则其余师生乘汽车的速度是， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 由，得． 答：张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度分别是和． 14．苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？ (2)若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值． 【答案】(1)苦荞茶每盒的进价为50元，苦荞面每盒的进价为30元； (2)y关于x的函数解析式为，y的最大值为4000． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设苦荞茶每盒的进价为x元，则苦荞面每盒的进价为元，根据商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒建立方程求解即可； （2）根据总利润等于每一盒的利润乘以销售量列出y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设苦荞茶每盒的进价为x元，则苦荞面每盒的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：苦荞茶每盒的进价为50元，苦荞面每盒的进价为30元； （2）解：由题意得， ， ∵，且， ∴当，即时，y有最大值，最大值为4000， ∴y关于x的函数解析式为，y的最大值为4000． 15．阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设折现率为，本金为1元，则1年后的总金额（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率（以此类推，n年后到期的金额，应连续折现n次，即n年后的1元相当于当前时刻的元）． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． (1)本金10000元，年利率为，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为___________元； (2)按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为___________元； (3)现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【答案】(1)10890 (2)9000 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单利法，计算出利息，再加上本金即可得到答案； （2）根据折现的计算方法求解即可； （3）设该方案的收益率为r，根据折现率（此时对应收益率）应该使取回金额折现后的总金额等于其本金建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴按照单利法，2年后可取回金额为10890元； （2）解：元， ∴按照（1）中的方案，设折现率为，2年后取回的金额在当前时刻的价值为9000元； （3）解：设该方案的收益率为r， 由题意得，， 解得（已检验，是原方程的解，且符合题意）或（舍去）， 答：该方案的收益率为． 16．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； (2)至少购进B品牌100袋． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据“该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同”，列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进B品牌为m袋，A品牌为袋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 学科网（北京）股份有限公司 $