数学一模保分卷03（江苏专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A F2 B B 折叠前 折叠后 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（   ） A．90 B．100 C．180 D．4050 2．（热点）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 4．随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（    ） A．21 B．20 C．19 D．18 7．以下四个命题表述正确的是（ ） A．若直线与互相垂直，则 B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C．已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 8．（新情景）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 10．存在实数，使下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（新情景）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 。 13．（改编题）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则 ． 14．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：   ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间： (2)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 16．（15分）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 17．（15分）平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 19．（17分）已知数列的前项和为，，数列满足：，且分别为数列第二项和第三项. (1)求数列与数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（   ） A．90 B．100 C．180 D．4050 2．（热点）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 4．随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（    ） A．21 B．20 C．19 D．18 7．以下四个命题表述正确的是（ ） A．若直线与互相垂直，则 B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C．已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 8．（新情景）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 10．存在实数，使下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（新情景）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 。 13．（改编题）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则 ． 14．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：   ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间： (2)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 16．（15分）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 17．（15分）平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 19．（17分）已知数列的前项和为，，数列满足：，且分别为数列第二项和第三项. (1)求数列与数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（   ） A．90 B．100 C．180 D．4050 【答案】A 【详解】因为集合中最大数为，集合中最小数为， 又，所以，所以.故选：A. 2．（热点）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数，则，复数，则，故， 复数对应的点为C，则，因为，所以，解得.故选：C． 3．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高，则圆台的高， 故石墩的体积为 .故选：C. 4．随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】由题意知,令, 即得,解得，解得， 结合，可知当时，，即k取6，7，8，9，10， 即一年中是“旺季”的月份有5个月，故选：C 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以.故选:B. 6．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（    ） A．21 B．20 C．19 D．18 【答案】B 【详解】依题意，时，，则得，解得，则， 由，可得，即， 两边取自然对数，，故.故降至需要至少20分钟.故选：B. 7．以下四个命题表述正确的是（ ） A．若直线与互相垂直，则 B．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则 C．已知双曲线，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 D．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为6 【答案】D 【详解】对于A，若直线与互相垂直， 则，解得或，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为，其准线方程为， 因为点在上，，即，故B错误； 对于C，由题意可得双曲线的渐近线方程为，焦点为， 由对称性不妨求右焦点到的距离，由点到直线的距离公式可得，故C错误； 对于D，椭圆的左焦点，设右焦点为， 圆的圆心，半径为1， ，当且仅当点在左顶点，点在原点时取等号，故D正确. 故选：D. 8．（新情景）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，即，所以，即. 由得.由得. 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以，即.令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立，所以在上单调递减. 又，，所以.综上可得，.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（    ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C．可以估计10月份的利润为26.8万元 D．5月份利润的残差为0.4万元 【答案】AC 【详解】依题意，， 将代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C正确； 将代入中，得到，则所求残差为，故D错误.故选：AC. 10．存在实数，使下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，又， 所以，不满足题意； 对于B，时，满足题意； 对于C，，当时取等号，，满足题意； 对于D，当时，，不满足题意， 当，左边，不满足题意，故选：BC. 11．（新情景）平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（   ） A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路” B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路” C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路” D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路” 【答案】ACD 【详解】在图1中，一共可以组成条线段，仅由1条线段组成的“通路”有个， 仅由2条线段组成的“通路”有个，由3条线段组成的“通路”有1个， 所以可以绘制个不同的“通路”，A正确． 在图2中，4个点两两连接，最多有条线段， 仅由3条线段组成的图形有个，但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”， 所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个，B错误． 在端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”， 所以可图2中，任意三点首尾相连可以组成个“回路”；由4个以绘制个不同的“回路”，C正确． 在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”； 由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）； 如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有种不同的选法， 如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来， 有种不同的选法，最后连接，如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有个． 故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确．故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 。 【答案】60 【详解】由题意 所以. 故答案为：60. 13．（改编题）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则 ． 【答案】0 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为，所以 ， 所以函数的图象关于点中心对称，则， 所以，故8是函数的一个周期． 因为，所以，， 因为，， 所以．故答案为：. 14．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：   ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接， 由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为， 当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确；    对于②，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有，所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，，，故梯形不是等腰梯形，故②不正确； 对于③，延长使得，则由对称性可知：，所以， 当三点共线时，取到最小值， 因为， 所以,即的最小值是，故③不正确； 对于④，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，，所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧，    如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故④正确；故答案为：①④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递增区间： (2)若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)对称中心为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1） ，（2分） 由，得， 所以函数的对称中心为，（4分） 由，得， 所以函数的单调递增区间为；（6分） （2）因为，可得，所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，解得，（7分） 又因为锐角外接圆半径为，所以， 所以，（8分） 所以 ，（10分） 又因为为锐角三角形，所以，所以，所以，（11分） 所以，所以，所以，又， 所以，所以周长的取值范围为．（13分） 16．（15分）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】(1)两种游戏中第二次摸到白球的概率均为；(2)； (3)，游戏一的“不确定性”更高. 【详解】（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则；（1分） 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则；（3分） （2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，，（5分） 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，，（7分） 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ；（9分） （3）由（2）知， ；（11分） 同理 .（13分） 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高.（15分） 17．（15分）平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程.（3分） （2）由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交，（4分） 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则，（6分） 由弦长公式可得：.（8分） （3）当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或，即，（10分） 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 故，（11分） 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得（13分） 平面的一个法向量为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即；（3分） （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立，（4分） 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，所以，得；（6分） 当时，，，（8分） 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为.（10分） （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即，（12分） 令，则，所以，即，（14分） 所以 .（17分） 19．（17分）已知数列的前项和为，，数列满足：，且分别为数列第二项和第三项. (1)求数列与数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)，；(2)(3). 【详解】（1）（1）， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，（2分） 所以，，则，所以；（4分） （2）由（1）可得，， 令①， 所以②， ①-②可得， ， 所以，（7分） 令， 令，则 则（11分） （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，（12分） 若，则，与已知矛盾；（13分） 若，则，与已知矛盾，所以，，（14分） 又因为， 所以，， 即、2、3、…、n，共个解，故.（17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C C B B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】60 13．【答案】0 14．【答案】①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)对称中心为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1） ，（2分） 由，得， 所以函数的对称中心为，（4分） 由，得， 所以函数的单调递增区间为；（6分） （2）因为，可得，所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，解得，（7分） 又因为锐角外接圆半径为，所以， 所以，（8分） 所以 ，（10分） 又因为为锐角三角形，所以，所以，所以，（11分） 所以，所以，所以，又， 所以，所以周长的取值范围为．（13分） 16．（15分） 【答案】(1)两种游戏中第二次摸到白球的概率均为；(2)； (3)，游戏一的“不确定性”更高. 【详解】（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则；（1分） 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则；（3分） （2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，，（5分） 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，，（7分） 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ；（9分） （3）由（2）知， ；（11分） 同理 .（13分） 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程.（3分） （2）由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交，（4分） 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则，（6分） 由弦长公式可得：.（8分） （3）当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或，即，（10分） 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 故，（11分） 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得（13分） 平面的一个法向量为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即；（3分） （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立，（4分） 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，所以，得；（6分） 当时，，，（8分） 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为.（10分） （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即，（12分） 令，则，所以，即，（14分） 所以 .（17分） 19．（17分） 【答案】(1)，；(2)(3). 【详解】（1）（1）， 当时，， 当时，，满足上式， 所以，（2分） 所以，，则，所以；（4分） （2）由（1）可得，， 令①， 所以②， ①-②可得， ， 所以，（7分） 令， 令，则 则（11分） （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，（12分） 若，则，与已知矛盾；（13分） 若，则，与已知矛盾，所以，，（14分） 又因为， 所以，， 即、2、3、…、n，共个解，故.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $