第七章 4 事件的独立性&专题探究4 概率与统计的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

§4事件的独立性 白题基础过关 限时：15mim 题组1判断事件的相互独立性 4.(2025·江西景德镇一中高一期末)已知 1.·(多选)(2025·辽宁沈阳高一期末)若 某药店只有A,B,C三种不同品牌的N95口 P(MB)=石P(A)=号，P(B)=,则下列说 2 罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌 的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分 法正确的是 别是0.2,0.3，买B品牌口罩的概率分别为 AP4)=号 0.5,0.4,则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩 B.事件A与B不互斥 的概率为 () C.事件A与B相互独立 A.0.7 B.0.65C.0.35 D.0.26 D.事件A与B不一定相互独立 5.高一年级某同学为了丰富自己的课外活 2.从1,2,3,4,5中任取2个数字，组成没有 动，参加了学校“足球社”“篮球社”两个社团 重复数字的两位数 的选拔，该同学能否成功进入这两个社团相 (1)求组成的两位数是偶数的概率： 互独立.假设该同学能够进入“足球社”“篮球 (2)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件 社”两个社团的概率分别为a,b,该同学只进 “组成的两位数是3的倍数”是否独立. 入一个社团的概率为，且两个社团都进不了 的概率为 0则6 B司 题组2相互独立事件的概率计算 6.(2025·江西九江高一期末)如图，某电 3.·(多选)(2025·河南南阳高一期末)甲、 子元件由A,B,C三种部件组成，现将该电子 乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题 元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A, 的概率是子，乙解出此问题的概率是子则下 B,C三种部件不能正常工作的概率分别为 4 列说法正确的是 ( A.甲、乙都解出此问题的概率是8 32,各个部件是香正常工作相互独立，A,B 11 5 同时正常工作或C正常工作则该电子元件 B.甲，乙都未解出此问题的概率是3】 能正常工作，那么该电子元件能正常工作的 C.甲，乙恰有一人解出此问题的概率是 概率是 5 D.至少有一人解出此问题的概率是！ 第七章黑白题145 黑题 应用提优 限时：25min 1.(多选)(2025·河南南阳高一期末)已知5.鞋(2024·陕西渭南高一期末)一题多解是 事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3 由多种途径获得同一数学问题的最终结论， P(B)=0.2,则下列说法正确的是 ( 一题多解不但达到了解题的目标要求，而且 A.若B发生时A一定发生，则P(AB)=0.3 让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式 B.若A与B互斥，则A和B都不发生的概率 的束缚学生多角度、多方位地去思考解题的 为0.5 方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解 C.若P(AB)=0.24,则A与B相互独立 题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学 D.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.44 解题更加丰富多彩假设某题共存在4种常规 2.(2025·江西南昌高一期末)甲、乙两人 解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的 组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮 复率分别为PP,号且各种方法能香答对 竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概 互不影响，小红使用四种解法全部答对的概 率为？，乙每轮答对的概常为子在每轮克答 率为8 中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互 (1)求p的值： 不影响，则“星队”在两轮竞答中答对3道题 (2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解 目的概率为 ( 法答对的概率（结果用分数表示） 滑 8 B. 5 15 3.小刚参与一种答题游戏，需要解答A,B,C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a, “,2且各题答对与否互不影响，若他恰好能 1 答对两道题的概率为 ,则他三道题都答错的 概率为 ( 1 N. 3 C.4 D. 4.韩(2025·辽宁鞍山高一期 压轴挑战 末)在荷花池中，有一只蜻蜓在 成品字形的三片荷叶上飞来飞 设样本空间2=11,2,3,4,5 6,7,8}含有等可能的样本点，且事 去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆 件A={1,2,3,4},事件B={1,2,3,5},事件C= 时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的 11,m,n,8,使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),且 3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在A叶上，则飞 满足A,B,C两两不独立，则m+n 三次之后停在A叶上的概率是 必修第一册·BS黑白题146 专题探究4概率与统计的综合应用 黑题 专题强化 限时：25min 1.(2025·江西景德镇一中高一期末)手机2.#某单位开展岗前培训期间，甲、乙2人参 运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了 加了5次考试，成绩（单位：分）统计如下： 职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下 第一 第二 第三 第四 第五 频率分布直方图： 考试次数 次 次 次 次 次 ·频率 组距 甲 82 82 79 95 87 成绩 0010------- 乙 95 75 80 90 85 0.008 0.006 (1)根据有关统计知识回答问题：若从甲、乙 0.004 0.002 2人中选出1人上岗，你认为选谁合适？ '5070901101301501701%0210百步 请说明理由。 (1)求直方图中a的值，并由频率分布直方图 (2)根据有关概率知识解答以下问题：若一次 估计该单位职工一天步行数的中位数： 考试两人成绩之差的绝对值不超过3分， (2)若该单位有职工200人，试估计职工一天 则称该次考试两人“水平相当”.以上述 行走步数不大于13000的人数： 5次成绩统计为依据，任意抽取两次考试 (3)在(2)的条件下，该单位从行走步数大于 成绩，求至少有一次考试两人“水平相当” 等于15000的3组职工中用分层抽样的 的概率 方法选取6人参加远足拉练活动，再从 6人中选取2人担任领队，求这两人均来 自区间[150,170)的概率 第七章黑白题1473.C解析：大量重复试验，由表格知该射击运动员射中8环以 上的频率稳定在0.8附近，所以估计这名运动员射击一次射 中8环以上的概率为0.8.故选C 4C解标：由愿意合格率为P:识，因此合格品件数 .1 约为20 2019(万件)，故选C 5.8解析：因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的 频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋 中有x个绿球，因为袋中有9个红球，3个白球，所以g+3+ 0.4.解得x=8.故答案为8. 6.解：(1)067 0.901,所以①2对应的频率分 1200 089,2163 2400 别为0.889,0.901. (2)从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的 鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可 估计该种鱼卵解化成功的概率为09. (3)大概需要鱼卵500 5600(个). 0.9 果题 应用提优 1A解析：由愿意可知投蓝命中的频率为，物-Q6,得到的 频率可能比概率大，也可能比概率小，也可能等于概率」 枚A正确，C错误：投蓝10次或100次相当于做10次或 100次试验，每一一次的结果都是随机的，其结果可能一次没 中，或者多次投中等，频率、概率只反映事件发生的可能性的 大小，不能说明事件是否一定发生，故BD错误故选A 2,D解析：任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机 性，即频率（频数与试验次数的比值）具有随机性，而随试验 次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性， 则投掷100次的试验中，事件A发生的频数无法确定.故 选D. 3.AB解析：可回收物约占生活垃圾的比例为 30+200+40+30 ×100%=30%,所以A正确：生活拉圾投放措 1000 300+200+50+60Y 误的概率约为1- ×100%=39%.所以 1(000 B正确：因为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四 类垃圾箱中投放正确的概率为300.30.200_2050.5 37037'31031'12012 603 30.20.5、3 200它们的大小关系为：37引20所以C错误： 300+80+20+100=125. 2=(300-125)产+(80-125)2+(20-125)2+(10-125)2 4 1752+452+105+25 =11075,所以D错误.故选AB 4 4.C解析：因为一个装有大小，形状和质量完全一样的50个 白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红 球的概率都为)，因此，这20人中，回答了第一个问题的 有100人，而一年12个月中，奇数的占一半，所以对第一个 必修第一册·BS 问题回答“是“的概率为2，所以回答第一个问题的100人 中，约有50人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问 题的100人中，约有56-50=6人回答了“是”，所以可以估计 出该地区每周至少运动三次的人数的比例约为6%.故选C 5.0.4解析：由题意，将买猪肉的 人组成的集合设为A,买其他肉 10 的人组成的集合设为B,则韦恩图 货肉3知 头2均 如图AnB中有30人.C,(AUB) 20 4 指 中有10人，又因不买猪肉的人 有30位，所以BnC,A中有20人，所以只买猪肉的人数为 100-10-20-30=40,所以这一天该市场中只买猪肉的人数 与企市场中人数的比值的估计值为物Q4放答案为Q4 6.0.210.18解析：赔付金额大于投保金额的颓率为 600+80+10+120+900.21,估计赔付金额大于投保金额的 120+90 概率为0.21，在样本车辆中，车主是新司机的占15%，故投保 的新司机人数为15%×(600+80+110+120+90)=150，在培付 金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即 90×30%=27(人)，估计在已投保的新司机中，获赔金额为 450元的概率为忍018放答案为021.01促 7.解：(1)由频率等于频数除以总数知，抽取的学生总数为 0.05100(人)，所以22+(22+d)+(22+2)+(22+3d)=100. ,d=2,因此各班被抽取的人数分别是22,24.26,28. (2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，分数不低于90分 的概率等于1减去分数低于90分的概率，而分数低于90分 的概率等于0.05+0.20=0.25，因此所求概率为1-0.25=0.75. 8.解：(1)根据折线图可知，随着调查次数的增加，红色的频率 逐渐稳定在0.2附近. (2)由题图可知，红色的频率基木在0.2附近浮动，所以中学 生选取红色的概率是0.2. (3)由题图可知，中学生选取蓝色、红色，绿色、紫色及其他 颜色的概率估计值分别是0.4,0.2,0.2,0.1,0.1，故可安排生 产蓝色，红色、绿色、紫色及其他颜色的笔袋产量的比例大约 为4：2：2：1：1（合理即可）. §4事件的独立性 白题 是础过关 1.BC解析：.P(A)= P)=1号行，故A错误：又 2 1 P(AB)=60事件A与B不互斥，故B正确：P(A) P(B)= :上×1==P(AB),则事件A与B相互独立，故 3×261 C正确；：事件A与B相互独立，.事件A与B一定相互独 立，故D错误，故选BC 2.解：(1)设事件A:“组成的两位数是偶数”，则样本空间2 112,13,14,15,21,23,24,25,31.32,34.35,41,42.43,45,51 .544=24,24,32,34,42.5254,放P 即组成的两位数是偶数的：率是号 5 黑白题02 (2)不独立，理由：设事件B:“组成的两位数是3的倍数” 则B=112,15,21,24,42,45,51.54,AB=112,24,42,54,故 Pr=8号P)=若5放P)≠PP(B. 即事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3 的倍数”不独立 四方法总结 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)根据生活常识进行判断： (2)通过概率计算进行判断，若P(AB)=P(A)P(B),则事 件A与事件B相互独立，若P(AB)≠P(A)P(B),则事件A 与事件B不相互独立. 3.AC解析：记甲解出此题为事件A.乙解出此题为事件B,A 与B为相互独立事件则P4=子，P代B)=子由PB)= P0·团=号×行营放A正确： 由P(AB)=P)·P(B)=[-P(A)]·[I-P(B)]=3× 专石故里结误： 记事件C为甲，乙恰有一人解出此问题，则C=AB+AB,所以 P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A). [1-P1I-1P(=子x兮×号g子 故C正确： 记事件D为至少有一人解出此间题，P(D)=I-P(AB)=1- 古片故D错误放选C 4,C解析：由题意，得甲、乙两人买C品牌口罩的概率都是 0.3,所以甲，乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为P= 0.2×0.3+0.5×0.4+0.3×0.3=0.35.故选C 1 a(1-b)+(1-a)b=5· a+b-2ab=5* 5.B解析：依题意， 即 1-a)(1-b)= 3 a+b-b=10 两式相或得ab=宁放选B 解析：设上半部分正常工作为事件M,下半部分正常工 作为事件N,该电子元件能正常工作为事件E.:P(M)= (-)x(P(0=1-P(0=1-号 P(NM=2P(N)=1-P(N)=P(E)=1 1 PM)P(N)=12X24 113 .即该电子元件能正常工作的概 率是故答案为子 3 黑题应用握优 1,BCD解析：对于A,由“若B发生时A一定发生”可知 BCA,故AB=B,所以P(AB)=P(B)=02,故A错误： 对于B,由事件A与事件B互斥可知P(A+B)=P(A)+ P(B)=0.5,故事件A和事件B都不发生的概率为1-P(A+ 参考答案 B)=0.5,故B正确： 对于C,由题知P(A)=0.3,P(B)=0.8.故P(AB)= P(A)P(B)=0.24,所以事件A与事件B相互独立，故事件A 和事件B相互独立，故C正确： 对于D,若事件A和事件B相互独立，则事件A与事件B相互 独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56.故P(A+B)=1- P(AB)=0.44,故D正确.故选BCD. 2.B解析：设A,A,分别表示甲两轮答对1道，2道题目的事 件，B1,B分别表示乙两轮答对1道，2道题目的事件，则 Pa)=号x-）小(-)x房号P4) 居()子x()号号 以么)-（侣）厂-专设4=两轮活动显队'答对3道题 目”，则A=A,B,UAB,因为A,B2与AB,互斥，A,与B2,A 与B,分别相互独立，所以P(A)=P(A,B2)+P(A,B,)= P4)PB)+P(4)P(B,)=×4号X-2因此.“是 25925975 队~在两轮支答中答对3道题目的概率是袋，故选队 3.C解析：记小刚解容A,B,C三道题正确分别为事件D,E, F,且D,E,F相互独立，且P(D)=P(E)=a,P(F)=恰好 能答对两道题为事件DEF+DEF+DEF,且DEF,DEF,DEF两 两互斥，所以P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+ P(DEF)=P (D)P(E).P(F)+P(D)P(E)P(F)+ PDRE)P月=aaxl-）ax1-a)x1-o)Xax 子整理得1户=号他三道题都答错为事件DE下.故 DEF)P(D)P(EPF)=((1-(1- 号故选 a)2= 四方法总结 在求事件的概率时，有时会遇到求“至少”或“至多”等事件 概率的问题，如果从正面考虑这些问题，求解过程比较繁 货，当这些事件的对立喜件十分简单，其概年极易求出时： 可逆向思考，先求出其对立事件的概事，再利用公式求解 7 4. 解析：由题意，知蜻蜓沿逆时针方向飞的概率是子，沿 顺时针方向飞的概率是子 蜻蜓飞三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A一→B→ C一A,此时停在A叶上的概率P=子×子×子=第二条， X 按A一G一→B一，此时停在A叶上的概率B=4×4 11 464 所以飞三次之后停在A叶上的概率P=P,+=64616 2717 故答案为6 黑白题083 5.解：(1)由题意知，小红使用解法一，二.三，四答对的概率分 11 别为PP,4,3(>0),且各种方法能否答对互不影响，由 红使用四种解法全部答对的概率为4织得p×,× 1 48心p=2 (2)设小红使用解法一，二、三，四答对的事件分别为A,B, C.D. 有三种解法答对的事件为E,则P(A)=P(B)=了，P(C)= 4,PD)=,故PE)=P氏ABCD+P(ABCD)+P(ABCD+ 压轴挑战 B解析：由题意，P(A)=P(B)=P(C)=,所以P(ABC)= Pr)P(P(C)-号所以1是4，A.C共同的唯一的样本点 又A,B,C两两不独立，即P八(AB)≠子，P(BC)≠ ,P(AC)≠ m,n不可以为4或5，所以m,n为6或7 故答案为13. 专题探究4概率与统计的综合应用 黑题 专型强化 1.解：(1)由题意得20x(0.002+0.006+0.008+a+0.010+0.008+ 0,002+0.002)=1.解得a=0.012. 设中位数为110+x,则0.002×20+0.006×20+0.008×20+ 0.012x=0.5,解得x=15,所以中位数是110+15=125. (2)由200×(0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012×20)= 112(人)， 所以估计职工一天行走步数不大于13000的人数为112. (3)在区间(150,170]中有200×0.008×20=32（人），在区间 (170,190]中有200×0.002×20=8（人）.在区间(190,210]中 有200×0.002×20=8（人）. 按分层抽样抽取6人，则从(150.170]中抽取4人，从(170 190]中抽取1人，从(190.210]中抽取1人： 设从(150.170]中抽取职工为a,6,c,d,从(170,190]中抽取 职工为E,从(190,210]中抽取职工为F, 则从6人中抽取2人的情况有ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE bF,cd.cE,cF,dE,dF,EF,共15种，它们是等可能的 其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab,ac,d,bc, 仙.d,共6种情战，所以P=名号所以两人均来自区铜 (150.170)的概率为号 2.解：(1)选甲合适.理由：甲的平均成绩x甲= 82+82+79+95+87=85,乙的平均成绩z= 5 必修第一册·BS 95+75+80+90+85 =85,故甲，乙二人的平均水平一样甲的 度续的方差名=写三（化，）产=3L6,乙的成绩的方 差2兮化)户e50,所以<妮.说明甲的成锁更食 定故选甲合适 (2)从5次考试的成绩中，任意取出2次，所有的基本事件 有10个，其中满足至少有一次考试两人“水平相当”的有 (79.80)和(87.85)，(79,80)和(82.95)，(79.80)和(82. 75).(79,80)和(95,90)，(87.85)和(82,95).(87,85)和 (82,75),(87,85)和(95,90)，共有7个，故所求事件的概 率为 第七章章末检测 1.A解析：某种疾病的治愈率为10%，对于A,患此疾病的病 人被治愈的可能性为10%，故A正确：对于B,某医院接收 10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性均为10%，故 不一定有一位病人被治愈，故B错误：对于C,如果前9位病 人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误：对 于D,某医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈 的，故D错误故选A 2.C解析：取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事 件包含的样本点为(1,3)，(2,4).(3,5)，(1,5)，所以取出 的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样 本点个数为4故选C 3.C解析：对于A.事件至少行1名男生包括恰有1名男生和 全是男生两种情况.故A项错误： 对于B,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生 两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B错误： 对于C,事件恰有1名男生指恰行1名男生和1名女生，与 事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C正确： 对于D,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生 两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女 生两种情况，两个事件有交事件为恰有1名男生和1名女 生，故D项错误.故选C 4.B解析：记能开门的钥匙为A,不能开门的钥匙为1,2，则前 两次尝试的可能结果为(1，A),(1,2),(2,A),(2,1), (A,1),(A,2),共有6种，其中符合题意的选择是第一次取 到不能打开门的钥匙，第二次取到能打开门的钥匙，即 (L,A),(2,4),共2种，从而由古典概型概率计算公式可得 所求概率为P=名-放选以 5.B解析：由题图可知，有0根阳线的有一卦，记为a,有1根 阳线的有三卦，记为b,b,6,有2根阳线的有三卦，记 为C,C,1,有3根阳线的有一卦，记为d.从八卦中任取两 卦，可能的结果有(a,b,),(a,b),(a,b),(a,c),(a,), (a,c),(a,d),(b1,b2),(b1,b),(b,c1,(b,e), (b,c3),(b,d).(b2,b),(b2,c),(b,),(b2c3),(b d),(bc1),(b,c),(6,c3),(b,d),(c,c）,(c,c3), (c,d),(,c),(c2,d),(c,d),共有28种，其中满足阳线 之和为4的有(b,d).(b2,d),(b,d),(c,c）,(c,c), 黑白题0B4