第六章 统计-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第六章　统计 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷饮中抽取了20种冷饮,对其质量进行了抽检,则(　　) A.该市场监管局的调查方法是普查 B.个体是每种冷饮的质量 C.总体是超市在售的40种冷饮 D.样本容量是该超市的20种冷饮 2.制造业采购经理指数是一个衡量制造业活动水平的经济指标,高于50%表示经济活动扩张,低于50%表示经济活动收缩.已知2024年1月~10月中国制造业采购经理指数依次为49.2%,49.1%,50.8%,50.4%,49.5%,49%,49.4%,49.1%,49.8%,50.1%,则这10个数据的75%分位数为　　(　　) A.49.1%　　　　B.49.4%　　　　C.49.8%　　　　D.50.1% 3.为了弘扬中华优秀传统文化,某市组建了一支72人的宣传队,其中男队员27人,女队员45人,按性别采用分层随机抽样的方法,从全体队员中抽出一个容量为24的样本,那么女队员应抽取的人数为(　　) A.18　　　　B.16　　　　C.15　　　　D.9 4.某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试,先将40个零件进行编号,编号分别为01,02,…,40,然后从中抽取8个样本,下面提供随机数表的第1行到第3行: 0347　4373　8636　9647　3661　4698　6371　6202 9774　2467　6242　8114　5720　4253　3237　3214 1676　0227　6656　5026　7107　3290　7978　5336 若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据,则得到的第5个样本编号是(　　) A.37　　　　B.32　　　　C.14　　　　D.16 5.下图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中,各射击10次的成绩的折线图和表示平均数的水平线,经过计算,四人成绩的方差关系为:=,=,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 6.已知参观某次航展的中小学生人数和航展模型的购买率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展模型的购买情况,用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查,则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数(估计值)分别为(　　) 　 A.200,24　　　　B.200,28 C.100,24　　　　D.100,28 7.已知一个容量为10的样本的平均数为5,方差为1.6.现将样本中的3个数据4,5,6去掉,则剩余样本的平均数和方差s2分别是(　　) A.5,1　　　　B.5,2 C.5,3　　　　D.4,3 8.若某同学连续三次考试的名次(第一名记为1,第二名记为2,以此类推,且可以有名次并列的情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是(　　) A.甲同学:平均数为2,中位数为2 B.乙同学:平均数为2,方差小于1 C.丙同学:中位数为2,众数为2 D.丁同学:众数为2,方差大于1 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击,成绩(单位:环)依次为6,5,7,8,6,7,9,7,9,5,则下列说法中正确的是(　　) A.这组数的众数为7 B.这组数的中位数为5.5 C.若每个数都减去2,则这组数的均值也会减去2 D.若每个数都乘2,则这组数的方差也会乘2 10.某市教育局为了解网络教学期间的学生学习情况,从该市随机抽取了1 000名高中生,对他们每天的平均学习时间进行问卷调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　) A.这1 000名高中生每天的平均学习时间为6小时~8小时的人数为100 B.估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时 C.估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时 D.估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时 11.已知样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),则下列结论不正确的是(　　) A.样本乙的极差等于样本甲的极差 B.样本乙的众数大于样本甲的众数 C.若某个xi为样本甲的中位数,则yi是样本乙的中位数 D.若某个xi为样本甲的平均数,则yi是样本乙的平均数 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.进到太空的能力有多大,航天舞台就有多大.1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有0.3吨,“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭的运载能力达到25吨级,我国进入太空的能力达到世界一级水平.目前正在研究的计划于2027年发射的长征十号火箭,预计运载能力为70吨.假设某发射中心储备的A,B,C三种新型运载火箭零部件的数量比为3∶5∶8,用分层随机抽样的方法抽取48个零部件,则抽取A种零部件的个数为　　　　.  13.我国关于人工智能领域的研究十分密集,发文量激增,在视觉、智能语音、自然语言处理等基础智能研究方面实现全球领先,并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业,下图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十的国家及发表的论文数. 现有如下说法: ①这十个国家的论文发表数量的平均数为0.87万篇; ②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4万篇; ③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4万篇; ④德国发表论文数量约为美国的32%. 其中正确的是　　　　.(填序号)  14.为促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校开设了文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数,从全校随机抽取5个班级,设这5个班级参加科技课程的人数分别为x,y,z,m,n(x<y<z<m<n,x,y,z,m,n∈N*).已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9,方差为4,则z-9=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛,两人在相同条件下各射击100次,组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩(满分为10分,8分及以上为优秀),如下表所示: 甲的射击成绩/分 10 9 7 8 10 10 乙的射击成绩/分 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率,估计甲、乙两人射击成绩的优秀率; (2)分别求出甲、乙两人6次射击成绩的平均数与方差,以此为依据,判断哪名运动员的射击成绩更好. 16.(15分) “难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小,“难度系数”的计算公式为L=1-,其中L为难度系数,Y为样本平均失分,W为试卷总分.某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分为150分),用于对该校高二年级480名学生进行每周测试,测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示: 试卷序号i 1 2 3 4 5 考前预估难度系数Li 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下: 试卷序号i 1 2 3 4 5 平均分/分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分; (2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间可能存在偏差,设Li'为第i套试卷的实测难度系数,并定义统计量S=[(L1'-L1)2+(L2'-L2)2+…+(Ln'-Ln)2](n为试卷套数),若S<0.001,则认为试卷的难度系数预估合理,否则认为不合理.以样本平均分估计总体平均分,试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理. 17.(15分)某公司招聘销售员,提供了以下两种日工资结算方案:方案一,每日底薪100元,每售出一单提成2元;方案二,每日底薪200元,售出的前50单没有提成,从第51单开始,每售出一单提成4元.该公司记录了销售员的每日人均业务量,现随机抽取一个季度的数据,将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值; (2)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计知识为新聘销售员做出日工资方案的选择,并说明理由(同组中的数据用该组区间的中点值代替); (3)假设该销售员选择了你在(2)中所选的方案,已知公司现有销售员400人,他希望自己的收入在公司中处于前40名,则他每日的平均业务量至少应达多少单? 18.(17分)某中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数不低于0.85,则“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此,该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图(同组数据用该组区间中点值代替). (1)求频率分布直方图中x的值和样本的中位数(保留2位小数); (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中按组别采用分层随机抽样的方法选取30人进行座谈,求应选取评分在[60,70)内的学生人数; (3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由. 19.(17分)2024年10月27日,成都市举办了马拉松比赛,其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者的面试成绩的平均数和80%分位数(同组数据用该组区间中点值代替); (3)现用分层随机抽样的方法从以上各组中共选取20人,担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62分和40,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80分和50,请据此估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,,;n,,,两组数据总体的样本平均数为,则总体的样本方差s2=[+]+[+] 答案全解全析 1.B　 2.D　把这10个数据按照从小到大的顺序排列,即49%,49.1%,49.1%,49.2%,49.4%,49.5%,49.8%,50.1%,50.4%,50.8%. 又75%×10=7.5,所以75%分位数是从小到大排列后的第8个数据,即50.1%. 3.C　因为全体队员中女队员的占比为=,所以样本中女队员应抽取的人数为24×=15. 4.D　依题意从第2行第7列开始读数,依次为67(舍去),62(舍去),42(舍去),81(舍去),14,57(舍去),20,42(舍去),53(舍去),32,37,32(舍去),14(舍去),16,则满足条件的前5个样本编号依次为14,20,32,37,16,所以第5个编号为16. 5.A　由题中折线图可知,甲、丙的平均数的水平线高于乙、丁的平均数的水平线,即甲、丙的平均成绩相对较好;显然,比较题中甲、丙的折线图可知,甲的成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙的成绩相对于平均成绩的波动幅度,即甲的成绩更稳定,所以这四人中甲的成绩好且发挥稳定,应该选择甲. 6.D　样本量为(4 000+3 500+2 500)×1%=100,抽取的初中生总人数为100×=40, 所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为40×70%=28. 7.B　去掉前,平均数为=5,则得x1+x2+…+x10=50, 方差为[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2]=1.6,则(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2=16. 不妨设x8=4,x9=5,x10=6,则===5, s2=[++…+-(4-5)2-(5-5)2-(6-5)2]=×(16-2)=2. 8.D　甲同学三次考试的名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由中位数为2,得出三次考试名次均不超过3,断定甲是尖子生;乙同学三次考试的名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由方差小于1,得出三次考试名次均不超过3,断定乙是尖子生;丙同学三次考试的名次数据的中位数为2,众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,故丙可能是尖子生;丁同学三次考试的名次数据的众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,不妨假设其中有两次名次是2,另一次名次为x,经验证,当x=1,2,3时,方差均小于1,故x>3,断定丁不是尖子生. 9.AC　将成绩从小到大排列为5,5,6,6,7,7,7,8,9,9, 这组数的众数为7,故A正确; 这组数的中位数为从小到大排列后的第5,6个数的平均数,为7,故B错误; 若每个数都减去2,则这组数的均值也会减去2,故C正确; 若每个数都乘2,则这组数的方差会乘4,故D错误. 10.BCD　对于A,由题图可知,这1 000名高中生每天的平均学习时间为6小时~8小时的人数为0.10×2×1 000=200,故A错误; 对于B,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,故B正确; 对于C,设抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时,则0.05×2+0.10×2+0.25×(k-8)=0.6,解得k=9.2,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时,故C正确; 对于D,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的平均数为0.05×2×5+0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6(小时),由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时,故D正确. 11.ABD　由样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),知样本乙的极差不等于样本甲的极差,故A中结论不正确; 样本乙的众数不一定大于样本甲的众数,故B中结论不正确; 若某个xi为样本甲的中位数,则由中位数的性质得yi是样本乙的中位数,故C中结论正确; 当某个xi为样本甲的平均数时,yi不一定是样本乙的平均数,故D中结论不正确. 12.答案　9 解析　应抽取A种零部件的个数为×48=9. 13.答案　①② 解析　这十个国家的论文发表数量的平均数为×(3.3+2.3+0.6+0.6+0.4+0.4+0.3+0.3+0.3+0.2)=0.87(万篇),故①正确; 这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4万篇,故②正确; 这十个国家的论文发表数量的众数为0.3万篇,故③错误; 德国发表论文数量约为美国的×100%≈18.2%,故④错误. 14.答案　0 解析　依题意得=9, =4, 化简得x+y+z+m+n=45,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20. 易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4,则x+y+z+m+n≤5n-10,可得n≥11. 又因为(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20, 所以9-x,9-y,9-z,9-m,9-n这5个数的绝对值不超过4,所以9-n≥-4,即11≤n≤13, 当n=13时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=4,该方程没有满足题意的解; 当n=12时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=11,由x<y<z<m<n,x,y,z,m,n∈N*,得这四个平方数只能为9,1,0,1,则x=6,y=8,z=9,m=10,符合题意,此时z-9=0; 当n=11时,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=16,该方程没有满足题意的解. 综上,z-9=0. 15.解析　(1)由题表可知,甲的优秀率为,(2分) 乙的优秀率为.(4分) (2)甲运动员6次射击成绩的平均数=×(10+9+7+8+10+10) =9(分),(5分) 所以甲运动员6次射击成绩的方差=×[3×(10-9)2+(9-9)2+(7-9)2+(8-9)2]=,(7分) 乙运动员6次射击成绩的平均数=×(10+6+10+10+9+9)=9(分),(9分) 所以乙运动员6次射击成绩的方差为=×[3×(10-9)2+(6-9)2+2×(9-9)2]=2,(11分) 因为=,<,所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同,但是甲运动员的射击成绩更稳定,所以甲运动员的射击成绩更好.(13分) 16.解析　(1)由试卷2的难度系数得0.64=1-, 解得Y=54,(3分) 所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为150-54=96(分).(6分) (2)L1'=1-=0.68,L2'=1-=0.66,L3'=1-=0.62,L4'=1-=0.62,L5'=1-=0.58,(11分) 则S=×[(0.68-0.7)2+(0.66-0.64)2+(0.62-0.6)2+(0.62-0.6)2+(0.58-0.55)2]=0.000 5<0.001,(14分) 所以这5套试卷难度系数的预估合理.(15分) 17.解析　(1)由题图得(0.005×3+2a+0.03+0.015)×10=1,(1分) ∴a=0.02.(2分) (2)每日人均业务量的平均值为(30×0.005+40×0.005+50×0.02+60×0.03+70×0.02+80×0.015+90×0.005)×10=62(单),(4分) 方案一的人均日收入为100+62×2=224(元),(5分) 方案二的人均日收入为200+(62-50)×4=248(元),(6分) ∵248元>224元,∴选择方案二.(8分) (3)40÷400=0.1,即该销售员的收入超过了90%的公司销售人员. 由题中频率分布直方图可知,前5组的频率和为(0.005×2+0.02+0.03+0.02)×10=0.8,(9分) 前6组的频率和为(0.005×2+0.02+0.03+0.02+0.015)×10=0.95.(10分) 设该销售员的每日的平均业务量为x单, ∵0.8<0.9<0.95,∴(x-75)×0.015+0.8>0.9,(12分) ∴x>81,又∵x∈N*,∴x最小可取82,(14分) 故他每日的平均业务量至少应达82单.(15分) 18.解析　(1)由题图可知10×(x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1, ∴x=0.010.(3分) 样本的中位数为80+×10≈81.67(分).(6分) (2)低于80分的三组学生的人数之比为0.1∶0.15∶0.2,即2∶3∶4,(9分) 则应选取评分在[60,70)内的学生人数为30×=10.(12分) (3)由题图可知,认可程度平均分为55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5(分),(15分) 则认可系数为=0.795<0.85,∴“美食”工作需要进一步整改.(17分) 19.解析　(1)由题图得(0.005+a+0.045+0.020+0.005)×10=1,(2分) 解得a=0.025.(4分) (2)根据题意知这100名候选者的面试成绩的平均数为0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5(分).(6分) 设这100名候选者的面试成绩的80%分位数为x分,因为0.05+0.25+0.45=0.75<0.8,0.75+0.2=0.95>0.8, 所以x∈[75,85),(8分) 所以0.75+0.02×(x-75)=0.8,解得x=77.5, 故这100名候选者面试成绩的平均数为69.5分,80%分位数为77.5分.(10分) (3)设第二组和第四组的面试者的面试成绩的平均数、方差分别为分,,分,,则=62,=80,=40,=50, 两组的频率之比为0.25∶0.2=5∶4,(12分) 设第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为,方差为s2,则==70(分),(14分) s2=[+]+[+] =×[40+(62-70)2]+×[50+(80-70)2] =+=, 所以估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$