题型6 设问突破分类讨论-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

.当x=0时，y=3,C(0,3), .0C=0A=3,.A(-3,0). 抛物线的对称轴为直线x=-1,A,B两点关于对 称轴对称，.B(1,0), ∴.设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1), 将点C(0,3)代入得，a(0+3)(0-1)=3, 解得a=-1,.抛物线的表达式为y=-(x+3)(x -1)=-x2-2x+3. (2)x1+2>-2.-1-x1<x2-（-1), .点P比点Q距离对称轴更近 -1<0,∴.抛物线开口向下， .y1>y2. (3)设平移后顶点P(p,p-1), 则平移后抛物线的表达式为y=-(x-p)2+p-1. 平移后的抛物线与y轴的交点为D, ∴.令x=0,则y=-p2+p-1=-(p2-p)-1 :对于任意n都有(0-)产≥0， 3 “点D的纵坐标，的取值范围为n≤-子 类型2二次函数与几何图形综合题 【例】解：(1)·抛物线y=-x2+bx+c的顶点为 D(2,1), 轮 ∴.抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1=-x2+ 重 4x-3. 难 (2)由(1)知抛物线的表达式为y=-x2+4x-3, 培 令x=0,则y=-3,.C(0,-3). 优 令y=-x+4x-3=0,解得x=1或x=3, ∴.A(1,0),B(3,0), .直线BC的表达式为y=x-3. 设平移后的抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1-h, 令-(x-2)2+1-h=x-3, 整理得x2-3x+h=0, :该抛物线与直线BC始终有交点， 4=9-4h≥0，解得h≤ h的最大值为} (3)存在 由题意知，抛物线的对称轴为直线x=2, ∴.E(2,-1),.DE=2. 设点M(m,-m2+4m-3) 若以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形， 分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MW,则N(m,m-3), ∴.MN=l-m2+4m-3-(m-3)1=l-m2+3ml, ∴.1-m2+3m1=2, ∴.-m2+3m=2或-m2+3m=-2, 解得m=1或m=2(舍去)或m=37或 2 22 贵州新中考 类 m:3t2。点N的坐标为1.-2)或3， 32或33： 2 2 ②当DE为对角线时，易知DE,MN互相平分， 设点N(t,t-3), ∫m+t=2+2 l-m2+4m-3+t-3=1+(-1) 解2（合去03,0 综上所述，点N的坐标为(1，-2)或(3-回 -3,)或3+7，-31西)或3,0). 2 【变式】解：(1)抛物线y=-x2+bx+c过点A(-4,0), 点C(0,4), -{1+6=0降他3 lc =4 ∴.抛物线的函数表达式为y=-x2-3x+4. (2)存在”=--3+4=-(+2)2+至 4 “抛物线的对称轴为直线：一》 设M(-号，m), Ac2=32,Ar=2+,cn=?+(m-4月 :△ACM是以AC为斜边的直角三角形， :32=m+25+9+(m-4), 4+4 解得烟=2+或m=2- 2 ”点的坐标为(-22+)或(-号2-。 (3).A(-4,0),C(0,4), .直线AC的函数表达式为y=x+4. 设P(t,-t2-3t+4),则Q(t,t+4), 六四边形A0CP的面积=3×4×4+3×4(- -3t+4-t-4)=16-2(t+2)2, .当t=-2时，四边形AOCP的面积取得最大值， 为16，此时点P的坐标为(-2,6). 题型六几何综合探究题 设问突破 分类讨论 考向1点的对应关系不确定 【例1】解：：AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB 的中点，BD=子×12=6em 设点P,Q的运动时间为ts, BP 2t cm,PC =(8-2t)cm. AB=AC,.∠B=∠C ①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC,BP=CQ, .6=8-2t,解得t=1,BP=CQ=2, ∴.点Q的运动速度x=2÷1=2(cm/s); 学参考答案 ②当△BDP≌△CQP时，BP=PC,BD=CQ=6, ,:BC=8cm,∴.BP=4cm, .t=4÷2=2(s), ∴.点Q的运动速度x=6÷2=3(cm/s). 综上所述，x的值为2或3. 【变式1】解：在矩形ABCD中，AB=8,AD=3,E为 CD的中点，PQ⊥AE, ∴.DE=4,∠D=∠PQE=90°， .AE=√AD2+DE2=5. ①当△P0E△ADE时器=能， 学-华即0E=P0 4 AP AD=TAE PQ.PA :在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, .(5-QE)2+PQ=AP, (5-专P02+P0=AP, (5-专xAP+(AP2=A严， 解得4：瓷 ②当△PQE△EDA时.ED=DA PO QE 0=r0 由①得PQ:号P 在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, (5-子x号+(3P=AP 解得AP=4或AP=- (舍去). 综上所述，AP的长为或4 考向2点的位置不确定 【例2】解：如解图①，当点E在线段AC上时， .正方形ABCD的边长为2， .∠ACF=45°，AC=22. AE 2CE,..AE 4c=2 3 .EF⊥AC, EF=CE =22 3 AF =AE+EF=210 3 D 图① 图② (例2题解图) 贵州新中考娄 如解图②，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得AE=42,EF=2√2， .AF=√AE2+EF=2I0. 综上所述4的长为2不或2,10 【变式2】解：BC=BD+BF或BF=BD+BC, 证明如下：如解图①，当点D在线段AB上时， 过点D作DG∥AC交BC于点G (变式2题解图①) .:△ABC是等边三角形， .·.∠BDG=∠A=60°，∠BGD=∠BCA=60°， .∴.∠DBG=∠BDG=∠BGD=60°， .△BDG是等边三角形， .∴.∠EBD=∠CGD=120°，BD=BG 又：DE=DC,∠DEB=∠DCG. ∠EBD=∠CGD 在△BDE和△GDC中，{ ∠DEB=∠DCG, DE =DC .△BDE≌△GDC(AAS),.BE=GC. 又：DE和DF关于直线AB对称， 轮 .BE BF GC...BC BG GC BD BF. 重 如解图②，当点D在线段AB延长线上时， 难 过点D作DH∥AC交直线BC于点H. 培 优 H (变式2题解图②) 同理得△BDH为等边三角形， .BD=BH,∠EHD=∠CBD=120°. 又CD=DE,∠E=∠DCB. ∠EHD=∠CBD 在△DHE和△DBC中，{∠E=∠DCB DE CD ·.△DHE≌△DBC(AAS),∴.EH=BC. 又：DE和DF关于直线AB对称， .BF BE BH EH BD BC. 综上所述，BC=BD+BF或BF=BD+BC 考向3图形的形状不确定 【例3】解：：∠ABC=60°，DE∥BC, .∴.∠ADE=∠ABC=60°. 由折叠得∠FDE=∠ADE=60°， 学 参考答案 23 .∠BDF=180°-60°-60°=60°， 当∠BFD=90°时，如解图①， ∠BDF=60°，.∠DBF=30°， ∴.BD=2DF. 由折叠得DF=AD,.BD=2AD, .3AD=AB=12,.AD=4. C 图① 图② (例3题解图) 当∠DBF=90°时，如解图②， 同理可得AD=DF=2BD, 3BD=AB=12,.BD=4,.AD=8. 综上所述，AD的长为4或8. 【变式3】解：由翻折得AF=AB=5,BE=EF, 当AF=DF时，如解图①，此时点F在AD的垂直平分线 上，过点F作FM⊥AD于点M,延长MF交BC于点N, AM -ZAD =3..FM =4. :四边形ABCD为矩形，∴.易得四边形ABNM是矩形， .∴.∠BNM=90°，MN=AB=5. 二 .FN MN FM 1. 轮 设BE=EF=x,则EN=3-x. 重 在Rt△ENF中，EN2+FN2=EF, 难 .(3-x)2+1=x2, 培 解得x=5 优 ,.BE= 3 图① 图② (变式3题解图) 当AD=DF时，如解图②，过点F作FP⊥AD于点 P,延长PF交BC于点Q 设AP=y,则DP=6-y AF2 -AP2 DF2 -DP2, 、.52-y=62-(6-y)2,解得y=2 25 PF=AP-AP5119 .AP=25 12 :△ABE沿AE翻折得△AEF,.∠AFE=90° PE ·易得△APF△FQE,.AF=E0=B0-BE 5119 BQ AP 25. 部g-旺 5 12 12 24 贵州新中考 类 ·BE=EF,.BE=12-√119. 综上所述，8B-或12- 考向4图形的位置不确定 【例4】解：四边形ABCD是矩形 .∠B=∠BAD=90. 由折叠得∠PAB'=∠PAB=2∠BAB 如解图①，当∠BAB'=15°时， A B C (例4题解图①) 1 ∠PAB=2×15=7.5, .∠APB=90°-∠PAB=82.5. 如解图②，当∠DAB'=15°，且点B'在边AD下方 时，∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°， ∠PMB=7×75=37.5, .∠APB=90°-∠PAB=52.5°. 图② 图③ (例4题解图) 如解图③，当∠DAB'=15°，且点B在边AD上方 时，：∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°， 1 六∠PAB=2×105°=52.5， .∴.∠APB=90°-∠PAB=37.5. 综上所述，∠APB的度数是82.5°或52.5°或37.5 【变式4】解：如解图①，当点O'在线段AB的延长线 上时，：四边形ABCD为正方形，AB=2, .△BOC为等腰直角三角形，BC=2,BD=√2AB =22. 由旋转得BC'=BC=2,C',B,D三点共线， .C'D=BC'+BD=2+2W2. D B 0' B 图① 图② (变式4题解图) 如解图②，当点O'在线段AB上时， 同理可得C'D=BD-BC'=2√2-2. 综上所述，C'D的长为2+2√2或22-2. 女学 参考答案 类型1动点问题 【例】解：(1)30，BP⊥AC. (2)EC=2BE,理由如下： 如解图①，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到 △CBQ,连接EQ， ∴.BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC. .△BEQ为等边三角形， ∴.∠BEQ=∠BQE=60°，BE=EQ 点E在线段BP上，∠AEP=30°，∠PEC=60°， .∠AEB=∠BQC=150°， ∴.∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， ∴.∠BEQ=∠CEQ=60°， ∴.∠EQC=150°-60°=90°， ∴.∠ECQ=90°-60°=30. .·.EC=2EQ=2BE. H G (例题解图①) (例题解图②) (3).:在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=5, .AB AC BC 5. 如解图②，当点P在线段OA上时，记射线BP与AD 交于点H, .·AH∥BC,.∠AHB=∠CBH :∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, △HMB一△8EC招-e 设FG=x,则EF=BE=2x,则EG=3x, 9-经解得=9 AD∥BC,.△APH△CPB, 10 AH AP AP 3 2 BC PP元=5= 3 AP=5x号 2. 如解图③，当点P在线段OC上时，射线BP与AD的 延长线交于点H, (例题解图③) 同理可得∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120 ∴.△BAH△GEB. 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则FG=EG=m, 同理可得△API~△GPB2品-品=2， 贵州新中考 类 综上所述，4P的长为2或9 【变式1】解：(1)画出EN如解图①，EN=EM. B (变式1题解图①) (变式1题解图②) （2)留=k理由如下： 如解图②，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥AC于 点G,则∠BFE=∠CGE=90°. :在RL△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∠B=∠C=∠CEG=∠BEF=45°， .△BFE∽△EGC,EG=CG, “照-器-器-裙-大 EF .·∠BAC=∠NEM=90°， ∠ANE+∠AME=180°， ·.∠BNE=∠AME. :∠AFE=∠MGE=90, ·△FNE△CME.EM=EC=k EN EF (3)如解图③，当点E在线段BC上时，过点E作EF⊥ AB于点F, E 重 (变式1题解图③) BE 1 BC 8.CE=3BE 2,CE =6. 培 由(2)得BF=EF,∠B=∠BEF=45°， .EF=√2 ∠BEN=75°，.∠FEN=75°-45°=30°， EW=26 由(2)贫8能行 .EM=3EN=2√6，∴.MW=√EW2+EM= V25+26-4 3 如解图④，当点E在CB的延长线上时， 过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q,作EP⊥ AC交CA的延长线于点P, B 0 (变式1题解图④) 数学 参考答案 25 则∠NQE=∠EQB=∠P=∠PAB=90°， .四边形PEQA为矩形，QE=PA,∠QEP=90, c=8器=分 .BE=4.CE=12 :∠EQB=∠BAC=90°，∠EBQ=∠CBA, △0Bac4B器-8能=分 .AC 2E0 .EP PC PA AC EQ +2EQ =3EQ. .·∠NEQ+∠OEM=∠QEM+∠PEM=90° .∠NEQ=∠PEM,∴.△EQN△EPM, 器-器=3Bv=3N ∠BEN=75°，∠BEQ=45°，∴.∠NEQ=30°. :BE=4,.EQ=BE·c0s45°=22， EN=E。=46 c0s30° 43B1=3EV=46, .MN=√EN2+EM 4w6 3 +(46) =81⑤ 3 综上所述，MN=45或85 3 3 【变式2】解：(1)AE=EF (2)BG+BE2=EG,理由如下： 二 :四边形AEFG为矩形，由(1)得AE=EF 轮 、四边形AEFG为正方形，.AG=AE. 重 ·.·∠GAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE 难 ∴.∠GAB=∠EAD. 培 又：AB=AD,.△GAB≌△EAD(SAS), 优 ∴.∠GBA=∠EDA ∠BAD=90°，.∠ABD+∠EDA=90° .∠ABD+∠GBA=90°，即∠GBE=90°， .BG2 BE2 EG2. (3)如解图②，当点F在线段CB上时， 过点E作EN⊥AB于点N,作EM⊥BC于点M,交 AF的延长线于点Q, ∠ABC=90°，∴.tan∠FAB= FB 1 AB 4 .AB 4FB. 设FB=x,则AB=4x 由(1)可得△ANE兰 △FME,四边形NBME为 G 正方形， ∴.AN=FM,EN=EM BN BM, ∴.FB+AB=FB+BN +AN FB+BN+FM BN +BM =2BM =x +4x=5x, ·.EN=EM=BN= BM=2.5x, Q .FM=1.5x. (变式2题解图②) 26 贵州新中考 AB∥EQ, .△ABF△QMF, 将-路-=2 0=多h=6r AB∥EQ,.△ABP△QEP, 4x 8 2.5x+6x=17 BP 8 BE=25 如解图③，当点F在射线CB上时， 过点E作EM⊥BC于点M,作EN⊥AB于点N,交 AF于点Q, G B M (变式2题解图③) 设FB=x, 同上可得，四边形NBME为正方形，AB=4x,EN=EM BN BM 1.5x.AN FM AB BN 2.5x. ·QN∥FB,.△AQN△AFB, 8 8t, EQ QN+EN =5 8x+1.5x=1 8 .·QN∥FB,∴.△PFB∽△PQE, BP FB 8 BP 8 EP=E0=17BE=9 综上所述，附的值为或8 类型2几何图形的变换类 【例】解：(1)画出图形如解图①. 135 D D E B PC P C (例题解图①) （例题解图②) (2)PA=PE,理由如下： 过点P作PM∥AB交AC于点M,如解图②. ∴.∠MPC=∠ABC=45°， ∴.△PCM是等腰直角三角形， .∴.CP=CM,∠PMC=45°， .∴.CA-CM=CB-CP,即AM=BP, 学 参考答案 ∠AMP=135°=∠PBE. .·∠APE=90°， .∴.∠EPB=90°-∠APC=∠PAC ∴.△APM≌△PEB(ASA),∴.PA=PE (3)BA=√2BP+BE或BE=BA+√2BP.理由 如下： 当点P在线段BC上时，如解图②. 由(2)可知，△APM≌△PEB, .BE PM,BP AM. BA=√2(AM+CM),∴.BA=√2BP+V2CM. PM=√2CM,BE=PM,BA=√2BP+BE; 当点P在线段CB的延长线上时，过点P作PW⊥BC 交BE于点N,如解图③. D P B (例题解图③) :∠ABD=90°，∠ABC=45°， .·.∠PBN=180°-∠ABC-∠ABD=45°」 .∴.△BPN是等腰直角三角形，∠ABP=135°， .BP NP.BN =2BP.PNB 45. .∠PNE=135°=∠ABP. .·∠APE=90°，∴.∠EPN=90°-∠APN=∠APB, ·.△EPN≌△APB(ASA),.EN=BA. BE=EN+BN,∴.BE=BA+√2BP 综上，当点P在线段BC上时，BA=√2BP+BE;当 点P在线段CB的延长线上时，BE=BA+√2BP. 【变式1】解：(1)如解图①所示，等边三角形. G (变式1题解图①) (变式1题解图②) (2)EF=2AG,证明如下： 如解图②，过点A'作A'M∥GB交BE于点M. 由题意得BF⊥AA',A'G⊥AA',.A'G∥BE, ∴.四边形BGA'M是平行四边形. :△ABA'是等边三角形，BF⊥AA',A'G∥BE, .∠ABF=∠A'BF=∠A'BG=∠GA'B=30° ∴.A'G=BG,∠EBG=60°， ∴.四边形BGA'M是菱形. .A'M∥BG,∴.∠EMA'=∠EBG=60° .·∠BAD=90°，∠ABE=30°， ·.∠A'EB=∠AEB=60°， 贵州新中考 .△A'ME是等边三角形，.EM=MA'=A'G. BFEF=2EM=ZAM=2AG. (3)设AF=a,BF=b,则FA'=GN=a. 如解图③，当点E在线段AD上时，过点G作GN⊥ BE于点N. .BC=4,CG=2,∴.BG=2. BF⊥AA',AB⊥BC, .∠ABF+∠BAF=90°，∠ABN+∠GBN=90°， .∠BAF=∠GBN. .·∠AFB=∠GNB=90°，.∴.△AFB∽△BNG, BF GN b aa 2 AB=BG3=2心6=3 .·BF⊥AA',AB⊥BC, .∠ABF+∠FBH=90°，∠FBH+∠H=90°， .∴.∠H=∠ABF, 2 (变式1题解图③) (变式1题解图④)】 如解图④，当点E在线段AD的延长线上时，过点G 轮 重 作GN⊥BE于点N. 难 .·BC=4,CG=2,.BG=6. 培 同上可得△AFB~△BNG,.AB=BG, BF GN 优 6=2 b .BF⊥AA',AB⊥BC, .∠ABF+∠FBH=90°，∠FBH+∠AHB=90°， .∠A'HG=∠AHB=∠ABF, .'.tan∠A'HG=tan∠ABF, 、A'G-AF=0=2. AH=BF=6 综上所述9的值为号或2 【变式2】解：(1)60，EM=2BM (2)画出图形如解图①. BF+BE=√3BM,证明如下： A D E HF CN (变式2题解图①)》 敢学 参考答案 27 如解图①，延长BC至点N,使得FN=BE,连接 MN,过点M作MH⊥BC于点H, 由题意得ME=MF,∠EMF=120°，∠ABC=60°， .∠BEM+∠BFM=180°，∠MBH=30°. .:∠BFM+∠MFN=180°. .∴.∠BEM=∠MFN,.△BME≌△NMF(SAS), .BM MN, .BH HN. :在Rt△BMH中，∠MBH=30°， ems∠BI=g做-号aM=号Bw, .BN 2BH =3BM, .BF BE BF FN BN =3BM. (3)如解图②，当点G在线段BC上时 :在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3,CG=1, .AD=3,BG=3-1=2,BD=33. AD∥BC,∴.△ADM△GBM, 小册-船=号Bw=号m6 5 ME⊥AB,∠ABC=60°，∠EMF=120 MF⊥BC,∠MBF=30°， m∠s=8儒-g. 二 轮 BF=5BM=9 2 51 重 难 .FG BG-BF =2-9 =5 培 优 M 0. B FG (变式2题解图②) (变式2题解图③) 如解图③，当点G在线段CD上时，过点G作GH⊥ BC交BC的延长线于点H, .在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3,CG=1, ∴.DG=3-1=2,BD=33. AB∥CD,.△ABM∽△GDM, 8删=8-M-6w-’99 5 .:ME⊥AB,∠ABC=60°，∠EMF=120°， ∴.MF⊥BC,∠MBF=30°， cos∠MBF=BF-B BM=2 .BFBMCF-10 0 .'在Rt△CHG中，CG=1,∠GCH=60° cH=6H=是m=手 28 贵州新中考 类 FG =FIP+GHF=139 10 综上所述，G的长为5或 类型3几何图形的形状变化类 【例1解：160,7 (2)不发生变化，理由如下： 如解图①，延长AC交直线1于点Q, .∠ACB=90° .∠BCQ=90°. 又∠ABC=∠CBD,BC= BC, ∴.△ABC≌△QBC(ASA), B E D O Ac=c0=740 (例题解图①) AE⊥I,CD⊥1，.AE∥CD, △CD0∽△AEQ,.AE=A0 CD CO CD 1 (3)如解图②，过点C作CG∥DE分别交AE,AB于 点G,H,则四边形EDCG是矩形， .∠HCB=∠CBD. 又∠ABC=∠CBD, ∴.∠HCB=∠ABC, .HC HB. .·∠ACH+∠HCB=∠CAH +∠ABC=90°， B D (例题解图②) ..∠CAH=∠ACH .HC HA, .HA=HB,∴.H,G分别是AB,AE的中点， .∴.AE=2GE=2CD=4. ·CG∥DE,.△HCF△BEF, 能=E=子 3 设HC=2x,则BE=3x,GH=2,AB=4x 在Rt△AEB中，AE+BE2=AB2, 即42+(3x)2=(4x)2, 解得=4负值已含去. .BD DE-BE CG BE GH CH-BE 1 14√72√7 2x=2×7 71 【变式】解：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠DAB=∠B=90°， .∠BAE+∠EAD=∠DAB=90. ·DF⊥AE于点G,.∠AGD=90°， .∠ADF+∠EAD=90°. 学 参考答案 ∴.∠BAE=∠ADF r∠BAE=∠ADF 在△ABE与△DAF中，{AB=AD L∠ABE=∠DAF .△ABE≌△DAF(ASA),.DF=AE, (2).·四边形ABCD为矩形 ∴.AB=CD=6,BC=AD=8,∠C=∠ADE=90°， .∴.∠EDG+∠DFC=90°. .DF⊥AE于点G,∠DGE=90°， .∴.∠EDG+∠DEG=90°，.∠DEG=∠DFC, △AnE△RE-8-令-子 (3)如解图，构造矩形ABHC,延长AF交CH于点G, “怨=子设4B=ch A =3k,AC BH 4k. B D为AC的中点，.AD= 24c=2h, H ·.BD=√AD+AB=√3k (变式题解图) 由(2)得△ABD∽△CAG,. BD AB AD 3 AG=CA=CG=4’ 2313。3 CG4 AG 4 解得c6=4G-44色无 3 :四边形ABHC为矩形，.AB∥CG ∴.∠BAF=∠CGF,∠ABF=∠GCF, .△ABF△GCF, .AF=AB GF GC' 即AF 4-A =,解得AF=123, 17 F 123 17 :BD 12 √13k17 类型4图形的综合与探究类 【例1】(1)解：如解图①，PC即为所求.90. A D ■ —B C NB h (例1题解图①)（例1题解图②） (2)证明：如解图②，过点P作PC⊥OB于点C. 由(1)知四边形OAPC是矩形， 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB, .PA=PC,∴.四边形OAPC是正方形， 贵州新中考娄 ∴.OA=AP=PC=0C,∠APC=90°. PN⊥PM,∴.∠APM=90°-∠MPC=∠CPN. 又∠MAP=∠NCP=90°，AP=CP, .△APM≌△CPN(ASA),.AM=CN, ..OM ON OM +0C +CN OM AM +0C= OA +OC 2PA. (3)解：当点M在线段A0上时，如解图③，延长 NM,PA交于点G. 0 B (例1题解图③)》 由(2)知OM+ON=2AP, 设OM=x,则0N=3x,0A=AP=2x, .∴.AM=AO-OM=x=OM. .·∠MON=∠MAG=90°，∠OMN=∠AMG, .△MON≌△MAG(ASA),.AG=ON=3x. ·AP∥OB,∴.△PGF△OWF, …限-祭“2子…张= 3x 当点M在AO的延长线上时，如解图④， 二 -B 重 G M 培 (例1题解图④) 过点P作PC⊥OB于点C,延长PC交MN于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形， .OA=AP=PC=OC,∠APC=90°，PC∥AO. .PN⊥PM, .∴.∠APM=90°-∠MPC=∠CPN 又：∠A=∠PCN=90°，AP=CP, .△APM≌△CPN(ASA),.AM=CN, ..ON-OM OC CN OM A0 +AM -OM 2A0. 设OM=x,则0W=30M=3x, .∴.AO=x,CN=AM=2x. .PC∥AO,.△CGN∽△OMN, 小%祭即华票06等 .·PC∥AO,∴.△PGF∽△OMF, 综上所述的值为号或 敢学 参考答案 29 【例2】解：(1)B. (2)如解图①，AB即为所画切痕， (例2题解图①) (3)答案不唯一，如解图②③所示 方法一：AC,BC,CD即为所画切痕. (例2题解图②) （例2题解图③) 方法二：OA,OB,OC即为所画切痕. 方法一依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半（作三角形的一条高线，把三角形分成两个直 角三角形，再分别画两个直角三角形斜边上的中 线，可分出4个等腰三角形). 方法二依据：三角形的外心到各顶点的距离相等 (作三角形的外心到三个顶点的连线，可把三角形 分成3个等腰三角形) 不存在点P,使切法满足PA=AB,PB=BC,PC= 二 CD,PD DA 轮 如解图④，假设能取点P 重 则∠a+∠B+∠y+ 难 ∠0=360° D 6 a P 5 培 PA AB,PB BC, 优 PC CD.PD DA. 8 .∠2=∠B,∠4= 2 B ∠Y,∠6=∠0，∠8= (例2题解图④) ∠， ∴∠2+∠4+∠6+∠8=∠B+∠y+∠0+∠α =360°， ∴.四边形ABCD的内角和=∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6+∠7+∠8=∠1+∠3+∠5+∠7 +360°>360°， 这与四边形的内角和是360°相矛盾， .假设不成立， .不能取到满足条件的点P,让烙饼翻身刚好落在 “锅”中. 【变式1】解：(1)作图如解图①.MW=DG (变式1题解图①) 30 贵州新中考 (2)在正方形ABCD中，AB=9,BG=6, .AG=9-6=3. 由(1)知△ABH≌△DAG,AH=MN, ..BH=AG=3, .AH=√AB2+Bf=92+32=3√/10， .MN=310. (3)作图如解图②. H (变式1题解图②) :四边形ABCD是正方形， .∠BCD=∠BAD=90°，AD=AB=BC=9. .·∠DPH=∠BCD=90°， .P,H,C,D四点共圆，∴.∠PDH=∠PCH 又∠DEP=∠CEH,.△DEP△CEH, S =(（ HC· .AD=9,AG=3, .DG=VAD2+AG=192+32=310. :∠APD=∠GAD=90°，∠ADP=∠GDA, ..△APD∽△GAD PD_AD .AD CD:PDs4 292-2710 GD=3√ō 10 由(2)知BH=3,∴.HC=9-3=6, 27y10 【变式2】解：(1)MN=CM+BN,理由如下： :△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .AB=AC,∠CAM+∠BAN=90°. .CM⊥DG,BN⊥DG, .∠CMA=∠BNA=90°， .∠CAM+∠MCA=90°， .∠MCA=∠BAN,.△ACM≌△BAN(AAS), .AM BN,CM AN, .∴.MN=AN+AM=CM+BN. (2)BH=CD+DH,理由如下： △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .·.AB=AC,∠CAD+∠BAD=90. :四边形DEFG是矩形，.∠D=90°， .∠CAD+∠DCA=90°，∴.∠BAD=∠DCA. BH⊥DG,∴.∠BHA=∠D=90°， 学 参考答案 ∴.△ABH≌△CAD(AAS), .·.AH=CD,BH=AD ∴.BH=AH+DH=CD+DH. (3)DB=5,DE=4,∠DEB=90°， BE=√DB2-DE=√52-42=3. 如解图①，当点C在直线DG上方时， 过点C作CH⊥DG于点H,则∠CHD=90°. D(A) B (变式2题解图①) :△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.AB=AC,∠CDH+∠BDH=90°. :四边形DEFG是矩形，∴.∠DEB=∠EDG=90°， ∴.∠DEB=∠CHD,∠EDB+∠BDH=9O°， ∴.∠CDH=∠EDB,∴.△DHC≌△DEB(AAS), ∴.CH=BE=3,DH=DE=4. ∠DPE=∠CPH,∠PDE=∠PHC=90°， aDPE△c盼-8=李 P=号D明=专x4=9 71 EP=DE+DP=√年+(9)=4 7 如解图②，当点C在直线DG下方时， 过点C作CH⊥DG交GD的延长线于点H, D(A) C E B (变式2题解图②) 则∠CHD=90°. ,△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .AB=AC,∠CDE+∠BDE=90°. 四边形DEFG是矩形， ∴.∠DEB=∠EDG=90°， ,∴.∠DEB=∠DHC,∠CDE+∠CDH=90° ∴.∠BDE=∠CDH, .∴.△DEB≌△DHC(AAS), .∴.BE=CH=3,DH=DE=4 .·∠P=∠P,∠PDE=∠PHC=90°， ·△DPE△HPC,DP=DE=4 HP=CH=3 ∴.DP=4DH=16, ∴.EP=√DE+DP2=√42+162=417. 贵州新中考 综上所述，EP的长为或4. 题型七综合与实践 1.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示 数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (2)当6≤x≤10时， 设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式为 F拉力=x+b(k,b为常数，且k≠0)， 将(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉动=kx+b, 得6+6=4。解得=：0,3 10k+b=2.8 lb=5.8 ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于 x的函数表达式为F拉力=-0.3x+5.8(6≤x ≤10). (3)根据图象可知，圆柱体小铝块所受重力为4N, 对于弹簧测力计A,当x=8时，F拉力=-0.3×8+ 5.8=3.4, 4-3.4=0.6(N),.m=0.6. 当6≤x≤10时， 设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数表达式为 F拉力=k,x+b,(k,b,为常数，且k≠0)， 将(6,4)和(10,2.5)分别代入F拉力=kx+b1, 得6，+6=4解得么=二0375， 10k+b,=2.5lb,=6.25 轮 ·.当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于 重 x的函数表达式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤ 难 10). 培 当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6, 优 7.6-6=1.6(cm),.n=1.6. 2.解：(1)10. (2)如解图①，以点E为圆心，EO长为半径画弧， 交BC于点M,作直线MO交AD于点N, 则直线MW即为所求.（作法不唯一） F N/ D B 八E (第2题解图①) (3).四边形ABCD是矩形， ..∠B=90°，AD∥BC. .·BG=AB,.∠AGB=45° .∵AN=GM,AN∥GM, ∴.四边形AGMN是平行四边形， .MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45. :直线l是GC的垂直平分线， .∴.GM=CM, ∴.GM=CM=AN. 数学 参考答案 31题型六 几何综合探究题 设问突破分类讨论一 针对贵州中考25(3)题 考向1点的对应关系不确定 考向2点的位置不确定 例1如图，在等腰△ABC中，AB=AC=12cm, 例2如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为 BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC 直线AC上一点，AE=2CE,过点E作EF⊥AC 上以2cm/s的速度由点B向点C运动，点Q在 交直线CD于点F,连接AF,求AF的长 线段AC上以xcm/s的速度由点C向点A运 动.两点同时出发，当△BPD与△CPQ全等 时，求x的值， (例2题图) (例1题图)》 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD= 【变式2】如图，已知△ABC是等边三角形，点D 3,E为CD的中点，P为边AB上一个动点，连 在射线AB上运动（不与点A,B重合），连接 接AE,PE,过点P作PQ⊥AE于点Q,若 CD,点E在直线BC上，且CD=DE.若DE和 APQE与△ADE相似，求AP的长. DF关于直线AB对称，连接BF,探究BC,BD, BF之间的数量关系，并证明， (变式1题图)》 B (变式2题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 55 考向3图形的形状不确定 考向4图形的位置不确定 例3如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB= 例4(2025江西改编)如图，在矩形纸片ABCD 12,D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交 中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为 AC于点E,将△ADE沿DE折叠，点A的对应 AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB,AD 点为F,连接BF.当△BDF是直角三角形时， 中任意一边的夹角为15°时，求∠APB的 求AD的长 度数 B B'- (例4题图) B (例3题图) 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD= 【变式4】如图，在正方形ABCD中，AB=2,对角 6,E是边BC上的一点，连接AE,将△ABE沿 线AC与BD交于点O,将△BOC绕点B旋转得 AE翻折得到△AEF,连接DF,当△ADF为等 到△B0'C',当A,B,0'三点共线时，求C'D 腰三角形时，求BE的长 的长 B--- B (变式3题图) (变式4题图) 56 贵州新中考数学 二轮重难培优