题型6 几何综合探究题针对训练-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

.当x=0时，y=3,∴C(0,3), .0C=0A=3,A(-3,0). :抛物线的对称轴为直线x=-1,A,B两点关于对 称轴对称，.B(1,0), .设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1), 将点C(0,3)代入得，a(0+3)(0-1)=3, 解得a=-1,.抛物线的表达式为y=-(x+3)(x -1)=-x2-2x+3. (2)x1+x2>-2,-1-x1<x2-（-1), .点P比点Q距离对称轴更近 -1<0,.抛物线开口向下， ∴.y1>y2 (3)设平移后顶点P(P,P-1), 则平移后抛物线的表达式为y=-(x-p)2+p-1. :平移后的抛物线与y轴的交点为D, .令x=0,则yn=-p2+p-1=-(p2-p)-1 :对于任意p都有(p-)2≥0， %=-0--≤- 3 ·点D的纵坐标的取值范围为，≤-子 类型2二次函数与几何图形综合题 二 【例】解：(1)抛物线y=-x2+bx+c的顶点为 D(2,1), 轮 .抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1=-x2+ 重 4x-3. 难 （2)由(1)知抛物线的表达式为y=-x+4x-3, 培 令x=0,则y=-3,.C(0,-3). 优 令y=-x2+4x-3=0,解得x=1或x=3, ∴.A(1,0),B(3,0), .直线BC的表达式为y=x-3. 设平移后的抛物线的表达式为y=-（x-2)2+1-h, 令-(x-2)2+1-h=x-3, 整理得x2-3x+h=0, :该抛物线与直线BC始终有交点， 4=9-4h≥0，解得h≤？ A的最大值为是 (3)存在 由题意知，抛物线的对称轴为直线x=2, E(2,-1),.DE=2. 设点M(m,-m2+4m-3) 若以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形， 分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MW,则N(m,m-3), .MW=1-m2+4m-3-(m-3)|=|-m2+3ml, 1-m2+3m|=2, ∴.-m+3m=2或-m+3m=-2, 解得m=1或m=2(舍去)或m=3-√匝或 2 22 贵州新中考 m=3t点N的坐标为1，-2)或(22， 2 -32)或+，3： 2 ②当DE为对角线时，易知DE,MW互相平分， 设点N(t,t-3), 3-314-w 解8{[2（含去3,0 综上所述，点N的坐标为1，-2)或(2，， 32画)或3+，3片)或3,0) 【变式】解：(1)抛物线y=-x2+bx+c过点A(-4,0), 点C(0,4), {仁68+c0您得63 lc=4, .抛物线的函数表达式为y=-x2-3x+4. (2）存在y--3加+4=-(+多》产+ 4, 抛物线的对称轴为直线：=一是 设M(-子m), 4c=32,Ar=㎡+空cn-是+(m-4 △ACM是以AC为斜边的直角三角形， 2=m+空+号+(m-4, 解得m=2+或m=2-。 2 ·点n的坐标-号2+)或-2-)。 (3)A(-4,0),C(0,4), .直线AC的函数表达式为y=x+4. 设P(t,-t2-3t+4),则Q(t,t+4), 四边形A0CP的面积=号×4×4+？x4(- -3t+4-t-4)=16-2(t+2)2, ∴.当t=-2时，四边形AOCP的面积取得最大值， 为16，此时点P的坐标为(-2,6). 题型六几何综合探究题 设问突破分类讨论 考向1点的对应关系不确定 【例1】解：AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB 的中点0=子×12=6cm 设点P,Q的运动时间为ts, BP 2t cm,PC =(8-2t)cm. AB=AC,.∠B=∠C. ①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC,BP=CQ, ∴.6=8-2t,解得t=1,.BP=CQ=2, ∴.点Q的运动速度x=2÷1=2(cm/s); 学参考答案 ②当△BDP≌△CQP时，BP=PC,BD=CQ=6, .BC =8 cm,.'.BP 4 cm, .t=4÷2=2(s), ∴.点Q的运动速度x=6÷2=3(cm/s). 综上所述，x的值为2或3. 【变式1】解：在矩形ABCD中，AB=8,AD=3,E为 CD的中点，PQ⊥AE, ∴.DE=4,∠D=∠PQE=90°， ..AE AD2 DE2=5. ①当△P0E△ADE时器=器， 竖-华即Q5=号P0 ~P.AD=AE,P0PQ=多4P :在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, ∴.(5-QE)2+PQ2=AP2, (5-号PQ)2+PQ2=AP, (5-号×子AP2+(AP2=AP, 解得4P=空 ②当△PQE∽△EDA时，ED=DA: PQ QE 0=0 3 由①得PQ=号AP, :在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, 5-至×P+(g=A. 解得4=4或4P=-19(合去)， 综上所述，AP的长为曾或4. 考向2点的位置不确定 【例2】解：如解图①，当点E在线段AC上时， 正方形ABCD的边长为2， .∠ACF=45°，AC=22. AE=2CEA 42,cE=22 3 .EF⊥AC, EF=CE =22 3 AF=V√AE2+EF=2V⑩ 3 图① 图② (例2题解图) 贵州新中考娄 如解图②，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得AE=42,EF=2√2， .AF=√AE2+EF2=2√10. 综上所述，AF的长为20或2V10. 3 【变式2】解：BC=BD+BF或BF=BD+BC, 证明如下：如解图①，当点D在线段AB上时， 过点D作DG∥AC交BC于点G (变式2题解图①) :△ABC是等边三角形， .∴.∠BDG=∠A=60°，∠BGD=∠BCA=60°， .∴.∠DBG=∠BDG=∠BGD=60°， .△BDG是等边三角形， .∠EBD=∠CGD=120°，BD=BG. 又，·DE=DC,∴.∠DEB=∠DCG. ,∠EBD=∠CGD 在△BDE和△GDC中，{ ∠DEB=∠DCG, DE DC .△BDE≌△GDC(AAS),∴.BE=GC. 又：DE和DF关于直线AB对称， 轮 ∴.BE=BF=GC,∴.BC=BG+GC=BD+BF. 重 如解图②，当点D在线段AB延长线上时， 难 过点D作DH∥AC交直线BC于点H. 培 优 (变式2题解图②) 同理得△BDH为等边三角形， .BD=BH,∠EHD=∠CBD=120°. 又CD=DE,∠E=∠DCB. LEHD LCBD 在△DHE和△DBC中，{∠E=LDCB, DE =CD .△DHE≌△DBC(AAS),∴.EH=BC. 又DE和DF关于直线AB对称， .BF BE BH EH BD BC. 综上所述，BC=BD+BF或BF=BD+BC. 考向3图形的形状不确定 【例3】解：：∠ABC=60°，DE∥BC, ..∠ADE=∠ABC=60°. 由折叠得∠FDE=∠ADE=60°， 学 参考答案 23 ∠BDF=180°-60°-60°=60°. 当∠BFD=90°时，如解图①， ∠BDF=60°，.∠DBF=30°， .BD =2DF. 由折叠得DF=AD,∴.BD=2AD, ..3AD=AB=12,∴.AD=4. 图① 图② (例3题解图)》 当∠DBF=90°时，如解图②， 同理可得AD=DF=2BD, .3BD=AB=12,.BD=4,.AD=8. 综上所述，AD的长为4或8. 【变式3】解：由翻折得AF=AB=5,BE=EF. 当AF=DF时，如解图①，此时点F在AD的垂直平分线 上，过点F作FM⊥AD于点M,延长MF交BC于点N, AM=2AD =3..FM =AP-ANP=4. :四边形ABCD为矩形，∴.易得四边形ABNM是矩形， .∴.∠BNM=90°，MN=AB=5. 二 .FN MN -FM =1. 轮 设BE=EF=x,则EN=3-x. 重 在Rt△ENF中，EN2+FN=EF2, 难 .(3-x)2+1=x2, 培 解得x=5」 3BE= 优 3 图① 图② (变式3题解图) 当AD=DF时，如解图②，过点F作FP⊥AD于点 P,延长PF交BC于点Q 设AP=y,则DP=6-y .AF2 -AP2 DE2 DP2, 5-=6-(6-,解得y-点 M=高PF=-A0=5 12 .△ABE沿AE翻折得△AEF,∴.∠AFE=90° PE 易得△APF△FQE,E=EO=B0-BE 519 :0=AP=瓷小脉登-服 25. 5 12 12 24 贵州新中考 BE=EF,∴.BE=12-√119 综上所述，E=号或12-V9 考向4图形的位置不确定 【例4】解：四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BAD=90. 由折叠得∠PAB'=∠PAB=2∠BAB. 如解图①，当∠BAB′=15°时， B (例4题解图①) 1 ∠PAB=2×15°=7.5， ∠APB=90°-∠PAB=82.5o. 如解图②，当∠DAB'=15°，且点B'在边AD下方 时，∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°， 1 ∠PMB=2×75°=37.5， ∴.∠APB=90°-∠PAB=52.5°. D B 图② 图③ (例4题解图) 如解图③，当∠DAB'=15°，且点B'在边AD上方 时，'∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°， 1 ∠PAB=2×1050=52.5, ∴.∠APB=90°-∠PAB=37.5 综上所述，∠APB的度数是82.5°或52.5°或37.5. 【变式4】解：如解图①，当点0'在线段AB的延长线 上时，四边形ABCD为正方形，AB=2, ∴.△BOC为等腰直角三角形，BC=2,BD=√2AB =22. 由旋转得BC'=BC=2,C',B,D三点共线， ∴.C'D=BC'+BD=2+2√2. D B 0 B 图① 图② (变式4题解图) 如解图②，当点O'在线段AB上时， 同理可得C'D=BD-BC'=2V2-2. 综上所述，CD的长为2+2V2或2√2-2. 学参考答案 类型1动点问题 【例】解：(1)30，BP⊥AC. (2)EC=2BE,理由如下： 如解图①，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到 △CBQ,连接EQ, ∴.BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC. ∴.△BEQ为等边三角形， ∴.∠BEQ=∠BQE=60°，BE=EQ. 点E在线段BP上，∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴.∠AEB=∠BQC=150°， ∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， ∴.∠BEQ=∠CEQ=60°， ∴.∠E0C=150°-60°=90°， ∴.∠ECQ=90°-60°=30. .·.EC=2E0=2BE. G （例题解图①) (例题解图②) (3):在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=5, ∴.AB=AC=BC=5. 如解图②，当点P在线段OA上时，记射线BP与AD 交于点H, .AH∥BC,.∠AHB=∠CBH. ∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, 六△AB△B6,侣=e 设FG=x,则EF=BE=2x,则EG=3x, 小9-会解得A=号 3 AD∥BC,.△APH∽△CPB, 10 、.、AHAP.A=3=2, PCPC=5 AP=5x号 2. 如解图③，当点P在线段OC上时，射线BP与AD的 延长线交于点H, (例题解图③) 同理可得∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， ∴.△BAH△GEB. 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则FG=EG=m, ←份=胎=费=分-2服 AP AH 同理可得△APH∽△CPB,.CP-BC=2, AP=5x号-9， 贵州新中考 综上所述，AP的长为2或 【变式1】解：(1)画出EN如解图①，EN=EM. A B C E E (变式1题獬图①) (变式1题解图②)》 (2)器=k理由如下： 如解图②，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥AC于 点G,则∠BFE=∠CGE=90°. 在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∠B=∠C=∠CEG=∠BEF=45°， .△BFE△EGC,EG=CG, 小影器-器-器大 、EF :∠BAC=∠NEM=90°， ∴∠ANE+∠AME=180°， ·.∠BNE=∠AME. :∠AFE=∠MGE=90°， △FNEAGME,-器= (3)如解图③，当点E在线段BC上时，过点E作EF⊥ AB于点F, M 轮 B4 E (变式1题解图③) 难 BC=8,器=分BB=2,CB=6 由(2)得BF=EF,∠B=∠BEF=45°， 优 .EF=2. ∠BEN=75°，.∠FEN=75°-45°=30°， ·EN=26 由(2)得器-器- ∴.EM=3EN=2√6，∴.MW=√EW2+EM= √+26-4 3 如解图④，当点E在CB的延长线上时， 过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q,作EP⊥ AC交CA的延长线于点P, B (变式1题解图④) 数学 参考答案 25 则∠NQE=∠EQB=∠P=∠PAB=90°， ∴.四边形PEQA为矩形，QE=PA,∠QEP=90. BC=88器=分， ∴.BE=4,CE=12. .·∠EQB=∠BAC=90°，∠EBQ=∠CBA, △B0 c4B.2-8器= ..AC 2EQ, .EP PC PA AC EQ +2EQ =3EQ. :∠NEQ+∠QEM=∠QEM+∠PEM=90°， .∠NEQ=∠PEM,∴.△EQN△EPM, 部-贸-方M=3N ∠BEN=75°，∠BEQ=45°，∴.∠NEQ=30°. BE=4,.EQ=BE·cos45°=22， N=0-46Ew-3gN46, c0s30° ..MN √EW+EM= 46、 3 +(46) =85 3 综上所述，MN=4,压或8y西 3 3 【变式2】解：(1)AE=EF (2)BG2+BE=EG,理由如下： 二 :四边形AEFG为矩形，由(1)得AE=EF, 轮 .四边形AEFG为正方形，.AG=AE. 重 ∠GAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE, 难 ∴.∠GAB=∠EAD. 培 又.AB=AD,.△GAB≌△EAD(SAS), 优 .∴.∠GBA=∠EDA: :∠BAD=90°，.∠ABD+∠EDA=90°， ∠ABD+∠GBA=90°，即∠GBE=90°， ..BG2 +BE2 EG2. (3)如解图②，当点F在线段CB上时， 过点E作EN⊥AB于点N,作EM⊥BC于点M,交 AF的延长线于点Q. ∠ABC=90°，.tan∠FAB= FB 1 AB 4 ∴.AB=4FB D 设FB=x,则AB=4x 由(1)可得△ANE≌ △FME,四边形NBME为 G 正方形， .AN FM,EN EM M BN BM, .FB +AB FB BN AN FB+BN+FM BN BM =2BM =x +4x=5x, .EN EM BN BM=2.5x, .FM 1.5x. (变式2题解图②) 26 贵州新中考 AB∥EQ, ∴.△ABF△QMF, 8%2=是， 六0=号B=6 'AB∥EQ,.△ABP△QEP, 4x 8 2.5x+6x=17 BP8 BE=25 如解图③，当点F在射线CB上时， 过点E作EM⊥BC于点M,作EN⊥AB于点N,交 AF于点Q, D FB M (变式2题解图③) 设FB=x, 同上可得，四边形NBME为正方形，AB=4x,EN=EM BN BM =1.5x,AN FM AB-BN 2.5x, :QN∥FB,.△AQN△AFB, 4x .60-QN+EN15 QN∥FB,∴.△PFB△PQE, BP FB 8 BP 8 EP=E0=7BE=9 综上所述，能的值为会安号 类型2几何图形的变换类 【例】解：(1)画出图形如解图①. 135 D D E B P C D （例题解图①) (例题解图②) (2)PA=PE,理由如下： 过点P作PM∥AB交AC于点M,如解图②. .∠MPC=∠ABC=45°， ∴.△PCM是等腰直角三角形， .∴.CP=CM,∠PMC=45°， .CA CM CB -CP,AM BP, 学 参考答案 ∠AMP=135°=∠PBE. .∠APE=90°， .∴.∠EPB=90°-∠APC=∠PAC, .∴.△APM≌△PEB(ASA),.PA=PE. (3)BA=√2BP+BE或BE=BA+√2BP.理由 如下： 当点P在线段BC上时，如解图②. 由(2)可知，△APM≌△PEB, ∴.BE=PM,BP=AM. .·BA=√2(AM+CM),.BA=2BP+W2CM. PM=√2CM,BE=PM,∴BA=√2BP+BE; 当点P在线段CB的延长线上时，过点P作PN⊥BC 交BE于点N,如解图③. D (例题解图③) :∠ABD=90°，∠ABC=45°， .∴.∠PBN=180°-∠ABC-∠ABD=45°， ∴.△BPN是等腰直角三角形，∠ABP=135°， .∴.BP=NP,BN=√2BP,∠PNB=45°， ∴.∠PNE=135°=∠ABP. ∠APE=90°，∴.∠EPN=90°-∠APN=∠APB, ∴.△EPN≌△APB(ASA),∴.EN=BA .BE EN BN,..BE BA+2BP. 综上，当点P在线段BC上时，BA=√2BP+BE;当 点P在线段CB的延长线上时，BE=BA+√2BP. 【变式1】解：(1)如解图①所示，等边三角形. G (变式1题解图①) (变式1题解图②) (2)EF=4G,证明如下： 如解图②，过点A'作A'M∥GB交BE于点M. 由题意得BF⊥AA',A'G⊥AM',∴.A'G∥BE, ∴.四边形BGA'M是平行四边形. ·△ABA'是等边三角形，BF⊥AA',A'G∥BE, ∴.∠ABF=∠A'BF=∠A'BG=∠GA'B=30°. ∴.A'G=BG,∠EBG=60°， ∴四边形BGA'M是菱形. .'A'M∥BG,∴.∠EMA'=∠EBG=60°， ∠BAD=90°，∠ABE=30°， .∠A'EB=∠AEB=60°， 贵州新中考 .△A'ME是等边三角形，∴.EM=MA'=A'G. BF LAAEF=7EM=AMAG. (3)设AF=a,BF=b,则FA'=GN=a. 如解图③，当点E在线段AD上时，过点G作GN⊥ BE于点N. BC=4,CG=2,∴.BG=2. BF⊥AA',AB⊥BC, ∴.∠ABF+∠BAF=90°，∠ABN+∠GBN=90°， .∴.∠BAF=∠GBN. ∠AFB=∠GNB=90°，.△AFB△BNG, BF GN,b a a 2 AB=BG3=2=3 .BF⊥AA',AB⊥BC, .∠ABF+∠FBH=90°，∠FBH+∠H=90°， .∠H=∠ABF, D (变式1题解图③) (变式1题獬图④) 如解图④，当点E在线段AD的延长线上时，过点G 轮 重 作GN⊥BE于点N. 难 .BC=4,CG=2,.BG=6. 同上可得△AFB∽△BNG,.AB=BG, 、BFGN 优 =68=2 BF⊥AA',AB⊥BC, .∠ABF+∠FBH=90°，∠FBH+∠AHB=90°， .∠A'HG=∠AHB=∠ABF, .∴.tan∠A'HG=tan∠ABF, A'G AF a A'H=BF=6=2. 综上所述，9的值为号或2 【变式2】解：(1)60，EM=2BM (2)画出图形如解图①. BF+BE=√5BM,证明如下： y (变式2题解图①) 改学 参考答案 27 如解图①，延长BC至点V,使得FN=BE,连接 MN,过点M作MH⊥BC于点H, 由题意得ME=MF,∠EMF=120°，∠ABC=60°， ∴.∠BEM+∠BFM=180°，∠MBH=30°. .:∠BFM+∠MFN=180°， ∴.∠BEM=∠MFN,.△BME≌△NMF(SAS), .BM MN ∴.BH=HN, 在Rt△BMH中，∠MBH=30°， cos∠MBH= 照=BM=号8n ∴.BN=2BH=√3BM, .∴.BF+BE=BF+FN=BN=√3BM. (3)如解图②，当点G在线段BC上时， :在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3,CG=1, .AD=3,BG=3-1=2,BD=3V5. AD∥BC,.△ADM△GBM, +盟-船=异BM=子0=6 5 ME⊥AB,∠ABC=60°，∠EMF=120°， ∴.MF⊥BC,∠MBF=30°， mLBP-既-29， 二 Br=M=号， 9 轮 2 重 难 FG BG-BF=2-9 =5 培 优 M 0 FG FC H (变式2题解图②) (变式2题解图③) 如解图③，当点G在线段CD上时，过点G作GH⊥ BC交BC的延长线于点H, :在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3,CG=1, .DG=3-1=2,BD=3V5. AB∥CD,.△ABM△GDM, 8器-能=是w=6,BM-’ 5 :ME⊥AB,∠ABC=60°，∠EMF=120°， .MF⊥BC,∠MBF=30°， <.coL BF Bp=号8M-0cP=高 在Rt△CHG中，CG=1,∠GCH=60°， cH-2,6m-9FH=手 28 贵州新中考 FG =F+CHF=139 10 综上所述，FG的长为5或 类型3几何图形的形状变化类 【创1解：(160，宁 (2)不发生变化，理由如下： 如解图①，延长AC交直线1于点Q, ∠ACB=90°， .∠BCQ=90°. 又∠ABC=∠CBD,BC= BC, .△ABC≌△QBC(ASA), B E D Ac=C0=240, （例题解图①) AE⊥L,CD⊥l,.AE∥CD, △c00△A0e-8 泥2 CD (3)如解图②，过点C作CG∥DE分别交AE,AB于 点G,H,则四边形EDCG是矩形， .∠HCB=∠CBD. 又∠ABC=∠CBD, .∠HCB=∠ABC, G ..HC=HB. .'∠ACH+∠HCB=∠CAH B +∠ABC=90°， D (例题解图②) ∴.∠CAH=∠ACH, .∴.HC=HA, .HA=HB,.H,G分别是AB,AE的中点， .∴.AE=2GE=2CD=4. CG∥DE,∴.△HCF△BEF, 设C=2x,则BB=3,GH=多，4B=4红 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2, 即42+(3x)2=(4x)2, 解得：=4（负值已合去）， .BD DE-BE CG -BE GH CH-BE 1 =1×45-2万 2x=2×7 7 【变式】解：(1)四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=∠B=90°， .∠BAE+∠EAD=∠DAB=90° DF⊥AE于点G,∴.∠AGD=90°， ∴.∠ADF+∠EAD=90. 学参考答案 ∴.∠BAE=∠ADF r∠BAE=∠ADF 在△ABE与△DAF中， AB AD L∠ABE=∠DAF ∴.△ABE≌△DAF(ASA),.DF=AE, (2).·四边形ABCD为矩形 .AB=CD=6,BC=AD=8,∠C=∠ADE=90°， .∴.∠EDG+∠DFC=90°. DF⊥AE于点G,∠DGE=90°， .∠EDG+∠DEG=90°，.∠DEG=∠DFC, DF CD 6 3 ·.△ADE∽△DCF,AE=AD=8=4 (3)如解图，构造矩形ABHC,延长AF交CH于点G, ~侣=子设B=h A 3k,AC BH =4k. D为AC的中点，AD= 24c=2k, H ∴.BD=√AD+AB=√13. (变式题解图) 由(2)得△ABD△CAG,BD=AB=AD=3 AG CA-CG4 解得cG=,4G=4 3 四边形ABHC为矩形，∴AB∥CG, ∴.∠BAF=∠CGF,LABF=∠GCF, △48F△6CP得-2 即，AF—=3张，解得AR=123, 4③k-AF 17 12③k AF 17 12 ·BD= √/13k171 类型4图形的综合与探究类 【例1】(1)解：如解图①，PC即为所求.90. A —B C NB (例1题解图①)（例1题解图②） (2)证明：如解图②，过点P作PC⊥OB于点C. 由(1)知四边形OAPC是矩形， 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB, ∴.PA=PC,∴.四边形OAPC是正方形， 贵州新中考娄 ∴.0A=AP=PC=OC,∠APC=90. PN⊥PM,∴.∠APM=90°-∠MPC=∠CPN. 又∠MAP=∠NCP=90°，AP=CP, .△APM≌△CPN(ASA),∴.AM=CN, .OM ON OM 0C CN OM+AM OC 0A+0C=2PA. (3)解：当点M在线段A0上时，如解图③，延长 NM,PA交于点G G (例1题解图③) 由(2)知0M+0N=2AP, 设0M=x,则0N=3x,0A=AP=2x, .AM AO-OM =x=OM. :∠MON=∠MAG=90°，∠OMW=∠AMG, .△MON≌△MAG(ASA),.AG=ON=3x. AP∥OB,.△PGF△ONF, …0-0服-324=3…8=号 3x 当点M在AO的延长线上时，如解图④， P Ap 二 -B 轮 G 难 M 培 （例1题解图④) 过点P作PC⊥OB于点C,延长PC交MN于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形， .OA=AP=PC=0C,∠APC=90°，PC∥A0. .PN⊥PM, .∠APM=90°-∠MPC=∠CPN. 又∠A=∠PCN=90°，AP=CP, .△APM≌△CPN(ASA),∴.AM=CN, .ON-OM OC CN OM A0 AM OM 2A0. 设0M=x,则0N=30M=3x, ..AO =x,CN AM =2x. PC∥AO,.△CGN△OMN, 小品器即9-c6等 ·PC∥A0,.△PGF△OMF, 2x 综上所述8的值为号或号 改学 参考答案 29 【例2】解：(1)B. (2)如解图①，AB即为所画切痕， B (例2题解图①) (3)答案不唯一，如解图②③所示 方法一：AC,BC,CD即为所画切痕. (例2题解图②) (例2题解图③) 方法二：OA,OB,OC即为所画切痕. 方法一依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半（作三角形的一条高线，把三角形分成两个直 角三角形，再分别画两个直角三角形斜边上的中 线，可分出4个等腰三角形) 方法二依据：三角形的外心到各顶点的距离相等 (作三角形的外心到三个顶点的连线，可把三角形 分成3个等腰三角形). 不存在点P,使切法满足PA=AB,PB=BC,PC= 二 CD.PD =DA. 轮 如解图④，假设能取点P 重 则∠a+∠B+∠y+ 难 ∠0=360° D 6 AP 5 培 ·PA=AB,PB=BC a Ry B 优 PC CD,PD DA, .∴.∠2=∠B,∠4= 2 B ∠Y,∠6=∠0，∠8= (例2题解图④) ∠a, ∴.∠2+∠4+∠6+∠8=∠B+∠y+∠0+∠a =360°， .四边形ABCD的内角和=∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6+∠7+∠8=∠1+∠3+∠5+∠7 +360°>360°， 这与四边形的内角和是360°相矛盾， .假设不成立， ∴不能取到满足条件的点P,让烙饼翻身刚好落在 “锅”中。 【变式1】解：(1)作图如解图①.MW=DG (变式1题解图①) 30 贵州新中考 (2)在正方形ABCD中，AB=9,BG=6, .AG=9-6=3. 由(1)知△ABH≌△DAG,AH=MN, ∴.BH=AG=3, .AH=√AB2+B=√92+32=3√10， .MW=310. (3)作图如解图② H C (变式1题解图②) 四边形ABCD是正方形， .∠BCD=∠BAD=90°，AD=AB=BC=9. ∠DPH=∠BCD=90°， .P,H,C,D四点共圆，∴.∠PDH=∠PCH. 又：∠DEP=∠CEH,∴.△DEP△CEH AD=9,AG=3, .DG=√AD2+AG=√92+32=310. ∠APD=∠GAD=90°，∠ADP=∠GDA, .△APD△GAD, PD AD 、业=，PD=n三—=2710 GD3/10 10 由(2)知BH=3,.HC=9-3=6, 27√/10 =脱=(9)-0 :Sa 【变式2】解：(1)MW=CM+BN,理由如下： △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .AB=AC,∠CAM+∠BAN=90. .·CM⊥DG,BN⊥DG, ∴.∠CMA=∠BNA=90°， .∠CAM+∠MCA=90°， ∴.∠MCA=∠BAN,∴.△ACM≌△BAN(AAS), .AM BN,CM AN, .MN AN AM CM BN. (2)BH=CD+DH,理由如下： △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.AB=AC,∠CAD+∠BAD=90°. 四边形DEFG是矩形，∴.∠D=90°， ∴.LCAD+∠DCA=90°，∠BAD=∠DCA. .BH⊥DG,.∠BHA=∠D=90°， 学参考答案 ∴.△ABH≌△CAD(AAS), .∴.AH=CD,BH=AD, .∴.BH=AH+DH=CD+DH. (3)DB=5,DE=4,∠DEB=90°， .BE=√DB2-DE=52-42=3. 如解图①，当点C在直线DG上方时， 过点C作CH⊥DG于点H,则∠CHD=90°. D(A P H B (变式2题解图①) :△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， ∴.AB=AC,∠CDH+∠BDH=90°， 四边形DEFG是矩形，∴.∠DEB=∠EDG=90°， ∴.∠DEB=∠CHD,∠EDB+∠BDH=90°， ∴.∠CDH=∠EDB,∴.△DHC≌△DEB(AAS), .CH BE =3.DH DE =4. ∠DPE=∠CPH,∠PDE=∠PHC=90°， ADPE△HPc册-8=手， r=号D明=号x4=9 7 BP=DE+DP=√军+(2-4 7 如解图②，当点C在直线DG下方时， 过点C作CH⊥DG交GD的延长线于点H, DA) E (变式2题解图②) 则∠CHD=90°. ,·△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .∴.AB=AC,∠CDE+∠BDE=90° ·四边形DEFG是矩形， ∴.∠DEB=∠EDG=90°， ∴.∠DEB=∠DHC,∠CDE+∠CDH=90°， ∴.∠BDE=∠CDH, .△DEB≌△DHC(AAS), ∴.BE=CH=3,DH=DE=4. .∠P=∠P,∠PDE=∠PHC=90°， △DPE~△HPC,.DE=DE=4 m=C=3, ∴.DP=4DH=16, .EP=DE+DP2=√/42+162=417. 贵州新中考 综上所述，EP的长为石或4V 题型七综合与实践 1.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示 数为2.8N,弹簧测力计B的示数为2.5N. (2)当6≤x≤10时， 设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式为 F拉力=x+b(k,b为常数，且k≠0)， 将(6,4)和(10,2.8)分别代入F拉力=x+b, 得66+6=4 。,解得k=-0.3 l10k+b=2.8 lb=5.8 ∴.当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉力关于 x的函数表达式为F拉力=-0.3x+5.8(6≤x ≤10). (3)根据图象可知，圆柱体小铝块所受重力为4N, 对于弹簧测力计A,当x=8时，F拉力=-0.3×8+ 5.8=3.4, 4-3.4=0.6(N),∴.m=0.6. 当6≤x≤10时， 设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数表达式为 F拉力=kx+b(k1,b为常数，且k1≠0)， 将(6,4)和(10,2.5)分别代人F拉方=kx+b1, 得-+6=4解得=二0375， l10k,+b1=2.5 1b,=6.25 轮 .当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉力关于 重 x的函数表达式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤ 难 10). 培 当-0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6, 优 7.6-6=1.6(cm),∴.n=1.6. 2.解：(1)10. (2)如解图①，以点E为圆心，E0长为半径画弧， 交BC于点M,作直线MO交AD于点N, 则直线MN即为所求.（作法不唯一） FI N D 八E (第2题解图①) (3).四边形ABCD是矩形， .∴.∠B=90°，AD∥BC. .·BG=AB,∴.∠AGB=45°. .'AN=GM,AN∥GM, .四边形AGMN是平行四边形， .MN∥AG,∴.∠NMG=∠AGB=45°. 直线l是GC的垂直平分线， .∴.GM=CM, .GM CM AN. 致学 参考答案 31针对训练 类型1)动点问题(2025.25) 例(2025贵州25题12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线 段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合） D O(P 图① 图② 备用图 （例题图) 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC= 度， 线段BP与线段AC的位置关系是 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°， 【解题突破点】 ∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； ①将△ABE绕B顺时针 旋转60°得到△CBQ→ △BEQ为等边三角形 ②LAEP=30°，∠PEC= 60°→∠AEB,∠BQC,∠BEC 度数→∠EQC,∠ECQ度 数→BE与EC的数量 关系 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线 【解题突破点】 EF交射线BC于点G,若BE=2FG,AB=5,求AP的长 分情况讨论： 情况1：当点P在线段OA 上时 ①记BP与AD交于点H ②△HAB∽△BEG, △APH∽△CPB 情况2：当点P在线段OC 上时 ①延长AD交BP于点H ②△BAH△GEB, △APH△CPB 贵州新中考数学 二轮重难培优 57 【变式1】优质原创I在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E是射线CB上的一点，点M为边AC 上一点，连接EM. 【动手操作】 (1)如图①，当点E是BC的中点时，过点E作EN⊥EM交AB于点N,根据题意在图①中画出EN, EN与EM的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，当点E在线段BC上，且BE E =k时，过点E作EN⊥EM交AB于点N,判断EN与EM 的数量关系（用含有k的式子表示），并说明理由。 【拓展延伸】 (3)当点E在射线CB上时，过点E作EN⊥EM交射线AB于点N,若∠BEN=75°，BC=8,BE CE 3,连接MN,求MN的长。 B 图① 图② 备用图 (变式1题图) 58 贵州新中考数学 二轮重难培优 【变式2】【优质原创如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上运动，连接AE,以AE为边在AE 下方作矩形AEFG,交射线CB于点F. 【问题解决】 (1)如图①，当点F在线段CB上时，线段AE与EF的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，当点F在线段CB上时，连接BG,EG,探究线段BG,BE,EG之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 3)当点F在射线CB上时，射线AF与别线DB交于点P,若an L FAB二{，求沙 水BE的值。 D 小 B 图① 图② 备用图 (变式2题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 59 类型2几何图形的变换类(2023.25) 例(2023贵州25题12分)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等 腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C= 90°，过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上 D B B P C B 图① 图② 图③ (例题图) (1)【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时 针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数 为 度； (2)【问题探究】 【解题突破点】 根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； ①过点P作PM∥AB交 AC于点M ②△PCM是等腰直角三 角形→△APM兰△PEB (3)【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90° 【解题突破点】 与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由. 分情况讨论： 情况1：当点P在线段BC 上时 ①过点P作PM∥AB交 AC于点M ②BA=√2AC,PM=√2CM 情况2：当点P在线段CB 的延长线上时 ①过点P作PN⊥BC交 BE于点N ②BN=V2BP, △EPN≌△APB 60 贵州新中考数学 二轮重难培优 【变式1】优质原创如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE,作点A关于直线BE的对称 点A',连接AA'与BE相交于点F,连接A'E,BA',过点A'作A'G⊥AA'交射线BC于点G (1)若∠ABE=30°，用圆规和直尺在图①中画出图形，则△ABA'的形状为 ； (2)在(1)的条件下，判断线段A'G与EF的数量关系，并证明； (3)若点E在射线AD上，射线AM'与射线BC相交于点H,且AB=3,BC=4,当CG=2时，求4G AH 的值. (变式1题图) (备用图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 61 【变式2】优质原创如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，O是对角线BD的中点，M是对角线BD上 任意一点，点E是AB边上一点，连接ME,将线段ME绕点M逆时针旋转120°，点E的对应点F刚 好落在直线BC上 (1)如图①，若点M与点O重合，且ME⊥AB时，∠EMB=°，EM与BM的数量关系 为 (2)若M不与O重合，且F落在BC边上时，在图②中画出图形，判断BE,BM,BF之间的数量关系， 并证明； (3)连接AM并延长交菱形的边于点G,AB=3,当CG=1,且ME⊥AB时，求FG的长 O(M) 图① 图② 备用图 (变式2题图) 62 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型3几何图形的形状变化类 例(2024贵州省一模25题12分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点B在直 线l上，直线I与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A 作直线l的垂线，垂足分别为D,E. 图① 图② 图③ (例题图) (1)【问题解决】 如图①，若∠CBD=30°，则∠BAC的度数为 CD ’AE 的值 为 (2)【问题探究】 【解题突破点】 如图②，若0°<∠CBD<90,判断C0的值是否发生变化？并说 ①延长AC交直线I于点Q AE ②△ABC兰△QBC 明理由； ③△CDQ△AEQ→ 是器 【解题突破点】 (3)【拓展延伸】 ①过点C作CG∥DE分 如图③.GE,AB交于点r点F在线段4上乐-号，cD=2,求线 别交AE,AB于点G,H,四 边形EDCG是矩形 段BD的长， ②HA=HB=HC,HG是 △ABE的中位线 ③△HCF∽△BEF ④设HC=2x,表示出 BE,GH,AB,利用勾股定 理求解 贵州新中考数学 二轮重难培优 63 【变式】(2025铜仁沿河县三模) 【问题解决】 (1)如图①，在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，过点D作DF⊥AE于点G,交AB于点F, 求的值： 【灵活运用】 (2)如图②，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交BC于 点F,若4=6，BC-8,求95的值： 【知识迁移】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是边AC的中点，连接BD,过点A作AF⊥BD于点 B,交BC于点F,若光-求5的值 图① 图② 图③ (变式题图) 64 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型4图形的综合与探究类(2024.25) 例1(2024贵州25题12分)综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠A0B 的平分线上，PA⊥OA于点A. N 图① 图② 备用图 (例1题图) (1)【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图①中画出PC,图 中∠APC的度数为 度； (2)【问题探究】 【解题突破点】 如图②，点M在线段AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB ①过点P作PC⊥OB于 于点N,求证：OM+ON=2PA; 点C ②四边形OAPC是正 方形 ③△APM≌△CPN (3)【拓展延伸】 【解题突破点】 点M在射线AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点V, 分情况讨论： 射线NW与射线P0相交于点，若0N=30M,求8的值 情况1：当点M在线段AO 上时 ①延长NM,PA交于点G ②△MON≌△MAG ③△PGF∽△ONF 情况2：当点M在AO的延 长线上时 ①过点P作PC⊥OB于点 C,延长PC交MN于点G ②△APM≌△CPN ③△CGN∽△OMN, △PGF∽△OMF 贵州新中考数学 二轮重难培优 65 例2(2025贵州省一模25题12分)劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形 状、大小相同的饼。 (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅” 中，利用的数学原理是 (A)三角形的稳定性(B)等腰三角形是轴对称图形(C)三角形内角和等于180° (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮.如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好 落在“锅”中.小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中 作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮.小星只切3刀，也能使饼 翻身后，正好落在“锅”中.用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形ABCD铁皮.他能否在四边形内部取一点P,使切法满足 PA=AB,PB=BC,PC=CD,PD=DA,让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程. 图① 图② 图③ 图④ (例2题图) 66 贵州新中考数学 二轮重难培优