题型4 设问突破2 临界范围问题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

设问突破日临界范围问题一针对2025贵州中考24(3)题 例如图，已知四边形ABCD是矩形，点A(1,-1),B(1,-2),C,D都在第四【解题突破点】 象限，且AD=2,点E(0,1),F(0,2),二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0) ①lal越大，开口越小；|al 的图象的顶点N在矩形ABCD内部（含边界），且与y轴的交点在EF之间 越小，开口越大 (含端点)，求α的取值范围. ②当抛物线的顶点N在 点B处，且过点F时，开口 最小，a的值最大 24F ③当抛物线的顶点N在 点D处，且过点E时，开口 -3-2-10123456x 最大，a的值最小 -2B -3 (例题图) 【变式】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(0,1),C(3,【解题突破点】 3),若二次函数y=-x2+2x+c的图象与△ABC的边有两个交点，求c的 考虑临界点，分下面四种 取值范围。 情况： y ①抛物线与边BC只有一 个交点 2 ②抛物线的顶点在边 AC上 3-2-101234元 -1 ③抛物线经过点A -2 ④抛物线经过点C -3 (变式题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 45 针对训练 类型1)抛物线型问题(2025、2023.24) 例(2025贵阳白云区二模)根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度PH为8米，宽度AB为16米， 图②是其示意图. 素材1 8米 H 16米CB 图① 图② 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘 素材2 2米(BC=2米)这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米.为了保证车辆 的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员. (1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式： (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度 均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离的最小值： (备用图) 46 贵州新中考数学 二轮重难培优 【变式1】(2025毕节二模)如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展， 其截面为图②所示的轴对称图形，点A,B在以O为顶点的抛物线上，CB⊥AB,AD⊥AB,BC=AD, 点G在直线BC上，点E在直线AD上，FH∥AB,当以O为原点建立如图③所示的平面直角坐标 系时，抛物线过点P(-2,-乃》。 (1)求抛物线的表达式； (2)若点O到地面的距离为5米，记BC+AB+AD=m,当m最大时，求棚的跨度AB的长； (3)在(2)的条件下，点E的纵坐标为-，F(2,2),为了使棚更加牢固安全，需要把直线5P,GH 向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求EF向下平移的距离. H H 0 地面 图① 图② 图③ (变式1题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 47 【变式2】(2025山西)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动 机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相 吻合 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60c, 起跳点与落地点的距离为160cm. 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青 蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM 所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系 y/cmt 0 M O x/cm 青蛙的运动路线 B 仿青蛙机器人 图① 图② (变式2题图) (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图①，若仿青蛙机器人从点0正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q 在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不 少于3cm,才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中 ∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从 平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物 的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内) 48 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型2利润问题(2024.24) 例(2025遵义红花岗区二模)根据背景素材，探索解决问题 素材1电动车是重要的出行工具之一.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销 量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. 素材2若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基 础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个. 问题解决 任务1为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a,依题意列方程为 任务2若该品牌头盔定价为x元/个，月销售量为y个，列出y与x的函数表达式； 任务3当x为多少时，月销售总利润达到最大，求最大总利润. 【变式】某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y(件)与销 售单价x(元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x(元) 40 60 80 日销售量y(件) 80 60 40 (1)求y与x的函数表达式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润； (3)由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在(1)的条件下，若该商品的日销售利润 不低于1500元，求销售单价的取值范围. 贵州新中考数学 二轮重难培优 49 类型3面积问题 例(2025安顺关岭县一模)如图①，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆 隔墙的矩形菜园ABCD,墙长为12米.设AB的长为x米，矩形菜园ABCD的面积为S平方米， (1)BC= 米，S= 平方米；（用含x的代数式表示） (2)若S=84,求x的值； (3)如图②，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱 笆)，当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 墙长12米 墙长12米 LLLEEEEEEELEEEE116212221121164111 A 门 图① 图② (例题图) 类型4行程问题 例(2025遵义二模)汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为0.6 秒)和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为S,和S2(单位：)，停车距离为S=S,+S2.（参考 数据：lkmh=i3m/s) 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度的关系如下表所示： 原速度x(km/h) 0 20 40 60 80 发现情况 开始刹车时 车辆停止时 制动距离S2(m) 0 2 32 ⑥ ⑥⑥ 77777777777777777777777777777777777777777 反应距离 制动距离 (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出S2与x的函数表达式； (2)当行驶速度为60km/h时，求停车距离S; (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比 正常情况下增加30m时，求汽车原速度为多少. S,(m) 30 16 40 10 642 020406080100120140160180xkm/h) (例题图) 50 贵州新中考 数学 二轮重难培优①当m>0时，抛物线开口向上， 当x=1时，函数取最小值，为m-2m+3=-m+3, .-m+3=2,解得m=1; ②当m<0时，抛物线开口向下， 当x=-1时，函数取最小值，为m+2m+3=3m+3, 3m+3=2,解得m=-了 综上所述，m的值为1或-子 【变式2】解：二次函数y=-x2+2mx-3, ∴.抛物线的开口向下， 2m 对称轴是直线x=-2×（-1)=m ①当0<m<3时， 当x=m时，函数取最大值，为-m2+2m2-3=m2-3, ∴.m2-3=1,解得m=2或m=-2(舍去)； ②当m≥3时， 当x=3时，函数取最大值，为-9+6m-3=6m-12, 6m-12=1,解得m=只（舍去） 综上所述，m的值为2. 【变式3】解：二次函数y=x2-6x+5, ∴.抛物线的开口向上，对称轴为直线x=3, .x=2和x=4的函数值相等. ①当m≤2时， 当x=m时，函数取最大值，为m2-6m+5; 当x=3时，函数取最小值，为32-6×3+5=-4， ∴.m2-6m+5+(-4)=-7, 轮 化简得m2-6m+8=0, 重 解得m1=2,m2=4(舍去)； 难 ②当2<m<3时， 培 当x=4时，函数取最大值，为42-6×4+5=-3； 当x=3时，函数取最小值，为-4， 优 -3+(-4)=-7,符合题意， ∴.m的取值范围是2<m<3; ③当3≤m≤4时， 当x=4时，函数取最大值，为-3； 当x=m时，函数取最小值，为m2-6m+5, ∴.-3+m-6m+5=-7, 化简得m2-6m+9=0, 解得m1=m2=3,符合题意。 综上所述，m的取值范围为2≤m≤3. 考向2利用二次函数的性质求最值 【例2】解：：抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C, .令y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3; 令x=0,则y=3, .A,B,C三点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)， (0,3),易得直线BC的表达式为y=-x+3. 令P(m,-m2+2m+3),则Q(m,-m+3), ∴.PQ=-m2+2m+3-（-m+3)=-m2+3m= -(m-2)+4 3、2,9 .0<m<3, 当m=名时，线段P0有最大值为2 18 贵州新中考 类 【变式1】令P(m,n), 则Q(3-n,n),n=-m+2m+3, .PQ=m-[3-(-m2+2m+3)]=-m2+3m -(m-2产+ .9 0<m<3, :当m=子时，线段PQ有最大值为} 【变式2】设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)， 代入A(-1,0),C(0,3), 得6行6=0保得代； lb=3 .直线AC的表达式为y=3x+3. PQ∥AC,.设直线PQ的表达式为y=3x+b. 设P(m,-m2+2m+3), ∴.3m+b=-m2+2m+3,.b=-m2-m+3, .直线PQ的表达式为y=3x-m2-m+3. :直线BC的表达式为y=-x+3, x=m+m 联立y=3x-m-m+3,解得 4 Γly=-x+3 0=3-m2+m 4 0m3m4) A(-1,0),C(0,3), ∴.0A=1,OC=3, .AC=√/0A2+0C2=10. PQ∥AC, PO AC =/10,即PQ=10(m- Xp -Xo OA m+m)=0(-m2+3m）:-0( 4 40 32+ 4(m- 910 16 .0<m<3, .当m= 3时，线段P0有最大值为6四 16 设问突破二临界范围问题 【例】解：四边形ABCD是矩形，点A(1,-1),B(1, -2),C,D都在第四象限，且AD=2, .点C的坐标为(3，-2)，点D的坐标为(3，-1) 由题意得，抛物线的开口向上，即a>0. 如解图①，当点N在点B处，且二次函数的图象过 点F时，a的值最大， ↑)y 2F -3-2-10.123.456 -1 D 2B C - (例题解图①) ∴.二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(1，-2)， 学 参考答案 .二次函数的表达式为y=a(x-1)2-2. :二次函数的图象过点F(0,2), ∴.2=a(0-1)2-2,解得a=4. 如解图②，当点N在点D处，且二次函数的图象过 点E时，a的值最小， 3-2-1023456x DN 3 (例题解图②) ∴.二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(3，-1)， .二次函数的表达式为y=a(x-3)2-1. ·二次函数的图象过点E(0,1), 1=a(0-32-1,解得a= 综上所述，a的取值范国为号≤0≤4 【变式】解：B(0,1),C(3,3), 2 直线BC的表达式为y=3x+L. 如解图①，当抛物线与边BC只有一个交点时，抛物 线与△ABC的边只有一个交点， 3以4 2 3-2-101234 -2 -3 -4 (变式题解图①) 2 则-2+2+e=3+1 整理得-手c+1=0, 54=(-含P-4x1x(-c+)=0, 解得e:) 3-2-1012 4 -1 -2 -3 (变式题解图②) 贵州新中考 如解图②，当抛物线的顶点在边AC上时，抛物线与 △ABC的边有三个交点， 则4x》xc-2=3. 4×(-1) 解得c=2, 二当。<c<2时，抛物线与△ABC的边只有两个 交点 如解图③，当抛物线经过点A(0,3)时，抛物线与 △ABC的边有三个交点，此时c=3. 3-2i012 -2 -3 (变式题解图③) 如解图④，当抛物线过点C(3,3)时，抛物线与 △ABC的边只有一个交点， 4 2 轮 重 -3-1-101234x 难 -2 优 (变式题解图④) 将C(3,3)代人y=-x2+2x+c, 得3=-32+2×3+c,解得c=6, .当3<c<6时，抛物线与△ABC的边有两个交 点 综上所达，c的取值范固为号<e<2和3<c<6 类型1抛物线型问题 【例】解：(1)如解图，以点A为原点，AB所在直线为x 轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。 H (例题解图) 由题意得，顶点P的坐标为(8,8)， .设抛物线的函数表达式为y=a(x-8)2+8. ·图象经过原点(0,0)， 0=a(0-8)2+8,解得a=-8’ 1 收学 参考答案 19 抛物线的函数表达式为y=名（(x-8)户+8。 (2)设该隧道限高h米， .AB=16,BC=2,.AC=14 当车高h一定，x=14时，车辆顶部与隧道的空隙 最小，则y=-8×(14-8)”+8=3.5, 此时车辆顶部与隧道的最小空隙=3.5-h, .3.5-h≥0.5，解得h≤3. ·该隧道限高3米. (3)当y=6时，-g(x-8)2+8=6, 解得x1=4,x2=12,∴.x2-x1=8, .两排灯的水平距离的最小值是8米. 【变式1】解：(1)设抛物线的表达式为y=ax(a≠0). 抛物线过点P(-2,-), (-2a=-3解得a=-8, 抛物线的表达式为y=名 (2)设AB=6米，则点A的横坐标为宁， 当=2时y-g宁P=- A分-分Bc=A0=5- 二 m=BC+AB+AD=2（5-22）+6=-6 轮 16 重 6+10=-66-8)2+14, 难 .当b=8时，m取得最大值14 培 ∴.当m取得最大值时，棚的跨度AB的长为8米. 优 (3)设直线EF的表达式为y=x+b'(≠O), :点E的纵坐标为-2E(4,- 1 将E4,-7),F2,2)代入y=k+, 得+=-号解 4 2k+b'=2 91 6'=2 直线EF的表达式为y=寻+号 设直线EF向下平移n米与抛物线相切， y=-5 9 则 1 y=-8x 一4x+2-n=0有两个相等的实数根， 4=(4× -n)=0, 解得a=名直线5向下平移的距离是g米 【变式2】解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线 x=80,顶点纵坐标为60，∴.顶点坐标为(80,60) 20 贵州新中考 类 设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， .a(0-80)2+60=0,解得a=-320, 3 ·抛物线的函数表达式为y=320x-80)+60. (2)点P的坐标为(0,75)， .第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向 上平移75个单位长度得到的， 3 ·新的抛物线的函数表达式为y=320x-80)+ 60+75三-370x-80)+135 .令y=- 320x-80)2+135=0 解得x1=200,x2=-40(舍去)， .起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm (3)设该平台的高度为kcm, 如解图，建立平面直角坐标系 y D BC花 (变式2解图) 设新的抛物线的函数表达式为)-20(：-80) +60+k. 由题意得A(80,57),B(80,0),C(120,0),D(120,48), 9 ·线段AD的函数表达式为y=-40+75(80≤ x≤120)， 3 9 六h=-320(x-80)°+60+k+40*-75 =02+8+6-75 32 :对称轴为直线x=92,80≤x≤120， .当x=120时，h有最小值3， -×120+8x120+-75=3, 解得k=6,∴.该平台的高度为6cm. 类型2利润问题 【例】解：任务1：150(1+a)2=216. 任务2：y=1000-10x. 任务3：设月销售总利润为w元，月销售量为y个， 则0=y(x-30) =(1000-10x)(x-30) =1000x-30000-10x2+300x =-10x2+1300x-30000 =-10(x-65)2+12250, .当x=65时，w的值最大，为12250， 故当x为65时，月销售总利润达到最大，最大总利 润为12250元. 【变式】解：(1)设y与x的函数表达式为y=x+b, 由5意得+么三的解爬收山 lb=1201 学 参考答案 ·y与x的函数表达式为y=-x+120. (2)设公司销售该商品获得的最大日利润为心元， 则w=(x-20)y=(x-20)(-x+120)=-(x 70)2+2500. .·x-20≥0，-x+120≥0，x-20≤20×100%， ..20≤x≤40 ,·-1<0,∴.抛物线开口向下， ∴.当x<70时，w随x的增大而增大， ∴.当x=40时，心的值最大，最大值为1600 故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元. (3)由题意，令-(x-80)2+1600=1500, 解得x1=70,x2=90,.70≤x≤90， ·.销售单价的取值范围为70≤x≤90. 类型3面积问题 【例】解：(1)(33-3x),(-3x2+33x). (2)由题意得-3x+33x=84, 整理得x2-11x+28=0. 解得x1=4,x2=7. 墙长为12米，.33-3x≤12，解得x≥7， .x1=4舍去，.x的值为7. (3)S=x(33+1×3-3x)=-3x2+36x =-3(x-6)2+108. 墙长为12米， 36-3x≤12 36-3x≥2 解得8≤x≤ :-3<0,.抛物线的开口向下， .∴.当x≥6时，S随x的增大而减小， .当x=8时，S取最大值，最大值为8×(36-3× 8)=96(平方米). 类型4行程问题 【例】解：(1)图象如解图所示： ↑S,(m 32 30 26 20 16 020406080100120140160180xkm/h (例题解图)》 设S,与x的函数表达式为S2=ax2+bx(a≠0)， 将(20,2)，(40,8)代入得400a+206=2 11600a+40b=8 解得a=200, Lb=0 故5，与x的函数表达式为5，=200(x≥0)： ，5 1 (2)由题意得S,=0.6×18=6, 贵州新中考 12 1 则S=S+5,=200+6 当x=60km/h时，S=28m, 故停车距离为28m. (3)疲劳驾驶下反应距离S,′=3S=2, 由题意得S,'-5,=3=30, 解得x=90,故汽车原速度为90km/h. 题型五二次函数综合题 类型1二次函数的性质综合题 【例】解：(1)二次函数的图象经过点(1，-2)， ∴.-2=1-2a+1,解得a=2. (2)由(1)知二次函数为y=x2-4x+1. y=x2-4x+1=(x-2)2-3, .抛物线y=x2-4x+1的开口向上，对称轴为直 线x=2,顶点坐标为(2，-3). :当m-2≤x≤2时，二次函数的最大值是6， .当x=m-2时，二次函数的函数值是6， .(m-2-2)2-3=6, 解得m=1或m=7(舍去)， .m的值为1. (3)设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)， 将A(-2,7),B(3,2)代入， 得以7每得化； .直线AB的表达式为y=-x+5. :直线AB与x轴、y轴分别交于点E,F, 轮 .E(5,0),F(0,5). 重 画出图形如解图. 难 培 优 0 （例题解图) 由题意，易知抛物线y=x2-2ax+1必过点(0,1)， 当抛物线y=x2-2ax+1经过点A(-2,7)时， 7=4+4a+1,解得a=2 1 当抛物线y=x2-2ax+1经过点B(3,2)时， 2=9-60+1,解得a=专： 当抛物线y=x2-2ax+1经过点E(5,0)时， 0=25-10+1,解得0=号 :抛物线y=x2-2ax+1与直线AB的一个交点在 线段AF上，另一个交点在线段BE上， .a≥ 1 :.a的取值范围为？≤a≤5 4 13 【变式】解：(1)：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C, 收学 参考答案 21