题型4 设问突破1 最值问题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

题型四 二次函数的实际应用 设问突破已 最值问题一 针对2023贵州中考24(3)题 考向1 二次函数的区间最值 知识储备 1.利用二次函数顶点式求最值 2.区间范围内利用增减性求最值 (1)二次函数区间最值类型 ①定轴定区间：对称轴和区间都固定；②定轴动区间：对称轴固定，区间动； ③动轴定区间：对称轴动，区间固定；④动轴动区间：对称轴和区间都动. (2)解题方法三要素 ①三点：区间的两个端点和中点；②一轴：表示二次函数的对称轴：③开口：表示二次函数的开口方向. 通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论解决问题. (3)四种区间情况讨论 ①对称轴在区间右边； ②对称轴在区间左边； ③对称轴在区间内，且靠近右端点；④对称轴在区间内，且靠近左端点。 例1已知二次函数y=-x2-2x+3,当m≤ 【解题突破点】 x≤m+1时，求该函数的最小值和最大值（用 a=-1<0,c=3>0,对称轴为直线x=-1,区间为 含m的代数式表示). m≤x≤m+1,分情况讨论： 当对称轴在区间右侧，即 当对称轴在区间左侧， m+1≤-1时 即m≥-1时 m+10 0mm+1元 直线x=-1 直线x=-1 【变式1】（定轴定区间）已知二次函数y=mx2 当对称轴在区间中间，且 当对称轴在区间中间， 2mx+3(m为常数，且m≠0)，当-1≤x≤2 左距大于右距，即m<-1 且右距大于左距，即m 时，函数的最小值为2，求m的值， <m+1,且-1-m>m+ <-1<m+1,且-1- 1-(-1)时 m<m+1-(-1)时 y m+1 直线x=一1 直线x=-1 贵州新中考数学 二轮重难培优 43 【变式2】（动轴定区间）已知二次函数y=-x2+ 【变式3】（定轴动区间）已知二次函数y=x2- 2mx-3(m>0),当-1≤x≤3时，函数的最 6x+5,当m≤x≤4时，函数的最大值与最小 大值为1，求m的值 值的和为-7，求m的取值范围. 考向2利用二次函数的性质求最值 例2如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于点C,连接BC,点P 是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交线段BC于点Q,求线段PQ的最大值. 2 (例2题图) 【变式1】如图，若PQ∥x轴交线段BC于点Q,求线段PQ的最大值. (变式1题图) 【变式2】如图，连接AC,若PQ∥AC交线段BC于点Q,求线段PQ的最大值 A O (变式2题图) 44 贵州新中考数学 二轮重难培优:∠AMD=∠CMD=180°=90，DM⊥AC 2 (3)如解图，连接BD :AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， ∠ADB=∠ABF 又∠BAD=∠FAB, ∴.△ABD∽△AFB, B …招根 (变式3题解图) .AB2=AD·AF 由(2)知∠CAD=∠ACD,.AD=CD, AB2=CD·AF CD·AF=16,AB=4,∴.⊙0的直径为4. 【变式4】(1)∠CAD(答案不唯一). (2)证明略， (3)咒的值为名 类型2与切线的判定有关的证明与计算 【例】(1)45°. (2)证明略 (3)⊙0的半径为6 【变式1】(1)∠BOD(或∠BAC). (2)证明略 (3)AD的长为4Y5页 5 【变式2】(1)65° (2)证明略 (3)阴影部分的面积为？-吾 类型3与圆基本性质有关的证明与计算 【例】解：(I)∠ABD(或∠CBD或∠DAC). (2)△CDE是等腰三角形，理由略 (3)AC的长为6. 【变式1】(1)AD=BD. （2)证明：AC是⊙0的直径，DF⊥DE, ∴.∠ADC=90°，∠EDF=90°， .∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90° ∴.∠ADE=∠CDF :∠ADC=90°，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.AD=CD,∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+ ∠DCF=90°. ∴.∠DAC=∠DCF. r∠ADE=∠CDF 在△ADE和△CDF中，AD=CD I∠DAE=∠DCF △ADE≌△CDF(ASA),∴.AE=CF (3)解：补全图形如解图，连接OD. (变式1题解图) 贵州新中考 △ADE≌△CDF,.DE=DF=1. .ME=2.∴.MD=ME+DE=3. 在Rt△MDF中，∠MDF=90°， .MF=√MD2+DF=√1o. 在△MDF和△MCE中， ,∠ECM=∠MDF=90°，∠M=∠M, ·.△MDF△MCE, 版-器即9-a=9 5 A0=0D,∠0AD=45°，.∠A0D=90. :∠EOD=∠ECM=90°，∠OED=∠CEM, △B0D△BCM8-2。 ·0E=Y0 10, 0c=08+c=0+0-3 5 10 00的半径为2治0 【变式2】解：(1)0C∥EF. (2)∠EFB的度数为60. (3)4B的长为号 题型四 二次函数的实际应用 设问突破一最值问题 考向1二次函数的区间最值 二 【例1】解：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 轮 .抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1. 重 当x=-1时，y=4； 当x=m时，y=-m2-2m+3; 难 当x=m+1时，y=-(m+1)2-2(m+1)+3= 培 -m2-4m. 优 ①当m+1≤-1，即m≤-2时， 当x=m时，函数取最小值； 当x=m+1时，函数取最大值， ∴y最小=-m2-2m+3,y大=-m2-4m; ②当m≥-1时， 当x=m+1时，函数取最小值； 当x=m时，函数取最大值， y最小=-m2-4m,y最大=-m2-2m+3; ③当m<-1<m+1,且-1-m>m+1-(-1), 即-2<m<-号时， 当x=m时，函数取最小值； 当x=-1时，函数取最大值， ∴.y最小=-m2-2m+3,y最大=4； ④当m<-1<m+1,且-1-m<m+1-(-1), 即-子<m<-1时， 当x=m+1时，函数取最小值； 当x=-1时，函数取最大值， .y最小=-m2-4m,y最大=4. 【变式1】解：二次函数为y=mx2-2mx+3, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. 学 参考答案 17 ①当m>0时，抛物线开口向上， 当x=1时，函数取最小值，为m-2m+3=-m+3, .-m+3=2,解得m=1; ②当m<0时，抛物线开口向下， 当x=-1时，函数取最小值，为m+2m+3=3m+3, 53m+3=2,解得m=-号 综上所述，m的值为1或-3 1 【变式2】解：：二次函数y=-x2+2mx-3, .抛物线的开口向下， 2m 对称轴是直线x=2×（-1)=m ①当0<m<3时， 当x=m时，函数取最大值，为-m2+2m2-3=m2-3, .m2-3=1,解得m=2或m=-2(舍去)； ②当m≥3时， 当x=3时，函数取最大值，为-9+6m-3=6m-12, 6m-12=1解得m=名（合去）. 综上所述，m的值为2 【变式3】解：二次函数y=x2-6x+5, ∴.抛物线的开口向上，对称轴为直线x=3, .x=2和x=4的函数值相等. ①当m≤2时， 当x=m时，函数取最大值，为m2-6m+5; 当x=3时，函数取最小值，为32-6×3+5=-4， .m2-6m+5+(-4)=-7, 轮 化简得m2-6m+8=0, 重 解得m1=2,m2=4(舍去)； 难 ②当2<m<3时， 培 当x=4时，函数取最大值，为42-6×4+5=-3； 当x=3时，函数取最小值，为-4， 优 -3+（-4)=-7,符合题意， .m的取值范围是2<m<3; ③当3≤m≤4时， 当x=4时，函数取最大值，为-3； 当x=m时，函数取最小值，为m2-6m+5, .-3+m2-6m+5=-7, 化简得m2-6m+9=0, 解得m1=m2=3,符合题意， 综上所述，m的取值范围为2≤m≤3. 考向2利用二次函数的性质求最值 【例2】解：抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C, 令y=-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3; 令x=0,则y=3, .A,B,C三点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)， (0,3),易得直线BC的表达式为y=-x+3. 令P(m,-m2+2m+3),则Q(m,-m+3), ∴.PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m= --影 .0<m<3, :当m=子时，线段P0有最大值为骨 18 贵州新中考娄 【变式1】令P(m,n), 则Q(3-n,n),n=-m2+2m+3, .PQ=m-[3-(-m2+2m+3)]=-m2+3m 9 0<m<3, :当m=子时，线段PQ有最大值为子 【变式2】设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0)， 代入A(-1,0),C(0,3), 得k+6=0,解得k=3, L6=3 lb=3’ ∴.直线AC的表达式为y=3x+3. PQ∥AC,∴.设直线PQ的表达式为y=3x+b. 设P(m,-m2+2m+3), .3m+b=-m2+2m+3,.b=-m2-m+3, .直线PQ的表达式为y=3x-m2-m+3. 直线BC的表达式为y=-x+3, ·联立=3--m+3,解得 =m'+m 4 ly=-x+3 r=3-mtm 4 Q(m+m,3-+m】 4 4 A(-1,0),C(0,3), .0A=1,0C=3, .AC=√0A2+0C2=√10. PQ∥AC, 0,=8G-而，即p0=V(m xp-%o )=(-i+m）=-》+ 910 16 0<m<3, 当m=号时，线段P阳有最大值为 16 设问突破二临界范围问题 【例】解：四边形ABCD是矩形，点A(1,-1),B(1, -2),C,D都在第四象限，且AD=2, ∴.点C的坐标为(3，-2)，点D的坐标为(3，-1) 由题意得，抛物线的开口向上，即a>0. 如解图①，当点N在点B处，且二次函数的图象过 点F时，a的值最大， -3-2-10123456元 -1X D -24B C - (例题解图①) .二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(1，-2)， 学 参考答案