题型3 圆的综合题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

题型三 圆的综合题 类型1)与切线的性质有关的证明与计算(2025,2024.23) 例(2025安顺三模)如图，BE是⊙0的直径，A,D是⊙0上的两点，过点A 作⊙O的切线，交BE的延长线于点C. (1)在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与∠ADE相等的角： (2)求证：∠EAC=∠ABC: 【解题突破点】 ①BE是⊙O的直径→ ∠BAE=90° ②连接OA,AC是⊙O的 切线→∠OAC=90° D (例题图) (3)若AE=6,BE=10,求线段CE的长 【解题突破点】 ①在Rt△ABE中，勾股定 理→AB长度 ②aBiC∽△MC一号- D (例题图) 品-8 36 贵州新中考数学 二轮重难培优 【变式1】如图，BC为⊙O的弦，A为BC的中点， 【变式2】如图，在△ABC中，AB是⊙0的弦，AC D为BC上一点，连接AD,过点A作⊙O的切线 过点O交⊙O于点P,BC是⊙O的切线。 AE,连接CE,CE∥AD,F为AE上一点，AF= (1)若∠C=30°，则线段OA与0C的数量关 BD,连接AB,AC,CF 系为 (1)写出图中一个与∠ACB相等的角： (2)写出∠A与∠C的数量关系，并证明； (2)求证：四边形ADCE是平行四边形； (3)过点O作OD⊥AB于点G,交⊙O于点D, 根据题意补全图形，若OG:GD=3：2,CP= (3)若BD=EF=2AB,AC=6,求AD的长 6,求BC的长 D·0 0 (变式1题图) (变式2题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 37 (变式3】如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于 【变式4】(2025铜仁印江县模拟)如图，已知四 点E,AC=2BD,连接AD,过点B作⊙0的切 边形ACBD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，且 线与AD的延长线相交于点F,CD的延长线与 CA=CD,过点C作⊙O的切线交AB的延长 BF的延长线相交于点G. 线于点E,弦CD交AB于点F. (1)若∠AFB=70°，则∠ADC的度数为 (1)写出图中一个与∠DCE相等的角： (2)连接C0,AC,连接DO并延长交AC于点 (2)求证：BC2=BD·BE; M,根据题意补全图形，探究DM与AC的位置 (3)若B服=1，amL4C=方求%的值 关系，并说明理由 (3)在(2)的条件下，若CD·AF=16,求⊙0 的直径 (变式4题图) D G (变式3题图) 38 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型2)与切线的判定有关的证明与计算 例如图，AB是⊙O的直径，D是半圆AB的中点，点C是⊙O上一点，连接 CD交AB于点E,点P是BA延长线上一点，连接PC,且PC=PE,连接AD, AC,BC. 【解题突破点】 (1)∠BAD的度数是 ①连接OD,D是半圆AB的 中点→∠AOD=∠B0D (2)求证：PC是⊙0的切线； 2∠B0D ②LBAD= 【解题突破点】 E ①PC=PE→∠PCE= ∠PEC D (例题图) ②连接OC,∠0CP= ∠OCD+∠PCE=∠ODC+ ∠OED (3)若Pc=8,amD=2,求⊙0的半径 【解题突破点】 ①tanD= 2,∠ADC= ∠ABC-AC C的值 ②△PCA∽△PBC→ PA D PC (例题图) PC AC PB BC 贵州新中考数学 二轮重难培优 39 【变式1】如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径， 【变式2】如图，AB是⊙0的直径，P是⊙0外一 C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO 点，PA与⊙O相切于点A,点C为⊙O上的一 并延长至点E,连接AE,且∠B=∠E. 点.连接PC,AC,OC,且PC=PA. (1)图中与∠AOE相等的角是 (1)若∠P=50°，则∠PAC的度数为 ； (2)求证：AE为⊙0的切线； (2)求证：PC为⊙0的切线； (3)若⊙0的半径为4,0E=2√10，连接AD, (3)延长PC与AB的延长线交于点D,若PA= 求AD的长 √3，OA=1,求图中阴影部分的面积 (变式1题图) (变式2题图) 40 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型3与圆基本性质有关的证明与计算(2023.23) 例(2024遵义汇川区三模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，D是AC的中点， 连接BD,AD,CD,CE平分∠ACB交BD于点E. (1)写出图中一个与∠ACD相等的角： (2)判断△CDE的形状，并说明理由； 【解题突破点】 ①D是AC的中点→ ∠ABD=∠CBD=∠ACD ②CE平分∠ACB→ ∠ACE=∠BCE D (例题图) (3)若⊙0的半径为2√3，∠ABC=60°，求AC的长 【解题突破点】 ①连接OA,连接OD交 AC于点F 0· ②在Rt△AOF中，∠AOF= 60° D (例题图) 贵州新中考数学 二轮重难培优 41 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 【变式2】如图，点O是△ABC内部一点，C0平分 BC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接 ∠ACB,以点O为圆心，OC长为半径的圆经过 CD,点E在OC上，连接DE,过点D作DF⊥ 点B,交AC于点D,连接B0并延长交⊙O于点 DE,交BC于点F. E,连接ED并延长交AB于点F (1)线段AD与BD的数量关系是 (1)线段OC与EF的位置关系是 (2)求证：AE=CF; (2)若∠EBF=2∠A,求∠EFB的度数； (3)延长DE,BC交于点M,根据题意补全图 (3)在(2)的条件下，若F是AB的中点，⊙O 形，若DF=1,ME=2,求⊙O的半径 的半径为1，求AB的长. (变式2题图) (变式1题图)》 42 贵州新中考数学 二轮重难培优第二部分 贵 题型一 填空压轴题 类型1 线段定值问题 【18, 12824万3号 4.353 3 类型2面积定值问题 【例】36-18√2,112.51.4√32.185 类型3最值问题 【例141号24万3 25 4.203-16 题型二解直角三角形的实际应用 1.解：任务1：8,41. 任务2：限位器P应装在离点A大约11.2cm的 位置 2.内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 3.解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86. 由题意得BC、AB sin A=sin C BC≈341mAB=BC,sinC=BC·sin86 sin A sin43° ≈341×0.998 =499m, 0.682 轮 故A,B两岛间的距离约为499m. 重 (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水 难 平面高度)： 培 测量过程： 优 步骤1：如解图，在空旷地找一点C,使得△ABC是 锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C 的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC= a m,AC b m. 计算过程： 过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADC=∠ADB=90°. A (第3题解图) ”在Rt△ACD中，sinC=AD.g AC,cos C CD AC .'AD bsin C,CD bcos C, .BD BC -CD =(a-bcos C), :在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB .AB =(bsin C)2+(a bcos C)2, 故A,B两岛间的距离为 (bsin C)2+(a bcos C)2m. 16 贵州新中考 类 州重难题型突破 题型三 圆的综合题 类型1与切线的性质有关的证明与计算 【例】(1)∠ABC(或∠EAC). (2)证明略. (3)线段cE的长为学 【变式1】(1)∠ABC(或∠CAE). (2)证明略。 (3)AD的长为3√2 【变式2】解：(1)0C=20A. (2)2∠A+∠C=90°，证明如下： 如解图，连接OB. BC是⊙0的切线，.∠OBC=90°， .∠C+∠B0C=90°. OA=OB,∴.∠A=∠OBA :∠B0C=∠A+∠OBA=2∠A, .2∠A+∠C=90°. B (变式2题解图) (3)补全图形如解图，连接BP .·OD⊥AB,.AG=BG 0G:GD=3:2,设0G=3x,则DG=2x, .A0=B0=D0=5x, .AG=BG=√(5x)2-(3x)7=4x,AP=10x, .AB 8x. AP是⊙0的直径，.∠ABP=90°， .BP=√AP2-AB=6x. 由(2)知∠OBC=90°，∠B0P=2∠A. OB OP. ∠0PB=180°-，∠B0P=90°-∠A, 2 .∠CBP=90°-∠OBP=∠A, △cpa4GB品-20 即2瓷-答Bc=8 【变式3】解：(1)40° (2)补全图形如解图.DM⊥AC,理由如下： AC=2BD,.∠ADC=2∠BAD. OA=OD,.∠OAD=∠ODA, .∠ADC=2∠ODA,.∠ODC=∠ODA. .·OC=OD. .∠OCD=∠ODC=∠ODA=∠OAD. 又OC=OA,.∠0CA=∠OAC, ∴.∠ACD=∠CAD. 又·MD=MD,∴.△CMD≌△AMD(AAS), 学 参考答案 .∴.∠AMD=∠CMD= 180° =90°，∴.DM⊥AC. (3)如解图，连接BD :AB是⊙0的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ADB=∠ABF 又·∠BAD=∠FAB, ∴.△ABD△AFB, B 船很 (变式3题解图) .AB=AD·AF 由(2)知∠CAD=∠ACD,.AD=CD, AB2=CD·AF .CD·AF=16,.AB=4,.⊙0的直径为4. 【变式4】(1)∠CAD(答案不唯一). (2)证明略。 (8)咒的值为君 类型2与切线的判定有关的证明与计算 【例】(1)45 (2)证明略。 (3)⊙0的半径为6 【变式1】(1)∠BOD(或∠BAC), (2)证明略 (3)AD的长为45的 5 【变式2】(1)65° (2)证明略。 (3)阴影部分的面积为 72-6 类型3与圆基本性质有关的证明与计算 【例】解：(I)∠ABD(或∠CBD或∠DAC) (2)△CDE是等腰三角形，理由略。 (3)AC的长为6. 【变式1】(1)AD=BD. (2)证明：：AC是⊙O的直径，DF⊥DE, ∴.∠ADC=90°，∠EDF=90°， .∴.∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90° .∴.∠ADE=∠CDF. ·.·∠ADC=90°，∠ACB=90°，AC=BC, .AD=CD,∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+ ∠DCF=90°. ∴.∠DAC=∠DCF ∠ADE=∠CDF 在△ADE和△CDF中，{AD=CD I∠DAE=∠DCF .△ADE≌△CDF(ASA),.AE=CF (3)解：补全图形如解图，连接OD. M (变式1题解图) 贵州新中考 .△ADE≌△CDF,.DE=DF=1. ME=2.∴.MD=ME+DE=3. 在Rt△MDF中，∠MDF=90°， .MF=√/MD2+DF=√1O. 在△MDF和△MCE中， :∠ECM=∠MDF=90°，∠M=∠M, ·.△MDF△MCE, E-即=cB= :A0=0D,∠0AD=45°，.∠A0D=90°. :·∠EOD=∠ECM=90°，∠OED=∠CEM, ·△EOD△ECM,: DE OE ME=CE 0E=10 10’ ·.OG=0E+EC=0+0=31:10 5 10 ⊙0的半径为310 10 【变式2】解：(1)OC∥EF. (2)∠EFB的度数为60°. (3)AB的长为号 题型四 二次函数的实际应用 设问突破一最值问题 考向1二次函数的区间最值 【例1】解：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 轮 ·.抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1. 重 当x=-1时，y=4; 当x=m时，y=-m2-2m+3; 难 当x=m+1时，y=-(m+1)2-2(m+1)+3= 培 -m-4m. 优 ①当m+1≤-1，即m≤-2时， 当x=m时，函数取最小值； 当x=m+1时，函数取最大值， y最小=-m2-2m+3,y最大=-m2-4m; ②当m≥-1时， 当x=m+1时，函数取最小值； 当x=m时，函数取最大值， y最小=-m2-4m,y最大=-m2-2m+3; ③当m<-1<m+1,且-1-m>m+1-(-1), 即-2<m<-时。 当x=m时，函数取最小值； 当x=-1时，函数取最大值， .y最小=-m2-2m+3,y最大=4； ④当m<-1<m+1,且-1-m<m+1-(-1), 即昌 <m<-1时， 当x=m+1时，函数取最小值； 当x=-1时，函数取最大值， .y最小=-m2-4m,y最大=4. 【变式1】解：：二次函数为y=mx2-2mx+3, .抛物线的对称轴为直线x=1. 敏学 参考答案 17