培优专题6 圆中最值及隐形圆问题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优

培优专题六 圆中最值及隐形圆问题 类型1点圆最值 例如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E为BC 模型解读 的中点，以BE为直径作⊙O,点P为⊙O上一点，连接 已知条件：⊙0上一动点P,⊙0的半径为r,点 DP,则DP的最大值为 A,求AP的最值 A 情况1：点A在⊙0外 模型分析：连接A0,直线A0与⊙0交于点 P1,P2 当A,O,P三点共线时，AP取得最值，最小值为 (例题图) (例题解图)】 PA=OA-r,最大值为P2A=OA+r →寻题眼 图形展示： 特征①：定点：点D;⊙O上动点：点P 特征②：求定点D到⊙O上动点P的最小值 →辅助线 连接D0并延长交⊙0于点P' →找最值 情况2：点A在⊙0上 DP的最大值为线段DP'的长 模型分析：当点A与点P重合时，AP取得最小 值，最小值为0； ⊕针对训练 当A,0,P三点共线时，AP取得最大值，最大值 1.如图，在平面直角坐标系中，A(0,5),B(5,0),以点B 为2r 为圆心，3为半径的⊙B上有一动点P,连接AP,若点 图形展示： C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值为 A(P 情况3：点A在⊙0内 模型分析：连接A0,直线A0与⊙0交于点 (第1题图) P1,P2 当A,O,P三点共线时，AP取得最值，最小值为 P,A=T-OA,最大值为P2A=T+0A 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=2√3， 图形展示： 半径为1的⊙0在Rt△ABC内平移（⊙0可以与该三 角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大 值为 (第2题图) 16 贵州新中考数学 二轮重难培优 类型2)线圆最值 例如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,E是边AB的中 模型解读 点，以点A为圆心，AE长为半径作⊙A,P是⊙A上一 已知条件：⊙0上一动点P,⊙0的半径为r,直 动点，连接BP,CP.若口ABCD的面积为10，则△BPC 线，求点P到直线l的距离的最值 的面积最小值为 情况1：直线1与⊙0相离 模型分析：过点0作直线1的垂线，交⊙0于点 P1,P2,垂足为D 点P到直线l的距离的最小值为P2D=OD-T, 最大值为PD=OD+r (例题图)》 (例题解图) 图形展示： ◆寻题眼 特征①：定线段：BC;动点：点P(点P在⊙A上) 特征②：间接求动点到定线段的最小值 →辅助线 过点A作AF⊥BC交⊙A于点G,交BC于点F ◆找最值 D 动点P到定线段BC的最小值为线段GF的长 情况2：直线1与⊙0相切 模型分析：过点0作直线1的垂线，交⊙0于点 ⊕针对训练 P1,P2,垂足为D 1.如图，点0为矩形ABCD的中心，AB=8,BC=6,⊙B 当点D与点P重合时，点P到直线I的距离取得 的半径为2，P是⊙B上一个动点，则△AOP面积的最 最小值，最小值为0； 小值为 当PD为直径时，点P到直线I的距离取得最大 值，最大值为PD=2r 图形展示： (第1题图) D(P.) 情况3：直线1与⊙0相交 模型分析：过点O作直线l的垂线，交⊙0于点 2.如图，已知AB是⊙0的弦，C是⊙0上的一个动点，连 P1,P2,垂足为D 接AC,BC,∠C=60°，⊙0的半径为2，则△ABC面积 点P到直线l的距离的最小值为P2D=r-OD, 的最大值是 最大值为PD=T+OD 图形展示： 0 (第2题图) 贵州新中考 数学 二轮重难培优 17 类型3定点定长 例如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边 模型解读 上的动点（不与B,C重合），连接DE,作点C关于DE的 作图原理：圆的定义 对称点C',连接BC,则BC的最小值为 求最值原理：点圆最值/线圆最值 1.一点作圆 条件：平面内，点0为定点，点A为动点，且OA 长度固定 0 E (例题图) (例题解图) →寻题眼 结论：点A的运动轨迹在以点0O为圆心，OA长 特征①：定点：点D;动点：点C(随点E的运动而运动) 为半径的圆上 特征②：连接定点和动点的线段长度固定，即DC'=6 2.三点作圆 →辅助线 条件：OA=OB=OC 以点D为圆心，DC长为半径作⊙D,连接BD交⊙D于点C" →找最值 BC'的最小值为线段BC”的长 针对训练 1.如图，点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为平 结论：点A,B,C均在⊙0上 面直角坐标系内一点，BC=2,点M为线段AC的中 3.定点定长作圆在图形变化中的应用 点，连接OM,则OM的最大值为 类型 翻折生圆 旋转生圆 y B外 C 在矩形ABCD中，E M 是AB边上的定点， 将△ABC绕点A 0 A 条件 F是BC边上一点， 逆时针旋转90° (第1题图) 将△BEF沿EF折 得到△AB'C 叠得到△B'EF 图示 2.如图，正方形ABCD的边长为6，以对角线BD为斜边 作Rt△BED,∠E=90°，点F在DE上，连接BF.若 2BE=3DF,则BF的最小值为 点B(C)的运动 点B'的运动轨迹是 轨迹是以点A为 以点E为圆心，BE 圆心，AB(AC)长 结论 长为半径的一段圆 为半径的一段圆 弧（如图中的虚线 弧（如图中的虚 圆弧) (第2题图) 线圆弧) 18 贵州新中考 数学 二轮重难培优 类型4定弦定角 例如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为正方形内 模型解读 部的一个动点，连接MD,且∠AMD=90°，连接CM, 作图原理：圆周角定理及其推论 则CM的最小值为 条件：在△ABC中，AB为定长，∠C为定角 情况1：当∠C<90°时 图形展示： (例题图) (例题解图)》 →寻题眼 特征①：定弦：AB;定角：∠AMD=90° 结论：①LC,=∠C,=2L40B 特征②：求定点C到动点M的最小值 ②点C的运动轨迹为优弧ACB(不与点A,B重合)》 ◆辅助线 情况2：当∠C=90°时 ①取AD的中点O,以点O为圆心，OA长为半径作圆 图形展示： ②连接OC交⊙0于点M' ◆找最值 CM的最小值为线段CM'的长 线针对训练 1.如图，在等边三角形ABC中，AB=6,点D,E分别在 结论：①AB为⊙O的直径 BC,AC上，且BD=CE,连接AD,BE交于点F,连接 ②点C的运动轨迹为⊙O(不与点A,B重合) CF,则CF的最小值为 情况3：当∠C>90°时 图形展示： D (第1题图) 结论：①∠C+7∠A0B=180 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,将射线 ②点C的运动轨迹为劣弧ACB(不与点A,B重合) CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一 点D,连接AD,使得△ACD的面积为24，连接BD,则 BD的最大值是 (第2题图) 贵州新中考 数学 二轮重难培优 19 类型5)四点共圆 例如图，在△ABC中，AB=4√2，AC=3√5，以BC为斜 模型解读 边作Rt△BDC,连接AD,过点D作DE⊥AD交AB于 1.对角互补型 点E,若∠BMD=∠CBD,且cos∠BMD=子，则AD的 条件：在四边形ABCD中，∠D+∠B=180 图形展示： 长为 结论：利用圆内接四边形的对角互补，可得A, B,C,D四点共圆 (例题图) (例题解图) 2.同侧等角型 →寻题眼 条件：点C,D在AB的同侧，且∠C=∠D 特征①：DE⊥AD,Rt△BDC,∠BAD=∠CBD∠BCD+ 图形展示： ∠BED=180° 特征②：∠BDC=90° ◆辅助线 点B,C,D,E在以BC为直径的圆上 结论：利用同弧所对的圆周角相等，可得A, 针对训练 B,C,D四点共圆 1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4,D 是BC的中点，连接AD.在AC上找一点E,使得∠CAD= ∠CBE,则AE= (第1题图) 2.如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC,BD交于点 O,E是正方形外一点，且BE⊥CE,连接OE.若CE= 号BC,则0E的长为 (第2题图) 20 贵州新中考数学 二轮重难培优3.二轮国 第一部分 贵 培优专题一遇到中点如何添加辅助线 【创冷 1.102.√193.54.3-35.√10 6.（1)证明略. (2)AD=6. 7.(1)证明略. (2)△FCD的面积为25√3. 培优专题二遇到角平分线如何 添加辅助线 【例12512223号 48+455356号7382 2 9.AB的长为3. 培优专题三 遇到特殊角、特殊线段 如何添加辅助线 【例】5- -1.6+252.24+853.2-5 44万52369等51号 8.(1)证明略；(2)⊙0的直径为4 培优专题四 全等三角形的常考模型 模型1一线三等角型 【例】551.42.√2 模型2旋转“手拉手”型 【例】3√71.62°2.120° 模型3对角互补模型 【例】51.8万25 模型4 半角模型 【例31v压2 模型5十字模型 【例121.132.35 2 培优专题五 相似三角形的常考模型 模型1一线三等角型 【例191162号 3 模型2旋转“手拉手”型 【112 2 贵州新中考 重难培优 州培优专题强训 模型3 对角互补模型 【例61223 模型4十字模型 【例1 2.1213 4 17 培优专题六圆中最值及隐形圆问题 类型1点圆最值 【例2+21.55-32.2万+1 2 类型2 线圆最值 【例】1.72.35 类型3定点定长 【例】41.1+222.45-2√2 类型4定弦定角 【例】4V5-41.2√52.2√13+4 类型5四点共圆 【例】号1.3万2.4+万 轮 培优专题七几何最值问题 难 类型1利用“两点之间线段最短”求最值 培 优 【例1】71.√342.万【例2163.40° 4.2√21【例3】655.45°6.4【例4】1 7.12+2268.4√10 类型2利用“垂线段最短”求最值 【例1】3-√5【例2】41.2√52.4W5 【例315237943-5 【综合训练】 1.102.83.4.84.225.2/136.5√2 7.118.10 培优专题八 轨迹问题中的主从联动 (瓜豆原理) 类型1线段（直线）轨迹 【例1子1 2.45 2 类型2 圆轨迹 【例】2+11.1+7 2.5-1 2 学 参考答案 15