第一部分 7 培优专题七 几何最值问题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何最值核心考点，严格对接中考要求，系统梳理“两点之间线段最短”“垂线段最短”等模型，结合2023年中考真题（如2023.24题）分析考点权重，按“两定一动、一定两动、胡不归问题”等考向归纳常考题型，提炼“同侧找对称，异侧直接连”等模型巧记法，备考针对性强。 课件亮点在于“真题示例+模型归纳+解题步骤”的实战模式，通过例1“PC+PD最小值”等真题解析，示范“寻题眼-作辅助线-转化最值”三步法，培养学生几何直观与推理意识。特别设计“模型巧记”“易错转化对比”，助力学生掌握转化思想，教师可依此开展专题突破，提升复习效率。

二轮重难培优 数学 第一部分 贵州培优专题强训 培优专题七　几何最值问题 深研贵州统考方向 考向1　两定一动型(含将军饮马问题)(2023.24) 情况1：在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小 图形展示： (1)同侧型 作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P 新题好题 一练提优 (2)异侧型 作法：连接AB与直线l交于点P 新题好题 一练提优 情况2：在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最大 图形展示： (1)同侧型 作法：连接AB并延长与直线l交于点P 新题好题 一练提优 (2)异侧型 作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P 【模型巧记】 线段和最小，同侧找对称，异侧直接连 线段差最大，同侧直接连，异侧找对称   新题好题 一练提优 如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，AC＝，点D在边BC上，且BD＝BC，P是斜边AB上一点，连接PC，PD，则PC＋PD的最小值为_____. (例1题图) 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：线段同侧有两定点：点C，D；一动点：点P 特征②：求线段和最值：PC＋PD的最小值 ➡辅助线 作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′ ➡找最值 ①PC＋PD的最小值转化为PC＋PD′的最小值 ②PC＋PD′的最小值为线段CD′的长 (例1题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点P′，连接P′D，BD′，当C，P，D′三点共线时，即点P与点P′重合时，PC＋PD的值最小，最小值为CD′的长.过点D′作D′E⊥BC于点E.∵∠ABC＝ 30°，AC＝，∴AB＝2AC＝2，BC ＝＝＝3. (例1题解图) 新题好题 一练提优 ∵BD＝BC，∴BD＝1，CD＝2.∵点D′是点D关于AB的对称点， ∴∠ABD′＝∠ABC＝30°，BD＝BD′，∴∠DBD′＝60°，∴△DBD′是等边三角形，∴DD′＝1，BE＝DE＝，D′E＝，∴CE＝CD＋DE＝2＋＝.在Rt△CED′中，由勾股定理得，CD′＝ ＝，∴PC＋PD的最小值为. (例1题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP＋EF的最小值为______. (第1题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接CP，AC.∵四边形ABCD是矩形，PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝CP，∴AP＋EF的最小值即为AP＋CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP＋CP的值最小，为AC的长度.∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝，∴AP＋EF的最小值为. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为______. (第2题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P′，当点P与点P′重合时，BP－EP取得最大值，为BE的长.∵在等边△ABC中，AD是中线，∴BD＝DC＝2，AD⊥BC，∴AD＝BD∙tan 60°＝2×＝2.∵E为 AD的中点，∴DE＝AD＝，∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝，∴BP－EP的最大值为. (第2题解图) 新题好题 一练提优 考向2　一定两动型 条件：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小 条件解读：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上来求解 作图方法：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N，则点M，N即为所求 图形展示： 新题好题 一练提优 如图，∠ACB＝30° ，P是∠ACB内部一点，且CP＝6，G，H分别是射线CA和CB上的动点，连接PG，PH，GH，则△PGH周长的最小值为____. (例2题图) 6 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定角：∠ACB； 一定点(且位于定角内部)：点P； 两动点(且分别位于定角的两边上)：点G，H 特征②：求线段和最值：△PGH周长的最小值 ➡辅助线 作点P关于射线CA，CB的对称点P′，P″，连接P′P″，P′G，P″H (例2题解图) 新题好题 一练提优 ➡找最值 ①△PGH周长(PG＋GH＋PH)的最小值转化为P′G＋GH＋P″H的最 小值 ②P′G＋GH＋P″H的最小值为线段P′P″的长 (例2题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，分别作点P关于射线CA，CB的对称点P′，P″，当P′，G，H，P″四点共线时，P′P″的长即为△PGH周长的最小值，连接CP′，CP″.∵∠ACB＝ 30°，由对称性可知，CP＝CP′＝CP″，∴∠PCA＝∠P′CA，∠PCB＝∠P″CB，∴∠P′CP″＝60°，∴△P′CP″为等边三角形，∵CP＝6，∴P′P″＝ 6，∴△PGH 周长的最小值是6. (例2题解图) 新题好题 一练提优 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110° ，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为______. (第3题图) 40° 新题好题 一练提优 4.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，AC＝8，D是BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的动点，连接DE，DF，EF，则△DEF周长的最小值为_______. (第4题图) 2 新题好题 一练提优 【解析】如解图，分别作点D关于AB，AC的对称点D′，D″，连接D′D″与AB，AC分别交于点E′，F′，∴DE＋EF＋DF≥D′E′＋E′F′＋F′D″，即DE＋EF＋DF≥D′D″.当点E与点E′重合，点F与点F′重合时，△DEF的周长取得最小值，最小值为D′D″的长. 连 接AD，AD′，AD″，DE′，DF′，则AD′＝AD″＝AD. (第4题解图) 新题好题 一练提优 ∵∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝8，∴BC＝＝＝4.∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴AD＝ (第4题解图) ＝＝2.在Rt△ABC 中，cos∠ BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°.∵∠BAD＝ ∠BAD′，∠CAD＝ ∠CAD″，∠BAC ＝∠CAD＋∠BAD，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝ 120°. 新题好题 一练提优 过点 A 作AP ⊥ D′D″于点 P，则∠D′AP＝60°，∴在 Rt △D′ AP 中， D′ P ＝ AD′ ∙ sin 60° ＝ AD′＝ AD＝ ×2＝，∴D′D″ ＝2D′P＝2，∴△DEF周长的最小值是2. (第4题解图) 新题好题 一练提优 考向3　两定两动型 条件：点P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四边形PQNM的周长最小 条件解读：PQ为定值，要使四边形PQNM的周长最小，即PM＋MN＋NQ的值最小 作图方法：作点P关于OA的对称点P′，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′分别交OA，OB于点M，N，则点M，N即为所求 图形展示： 新题好题 一练提优 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E，F分别是边AD，AB上的定点，且AE＝4，AF＝2，若G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为______. (例3题图) 6 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定角：∠BCD； 两定点(且位于定角内部)：点E，F； 两动点(且分别位于定角的两边上)：点G，H 特征②：求线段和最值：四边形EFGH周长的最小值 (例3题解图) 新题好题 一练提优 ➡辅助线 作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′交BC于点G，交CD于点H，连接EH，FG ➡找最值 ①四边形EFGH周长(EF＋FG＋GH＋EH)的最 小值转化为EF＋F′G＋GH＋E′H的最小值 ②F′G＋GH＋E′H的最小值为线段E′F′的长 (例3题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点F关于BC的对称点F′，作点E关于CD的对称点E′，连接E′F′交BC于点G，交CD于点H，连接EH，FG，∴FG＝F′G，EH＝E′H，∴四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋F′G＋GH＋HE′≥EF＋E′F′，当E′，H，G，F′四点共线时，四边形EFGH周长有最小值. (例3题解图) 新题好题 一练提优 ∵AB＝3，AF＝2，∴BF＝1，∴BF′＝1，∴AF′＝4.∵AD＝6，AE＝4，∴ED＝2，∴DE′＝2，∴AE′＝8，在Rt△AE′F′中，E′F′＝＝4，在Rt△AEF中，EF＝＝2，∴四边形EFGH周长的最小值为4＋2＝6. (例3题解图) 新题好题 一练提优 5.如图，在平面直角坐标系中，A(1，6)，B(7，2)，点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴正半轴上一点，连接AB，BN，NM，MA.当四边形ABNM的周长最小时，∠OMN的度数为______. (第5题图) 45° 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点A关于y轴的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交y轴于点M′，交x轴于点N′，连接A′M，AM′， B′N，BN′.∵四边形ABNM的周长＝AM＋MN＋BN＋AB ＝A′M＋MN＋B′N＋AB≥A′B′＋AB，∴当M，N分别与M′，N′重合时，AM＋MN＋BN的值最小.又∵AB是定值，∴此时四边形ABNM的周长 最小. (第5题解图) 新题好题 一练提优 ∵点A的坐标为(1，6)，∴A′(－1，6).∵点B的坐标为(7，2)，∴ B′(7，－2).设直线A′B′的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，代入A′(－1，6)，B′(7，－2)， 可得，解得，∴直线A′B′ (第5题解图) 的表达式为y＝－x＋5，令x＝0，得y＝5；令y＝0，得x＝5，∴M′(0，5)，N′(5，0)，∴当四边形ABNM的周长最小时，OM＝ON， ∴∠OMN＝45°. 新题好题 一练提优 6.如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE＝4，点M，N分别是边AC，AB上的动点，在点M，N运动的过程中，DM＋MN＋NE的最小值是_____. (第6题图) 4 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点D关于AC的对称点D′，作点E关于AB的对称点E′，连接MD′，AD′，NE′，AE′，D′E′，则D′M＝DM，NE′＝NE，AD′＝AD，AE′＝AE，∠E′AB＝∠BAC， ∠D′AC ＝∠BAC，∴DM＋MN＋NE＝ D′M＋ MN＋NE′≥D′E′，∴DM＋MN＋NE的最小值是D′E′的长.∵∠BAC＝20°，AD＝AE＝4，∴∠D′AE′＝∠E′AB＋∠BAC＋∠D′AC＝60°，AD′＝AE′＝4，∴△D′AE′是等边三角形，∴D′E′＝AD′＝4，∴DM＋MN＋NE的最小值是4. (第6题解图) 新题好题 一练提优 考向4　一定长＋两定点(含造桥选址问题) 1.异侧型 条件：已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小 条件解读：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即求AM＋NB的最小值 新题好题 一练提优 作图方法：将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M 图形展示： 新题好题 一练提优 2.同侧型 条件：已知两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找点M，N(M在N左侧)，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最小 条件解读：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即求AM＋NB的最小值 作图方法：将点A向右平移d个单位到点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点N，再将点N向左平移d个单位到点M 图形展示： 新题好题 一练提优 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边CD的中点，P，Q是对角线BD上的动点(点Q在点P的上方)，且PQ＝，连接AP，QE.当AP＋QE的值最小时，△QDE的面积是_____. (例4题图)　 1 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：两定点：点A，E；一定长：PQ＝ 特征②：求线段和最值：AP＋QE的最小值 ➡辅助线 作EF∥BD交BC于点F，将点E沿EF方向平移个单位长度至点H，连接PH，构造平行四边形PHEQ，连接AH交BD于点P′ ➡找最值 ①AP＋QE的最小值转化为AP＋PH的最小值 ②当点P位于点P′处时，AP＋QE的值最小 (例4题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点E作EF∥BD交BC于点F，将点E沿EF方向平移个单位长度至点H，连接PH，AH，AH交BD于点P′，∴四边形PHEQ是平行四边形.∵点E是 CD边的中点，∴EF是△BCD 的中位线，∴EF＝BD. ∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴BD＝4，∴EF＝BD＝2.∵EH ＝，∴H为EF的中点，∴AH⊥EF，AP′⊥BD. (例4题解图) 新题好题 一练提优 ∵四边形PHEQ是平行四边形，∴PH＝QE，∴AP＋QE＝AP＋PH.过点E作EQ′⊥BD交BD于点Q′，此时四边形EQ′P′H为矩形，∴P′Q′＝EH＝，∴当点P位于点P′处，点Q位于点Q′处时，AP ＋PH的值最小，即AP＋QE的值最小.∵∠Q′DE＝45°，DE＝CD＝2，∴S△QDE＝×(DE)2＝××4＝1. (例4题解图) 新题好题 一练提优 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，则四边形APQE周长的最小值为___________. (第7题图) 12＋2 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点P作PM∥QE，过点E作EN∥BC交AB于点N，交PM于点M，作A点关于BC的对称点A′，由对称性可知，AP＝A′P.由作图可知四边形PMEQ为平行四边形，∴PQ＝ME，PM＝QE.∵四边形APQE的周长＝AP＋PQ＋QE＋AE＝AE＋PQ＋A′P＋PM≥AE＋PQ＋A′M，当A′，P，M三点共线时， (第7题解图) 新题好题 一练提优 四边形APQE的周长最小，此时四边形APQE的周长最小值为AE＋PQ＋A′M.∵AB＝4，BC＝10，E为CD边的中点，∴CE＝BN＝2，NE＝BC＝10，A′B＝4，∴A′N＝6.∵PQ＝2，∴ME＝2，∴MN＝8.∵AE＝＝2，在Rt△A′MN中，A′M＝＝10，∴四边形APQE周长的最小值为10＋2＋2＝12＋2. (第7题解图) 新题好题 一练提优 8.如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值是______. (第8题图) 4 新题好题 一练提优 【解析】∵正方形ABCD的边长为8，∴AB＝BC＝8，∠ABC＝90°.如解图，过点F作FG⊥AB于点G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°.∵M是BC的中点，∴BM＝4，∴AM＝＝ 4. ∵EF⊥AM，∴∠BAM＋∠AEN＝∠AEN＋∠GFE＝90°，∴∠BAM ＝∠GFE，∴△ABM≌△FGE(ASA)， (第8题解图) 新题好题 一练提优 ∴AM＝EF，将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，AH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH，当A，F，H三点共线时，EM＋AF＝FH＋AF的值最小，此时EM＋AF＝AH＝＝4，∴EM＋AF的最小值为4. (第8题解图) 新题好题 一练提优 条件：点A是直线l外一定点，点B是l上一动点，求AB的最小值 作图方法：过点A作直线l的垂线段AB′，此时AB′的值最小 图形展示： 考向1　一定一动型 新题好题 一练提优 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边AD上取一点E，使BE＝BC，点P为BE上的一个动点，连接CP，CE.当CP＋CE取最小值时，EP的长为________. (例1题图) 3－ 新题好题 一练提优 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝3，AB＝CD＝2，AD∥BC.∵BE＝BC，∴BE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝＝，∴ED＝AD－AE＝ (例1题解图) 3－.在Rt△CDE中，CD，DE定长，∴CE定长，∴当CP＋CE取最小值时，只要CP取最小值即可，如解图，过点C作CP′⊥BE于点P′，∴CP的最小值为CP′，此时EP′即为CP＋CE取最小值时EP的长. 新题好题 一练提优 ∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC.∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠P′EC，∴∠DEC＝∠P′EC.又∵∠D＝∠CP′E＝90°，CE＝CE，∴△CDE≌△CP′E(AAS)，∴ED＝EP′＝3－，∴当CP＋CE取最小值时，EP的长为3－. (例1题解图) 新题好题 一练提优 考向2　一定两动型 条件：点P是∠AOB内一定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，求MN＋PN的最小值 作图方法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作OA的垂线，分别交OA，OB于点M，N，则MN＋PN的最小值即为P′M的长 图形展示： 方法总结：求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上，再结合垂线段最短解决问题 新题好题 一练提优 如图，△ABC的面积是20，BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP＋PQ的最小值为____. (例2题图) 4 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：一定点：点A；两动点：点P，Q 特征②：求线段和最值：AP＋PQ的最小值 ➡辅助线 CD平分∠ACB→点Q的对称点在BC上 作点Q关于DC的对称点Q′，连接PQ′，AQ′ (例2题解图) 新题好题 一练提优 ➡找最值 ①AP＋PQ的最小值转化为AP＋PQ′的最小值 ②当A，P，Q′三点共线，且AQ′⊥BC(此时P位于P′处)时，AP＋PQ′取得最小值 ③AP＋PQ′的最小值为线段AQ′的长 (例2题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点Q关于DC的对称点Q′，连接PQ′，AQ′.∵CD平分∠ACB，∴PQ′＝PQ，∴AP＋PQ＝AP＋PQ′≥AQ′，当A，P，Q′三点共线，且AQ′⊥BC(此时P位于P′处)时，AP＋PQ′取得最小值，为AQ′的长.∵△ABC的面积是20，BC＝10，∴AQ′＝4，∴AP＋PQ的最小值为4. (例2题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120° ，D是边AC的中点，P，Q分别是AB，BC上的动点，若CD＝2，则DQ＋PQ的最小值为_________. (第1题图)　 2 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点D关于BC的对称点D′，过点D′作D′P⊥AB，交AB于点P′，交BC于点Q′，连接DQ′，CD′，∵△ABC为等腰三 角形，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝×(180°－120°)＝30°.∵CD′＝ CD，∠DCD′＝60°，∴△DCD′是等边三角形，∴DD′＝CD′＝CD＝AD＝2， (第1题解图) 新题好题 一练提优 ∴点A与点P′重合，∠AD′C＝90°，∴当AD′⊥AB时，DQ＋PQ的值最小，为AD′的长.∵CD＝2，D是AC的中点，∴AC＝4，∴在Rt△ACD′中，由勾股定理得AD′＝＝＝2，∴DQ＋PQ的最小值为2. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一个动点，F是对角线BD上的一个动点，连接BE，EF.若AB＝5，AD＝10，则BE＋EF的最小值为______. (第2题图) 4 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点B关于AD的对称点B′，连接B′A，B′E，过点B′作B′G⊥BD于点G，交AD于点H，由对称的性质得B′E＝BE，∴BE＋EF＝B′E＋EF≥B′G，∴当B′，E，F三点共线且B′F⊥BD，即点E在点H处，点F在点G处时，B′E＋EF有最小值，即BE＋EF有最小值，最小值为B′G的长. (第2题解图) 新题好题 一练提优 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝5，AD＝10，∴BB′＝10，BD＝＝5，∴sin∠ABD＝＝，∴在Rt△B′GB中，B′G＝BB′∙sin∠B′BG＝10×＝4，∴BE＋EF 的最小值为4. (第2题解图) 新题好题 一练提优 条件：已知点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，求kAP＋BP(0＜k＜1)的最小值 图形展示： 考向3　一动两定型(“胡不归”问题) 新题好题 一练提优 解题思路： 一找：找带有系数k的线段AP 二构造：构造以线段AP为斜边的直角三角形 ①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k； ②过动点P作垂线，构造Rt△APE 三转化：将kAP转化为PE，使得kAP＋BP＝PE＋BP 四求解：利用“垂线段最短”转化为求BF的长 思考：如何求aPA＋bPB (a＞b) 的最小值？ 新题好题 一练提优 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是边AC上 的高，P是BD上的一点，则BP＋CP的最小值是_______. (例3题图) 5 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：两定点：点B，C；一动点：点P 特征②：求线段和最值，且一条线段带系数：BP＋CP的最小值 ➡辅助线 过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CE′⊥AB于点E′ ➡找最值 ①BP＋CP的最小值转化为PE＋CP的最小值 ②PE＋CP的最小值为线段CE′的长 (例3题解图) 新题好题 一练提优 【解析】∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°.如解图，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CE′⊥AB于点E′，交BD于点P′，由勾股定理得PE＝BP，∴BP＋CP＝PE＋CP.当C，P，E三点共线，且CE⊥AB，即点E，P分别位于点E′，P′位置时，PE ＋CP取得最小值，为CE′的长. ∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE′⊥AB，由等腰三角形腰 上的高相等，得BD＝CE′.在Rt△ABD中，BD＝＝＝5＝CE′，∴BP＋CP的最小值为5. (例3题解图) 新题好题 一练提优 3.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB 的最小值是______. (第3题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点P作PE⊥BC于点E，过点M作ME′⊥BC于点E′，交BD于点P′.∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°. (第3题解图) 新题好题 一练提优 ∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP＋PB＝MP＋PE，∴当M，P，E三点共线且ME⊥BC，即点E与点E′重合，点P与点P′重合时，PM＋PE 有最小值，为ME′的长.∵AM＝3，∴MC＝7.∵sin∠ACB＝＝， ∴ME′＝，∴MP＋PB的最小值为. (第3题解图) 新题好题 一练提优 4.如图，在矩形ABCD中，CD＝3AD＝3，M是AB上的动点，当AM＋CM的值最小时，AM的长为_________. (第4题图) 3－ 新题好题 一练提优 【解析】如解图，以A为顶点，作∠BAN＝60°，过点M作MN⊥AN于点 N，∴MN＝AM，∴AM＋CM＝AM＋CM)≥CN，当M，N，C三点共线且CN⊥AN时，AM＋CM的值最小，此时∠BCM＝ 60°.∵CD＝3AD＝3，AD＝BC，∴BC＝1，∴BM＝，∴AM＝ 3－. (第4题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在CD边上，且CE＝3DE，点P是对角线AC上的动点，则PE＋PD的最小值为_____. (第1题图) 10 新题好题 一练提优 2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，连接EC，△BEC的周长为18.若点P在直线EF上，连接PA，PB，则｜PA－PB｜的最大值为_______. (第2题图) 8 新题好题 一练提优 【解析】∵AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，∴EA＝EC.∵△BEC的周长是18，AB＝10，∴BC＝△BEC的周长－(EC＋EB)＝18－(AE＋EB)＝18－AB＝18－10＝8. 如解图，连接PC. ∵点P在AC的垂直平分线EF上，∴PA＝PC，∴｜PA－PB｜＝｜PC－PB｜≤BC＝8，∴｜PA－PB｜的最大值为8. (第2题解图) 新题好题 一练提优 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是______. (第3题图) 4.8 新题好题 一练提优 【解析】如解图，设AB与PQ交于点M，过点M作MN⊥AP于点N，∴∠ANM＝∠ABC＝90°.∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴MN∶BC＝AM∶AC.∵∠ABC＝90°，AB＝ 6，BC＝8，∴AC＝＝10. ∵四边形PAQB是平行四边形，∴AM＝AB＝3，PQ＝2PM，∴MN∶8＝3∶10，∴MN＝2.4.∵PM≥MN，∴PQ≥2MN＝4.8，∴PQ的最小值是4.8. (第3题解图) 新题好题 一练提优 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE＋DF的最小值为________ . (第4题图) 2 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF，∴CE＋DF＝CE＋BE. 作点B关于线段AD的对称点B′，连接CB′交AD于点E′，则当点E与E′重合时，CE＋BE取得最小值，最小值为CB′的长.∵AB＝1，AD＝2，∴BB′＝2，BC＝2，∴CB′＝＝＝2，∴CE＋DF的最小值为2. (第4题解图) 新题好题 一练提优 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，F是BD上一动点，连接EF，CF，则EF＋CF的最小值为________. (第5题图) 2 新题好题 一练提优 【解析】如解图，在AB上取一点E′，使BE′＝BE＝2，连接E′F，CE′.∵四边形ABCD是菱形，∴点E′与点E关于对角线所在直线BD对称，∴E′F＝EF，∴EF＋CF＝E′F＋CF≥CE′，∴EF＋CF的最小值为CE′的长.过点C作CH⊥AB于点H.∵∠ABC ＝60°，BC＝8，∴BH＝BC＝ 4，CH＝BC＝4，∴E′H＝BH－BE′＝4－2＝2，在Rt△CE′H中，由勾股定理，得CE′＝ ＝＝2，∴EF＋CF的最小值为2. (第5题解图) 新题好题 一练提优 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是 △ABC内部一点，连接AM，BM，CM，若CM＝3，则AM＋BM的最小值为______. (第6题图) 5 新题好题 一练提优 【解析】如解图，在BC上取点G，使CG＝1.以点C为圆心，CM长为半径画出 ⊙C，连接AG交⊙C于点M′.又∵BC＝9，CM＝3，∴＝＝.又∵∠MCG＝∠MCB，∴△MCG∽△BCM，∴＝＝，∴MG＝BM，∴AM＋BM＝AM＋MG≥AG.∵AG＝＝＝5，∴AM ＋BM≥5，即当点M与点M′重合时，AM＋BM取最小值为5. (第6题解图) 新题好题 一练提优 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，M，N分别是边AB，BC上的两个动点，AE＝2，将△AEM沿EM翻折形成△FEM，连接NF，DN，则DN＋NF的最小值为_____. (第7题图) 11 新题好题 一练提优 【解析】如解图，作点D关于BC的对称点D′，连接ND′，ED′，∴CD＝CD′.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵AE＝2，BC＝7，∴AD＝7，DE＝5，在Rt△EDD′中，DD′＝12，∴ED′＝＝＝13.∵DN＝ND′，∴DN＋NF＝ND′＋NF.∵EF＝AE＝2，是定值，∴当E，F，N，D′四点共线时，NF＋ND′的值最小，最小值为13－2＝11，∴DN＋NF的最小值为11. (第7题解图) 新题好题 一练提优 8.如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE＋QE的最小值为_____. (第8题图) 10 新题好题 一练提优 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC.∵D为AC的中点，AQ＝4，QD＝3，∴AD＝DC＝AQ＋QD＝7，BD⊥AC.如解图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于点E，此时PE＋QE的值最小，最小值为PE＋QE＝ PE＋EQ′＝PQ′的长.∵AQ＝4，AD＝DC ＝7，QD＝3，∴DQ′＝QD＝3，∴CQ′＝BP＝4，∴AP＝AQ′＝10.∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′＝PA＝10，∴PE＋QE的最小值为10. (第8题解图) 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $